1、河南省专升本（高等数学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= ln(x+3)的定义域是 ( )（A）(-3，3)（B） (-3，3（C） -3，3)（D）-3，32 函数 f(x)=10-xsinx 在区间 0，+)上是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）单调函数（D）有界函数3 下列函数中当 x0 +时是无穷大量的是 ( )（A）2 -x-1（B）（C） e-x（D）4 对于函数 y= ，下列结论正确的是 ( )（A）x=-1 是第一类间断点，x=2 是第二类间断点（B） x=-1 是第二类间断点，x=2 是第一类间断点（C）
2、x=-1 是第一类间断点，x=2 是第一类间断点（D）x=-1 是第二类间断点，x=2 是第二类间断点5 设 f(x)= 则 f(x)在 x=1 处 ( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）连续且 f(1)=-1（D）连续且 f(1)=16 函数 f(x)在 x=x0 处可导，且 f(x0)=-2，则 = ( )（A）（B） 2（C）（D）-27 若 f(x0)是连续函数 f(x)的一个极值，则 f(x0) ( )（A）等于零（B）不存在（C）等于零或不存在（D）以上都不对8 已知 =2，则 f(x)在 x=3 处 ( )（A）导数无意义（B）导数 f(3)=2（C）取得极大值（D）取得极小
3、值9 函数 y= 的垂直渐近线的方程为 ( )（A）x=0（B） x=1（C） x=2，x=0（D）y=210 由参数方程 确定函数 y(x)二阶导数 为 ( ) 11 曲线 y=x4-24x2+6x 的凹区间为 ( )（A）-2，2（B） (-，0)（C） (0，+)（D）(-，+)12 设函数 f(x)满足 f(x)+xf(x)=1+ex，若 f(x0)=0，则有 ( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点
4、13 F(x)与 C(x)都是区间，内函数 f(x)的原函数，则 ( )（A）F(x)G(x) ，xI（B） dF(x)=dG(x)+C，xI（C） f(x)dx=F(x)（D）F(b)-F(a)=G(b)-G(a) ，a ，bI14 若 f(x)=e-x，则 = ( )（A） +C（B） -lnx+C（C） +C（D）lnx+C15 下列定积分中收敛的是 ( )16 设 f(x)在(0，+)上连续，且 f(t)dt=x，则 f(2)= ( )（A）5（B） 3（C） 1（D）17 设 f(x)在0，1上连续，令 t=2x，则 等于 ( )18 方程 x2+y2-z2=0 在空间直角坐标系内表
5、示的二次曲面是 ( )（A）球面（B）旋转抛物面（C）圆锥面（D）圆柱面19 直线 与直线 的位置关系是 ( )（A）平行但不重合（B）重合（C）垂直（D）不平行也不垂直20 旋转曲面 x2-2y2-2z2=1 是 ( )（A）xOy 面上的双曲线绕 x 轴旋转所得（B） xOz 面上的双曲线绕 z 轴旋转所得（C） xOy 面上的椭圆绕 x 轴旋转所得（D）xOz 面上的椭圆绕 x 轴旋转所得21 过(0 ，2，4) 且平行于平面 x+2z=1，y-3z=2 的直线方程为 ( )22 设 z=ln(3x-2y)，则 dz 等于 ( )23 二元函数 z=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极
6、大值点是 ( )（A）(1 ，0)（B） (1，2)（C） (-3，0)（D）(-3，2)24 设 D=(x， y)-1x1，-1y1，则 x(y-x)dxdy= ( )（A）-1（B）（C）（D）125 设区域 D：x 2+y24a2，则当 =144 时，a= ( )26 L 是圆弧：x=acost，y=asint，a0，0t ，则 Lxyds= ( )27 设正项级数 收敛，则下列级数收敛的是 ( )28 若幂级数 an(x-1)n 在 x=-1 点收敛，则在 x=3 处 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不确定29 微分方程 =0 满足 y(3)=4 的特解是 ( )（A
7、）x 2+y2=25（B） 3x+4y=C（C） x2+y2=C（D）y 2-x2=730 y-4y+4y=3e2x 的特解应设为 ( )（A）ax 2+bx+c+Ax2e2x（B） A(ax2+bx+c)x2e2x（C） Ax2e2x（D）ax 2+bx+c二、填空题31 设 f(2ex)3x(x0)，f(x)=_32 =_33 =_34 函数 y= 的垂直渐进线为_35 若 f(x)= ，在 x=0 处连续，则 a=_36 设 x2y-e2x=siny，则 =_37 设 y=f(lnsinx)，且 f(x)可微，则 =_38 曲线 y= 在点(1，1)的法线方程为 _39 函数 f(x)=
