1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 ，则 =( )。（A）（B） 2（C） 3（D）2 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 dx=( )。（A）F( )+C（B） 2F( )+C（C） F( )+C（D）一 2F( )+C3 = f(x0)，则 k 的值为 ( )。（A）1（B）（C）（D）24 下列无穷积分收敛的是( )。（A）（B）（C）（D）5 设 y=f(x)为a ，b 上的连续函数，则曲线 f=f(x)，x=a ，x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形面积为( ) 。（A）（B）（C）（D）6 y=
2、的间断点有( ) 。（A）一个（B）两个（C）三个（D）0 个二、填空题7 =2，则 a=_，b=_。8 u=f(xy，x 2+2y2)，其中 f 为可微函数，则 =_。9 已知函数 f(x)=alnx+bx2+x 在 x=1 与 x=2 处有极值，则a=_。，b=_。10 a，b 为两个非零向量， 为非零常数，若向量 a+b 垂直于向量 b，则 等于_。11 已知 f(cosx)=sin2x，则 =_。12 已知 f(x)=ex2，f(x)=1x，且 (x)0，则 (x)的定义域为_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求 。14 求(2x 一 1)ln2 xdx。15 计算定积分
3、。16 已知 ，求 及 。17 解常微分方程：x +y=xy2。18 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数，并指出收敛区间。19 求过点(1 ，2，3) 且垂直于直线 的平面方程。20 如图所示，D 为 x2+y2a2 与 x0 所围的区域，计算x 2 y2 dxdy。四、综合题21 设曲线 y=x2(0z1)，问 t 为何值时，图中的阴影部分面积 S1 与 S2 之和 S1+S2 最小。22 已知|a|= ，|b|=1， = ，求 p=a+b，a=a 一 b 的夹角 。五、证明题23 设 f(x)在0，1连续，且 f(x) ，证明 F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点。江苏省专转本（高
4、等数学）模拟试卷 66 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 用变量代换求极限，令 = ，x= ，x 0 时，t 0， = = =3，故选 C 项。2 【正确答案】 B【试题解析】 = = +C，故答案为 B 项。3 【正确答案】 B【试题解析】 根据结论： =(k1)f(x0) k1= =4 【正确答案】 B【试题解析】 = ，当 x +时， ，广义积分发散。= ，当 x +时， ，广义积分收敛。=lnlnx，当 x +时，lnlnx ，广义积分发散。 =2 ，当 x +时,2 ，广义积分发散。5 【正确答案】 C【试题解析】
5、对于在a，b上函数 f(x)有时取正值，有时取负值，所以求面积时f(x)要带上绝对值。6 【正确答案】 B【试题解析】 其定义域为 x3，间断点为 x=4，x=5 。二、填空题7 【正确答案】 一 4，3【试题解析】 =2 x=1 时， =2 并且 x2+ax+b=0，所以 a= 一 4，b=3。8 【正确答案】 yf 1+2xf2【试题解析】 令 w=xy，v=x 2+y2，则 u=f(w，v) ， =fw(w，v)?y+f v(w，v)?2x。9 【正确答案】 ，【试题解析】 由题意可知：f(x)= +2bx+1，f(1)=0 ，f(2)=0 a= ，b= 。10 【正确答案】 【试题解析
6、】 a+b 垂直于向量 b (a+b).b=0。11 【正确答案】 +x2+C【试题解析】 f(cosx)=sin 2x=1 一 cos2x f(x)=1 一 x2f(x 一 1)dx=1 一(x 一 1)2dx=+x2+C。12 【正确答案】 x0【试题解析】 f(x)= =1 一 x=eln(1x)，所以 (x)= ，于是 1 一x1，即 x0。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 因为 = = = =0，所以原式= 因为 = = =0 所以原式=e 0=1。14 【正确答案】 (2x 一 1)ln2xdx=ln2d(x2 一 x)=(x2 一 x)ln2x 一 2(x
7、2 一 x)lnxdx=(x2x)ln2x 一 2(x1)lnxdx=(x2x)ln2x2lnxd( x)=(x2x)ln2x2( x)lnx+2( x) dx=(x2x)ln2x 一(x 22x)lnx+ x22x+C15 【正确答案】 利用定积分换元法，被积函数中有 ，令 x=sint，则dx= dt= cot2tdt= (cot2t1)dt= =116 【正确答案】 = = = = = =17 【正确答案】 令 =z，则 y= ，得+z=x =1，p= ，q= 1p(x)dx= dx=lnx，=1. dx=lnx，z=(lnx+C)e lnx=(lnx+C)x，所以 y=18 【正确答案
8、】 f(x)= = = = = (2n+11)xn.( x )19 【正确答案】 由题意所求平面的法向量为：n=(1，1，1)(2 ，一 1，1)=(2，1，一 3)根据点法式，所求平面方程为 2(x 一 1)+(y2)3(z3)=0，即 2x+y3z+5=020 【正确答案】 x2y2dxdy= da0r2cos2.r2sin2.rdr= cos2sin2d= (cos2cos4)= (I2I4)= =四、综合题21 【正确答案】 当 t= 时 S1+S2 最小【试题解析】 (1)选择 y 为积分变量(2)S=S 1+S2=t+ (3)求极值 S(t)=1= 1 令 S(t)=0，驻点 t=
9、 S(t)= ， 0t= 为极小值点，由单峰原理，也是最小值点当 t= 时 S1+S2 最小22 【正确答案】 【试题解析】 (1)cos(p ，q)= (2)|p|2=|a+b|2=(a+b)?(a+b)=|a|2+|b|2+2(a?b)=3+1+ ?1? =7 又|q| 2=|ab|2=(ab)?(ab)=|a|2+|b|22(a?b)=3+1 =43=1 故五、证明题23 【正确答案】 f(x)在0 ，1 上连续， F(x)在0，1连续又 F(0)= 一 1一 f()， (0，1)f(x)0 ，由零点定理知 F(x)在(0，1)内至少有一个零点。又 F(x)=2 一 f(x)0，F(x)在0，1上严格单调增加，所以 F(x)在(0，1)内最多只有一个零点，从而 F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点。