8、x-ln(1+x2)在 -1,2上的最大值为_40 sin3x.ecosxdx=_41 两平面 2x+2y+z-7=0 与 4x+5y+3z+8=0 的夹角为_42 广义积分 ，当_时收敛43 x2ydxdy_44 将 xOz 平面内的曲线 z2=5x 绕 x 轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为_45 级数 的和函数 s(x)=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求极限47 已知函数 y=xx+ ，求 y48 求不定积分49 求定积分50 过点(2 ，4，-3)且与直线 垂直的平面方程51 设 z=f ，其中 f(u，v)为可微函数，求52 求函数 f(x，y)=4x-4y-x 2-
9、y2 的极大值点53 求幂级数 的收敛半径及收敛区间54 计算 ，其中 D 是由直线 y=x，2y=x，x=1 围成的区域55 求微分方程 xy-2y=x3+x 的通解四、综合题56 某工厂生产的产品在甲、乙两个市场的销售量分别为 Q1 与 Q2，其售价分别为P1 与 P2，需求函数分别为 Q1=24-02P 1，Q 2=10-005P 2，总成本为C=35+40(Q1+Q2)，问这两个市场的定价分别定为多少时，可使总利润最大 ?最大利润是多少?56 设曲线 y=ex，y=e -x 及 x=ln2 所围成的平面图形为 D.57 求平面图形 D 的面积.58 求该平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋
10、转体的体积五、证明题59 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=0，f( )=1证明存在(0， 1)，使得 f()=1河南省专升本（高等数学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 解得-3x3，故选 B.2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 010 -x1，-1sinx1 ，所以 f(x)在0 ，+)上为有界函数，故选D.3 【正确答案】 D【试题解析】 =e+=+，故选 D.4 【正确答案】 A【试题解析】 y= =，故选 A.5 【正确答案】 D【试题解析】 =1，故
11、选 D.6 【正确答案】 B【试题解析】 =f(x0)=27 【正确答案】 C【试题解析】 由取得极值的必要条件知选 C.8 【正确答案】 D【试题解析】 因 =20，故当 x3 时，f(x)-f(3)0，即 f(x)f(3) ，从而 f(x)在 x=3 处取得极小值，应选 D.9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =+，故选 C.10 【正确答案】 B【试题解析】 11 【正确答案】 A【试题解析】 y=4x 3-48x+6，y=12x 2-48当 y0，即 x-2，2时，曲线为凹的12 【正确答案】 B【试题解析】 将 x0 代人已知式中得 f(x0)+x0f(x0)=1+ ，因 f(x
12、0)=0，故 f(x0)=1+ 0，故 f(x0)是 f(x)的极小值13 【正确答案】 D【试题解析】 由已知可推得 F(x)=G(x)+C，即 F(b)=G(b)+C，F(a)=G(a)+C.14 【正确答案】 C【试题解析】 =f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C=e-lnx+C= +C.15 【正确答案】 D【试题解析】 =-1，故选 D16 【正确答案】 D【试题解析】 对 f(t)dt=x 两边求导得 fx2(1+x)(2x+3x2)=1，取 x=1，得 f(2)=17 【正确答案】 B【试题解析】 18 【正确答案】 C【试题解析】 该方程可由 yOz 面上的直线 y=x
13、绕 z 轴旋转一周而得到，故为圆锥面19 【正确答案】 D【试题解析】 直线 的方向向量为 =i-3j-5k 向量与1，-3，-5不平行也不垂直20 【正确答案】 A【试题解析】 旋转曲面 x2-2y2-2z2=1 可看做 绕 x 轴旋转一周而得到，故选 A.21 【正确答案】 C【试题解析】 s=n 1n2= =-2，3，1，代入直线方程的标准式得直线方程为 ，故选 C.22 【正确答案】 A【试题解析】 dz=dln(3x-2y)= (3dx-2dy)23 【正确答案】 D【试题解析】 =3x2+6x-9=0，则 =6x+6， =-3y2+6y=0， =0， =-6y+6易知点(-3 ，2
14、) 为极大值点24 【正确答案】 B【试题解析】 25 【正确答案】 B【试题解析】 由二重积分的几何意义知， (2a)3=144，解得 a=326 【正确答案】 D【试题解析】 27 【正确答案】 C【试题解析】 级数 是级数 (-1)nun 各项取绝对值后的级数，故 (-1)nun 收敛28 【正确答案】 D【试题解析】 令 x-1=t，则 在点 t=-2 处收敛，从而级数 在(-2，2)内绝对收敛而当 x=3 时，t=2，此时 可能发散，也可能收敛故选 D.29 【正确答案】 A【试题解析】 满足条件 y(3)=4 的有选项 A 和 D，而选项 A 两端微分，由2xdx+2ydy=0 可
15、推得 =0，故选 A.30 【正确答案】 C【试题解析】 原方程相应的齐次方程对应的特征方程为 r2-4r+4=0，特征根为r1=r2=2，因自由项 f(x)=3e2x，3 是零次多项式，且 =2恰为二重特征根，故微分方程的特解应设为 y*=Ax2e2x二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 令 2ex=t，则 x= ，所以 f(t)= ，因此 f(x)=32 【正确答案】 e 6【试题解析】 =e633 【正确答案】 0【试题解析】 34 【正确答案】 x=-1【试题解析】 因 =，所以 x=-1 为垂直渐近线35 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x)在 x=0 处连续，所以 =f(
16、0)，即，又 f(0)=a，所以 a=36 【正确答案】 【试题解析】 两边同时求导，得 2xy+yx2-2e2x=ycosy，整理得 y=37 【正确答案】 f(lnsinx)cotx【试题解析】 y=f(lnsinx). .cosx=f(lnsinx)cotx38 【正确答案】 y=x【试题解析】 y= 在点(1，1)处的切线斜率为 k=-1，相对应的法线斜率为 k=1，所以在(1 ，1)处的法线方程为 y-1=(x-1)，即 y=x39 【正确答案】 2-ln5【试题解析】 y=1- 0，y 是单调增加的，所以 f(x)max=f(2)=2-ln540 【正确答案】 0【试题解析】 因
17、y=sin3x.ecosx 为奇函数，奇函数在对称区间上的定积分为零，所以sin3x.ecosxdx=041 【正确答案】 arccos【试题解析】 2x+2y+z-7=0 的法向量为 =2，2，1，4x+5y+3z+8=0 的法向量为 = 4，5，3，因 cos ，所以 =arccos42 【正确答案】 q0【试题解析】 如果 收敛，需满足 p1，所以 1+q1，即 q043 【正确答案】 0【试题解析】 44 【正确答案】 y 2+z2=5x【试题解析】 根据旋转曲面的特点，绕着 z 轴旋转一周，可知得到的曲面方程为y2+z2=5x45 【正确答案】 cos1【试题解析】 cosx= =c
18、os1三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 令 y1=xx，y 2= ， 则 y=y1+)+y2 对于 y1=xx，两边取对数，得 limy1=xlnx， 两边求导，得 =lnx+1 =y1(lnx+1) 对于 y2= ，两边取对数，得 limy 2=xxlnx， 两边求导，得 =(y1lnx)= =y1(lnx+1)lnx+ 故 =y2y1(lnx+1)lnx+ 则 y= =y1(lnx+1)+y1y2(lnx+1)llnx+ ， y=x x(lnx+1)xx. (lnx+1)lnx+48 【正确答案】 令 x=tant，原式49 【正确答案】 令 =
19、t，则 x=t2 原式50 【正确答案】 根据题意，设所求平面的法向量为 ，该直线的方向向量为 ，因为该直线与平面垂直，所以 故所求平面方程为-16(x-2)+14(y-4)+11(z+3)=0，即 16x-14y-11z-9=051 【正确答案】 令 u=ex+y,v=52 【正确答案】 由于 =4-2x， =-4-2y，因此得唯一驻点 x=2，y=-2 又因此 A=-2 所以 B2-AC=-453 【正确答案】 该幂级数的收敛半径为 R= =1， 所以原级数在x+1 1，即-2x0 内收敛 当 x=0 时，原级数为 的 P 级数，发散； 当 x=-2 时，原级数为窆 ，为莱布尼兹型级数，收
20、敛； 所以该幂级数的收敛区间为-2，0)54 【正确答案】 积分区域 D 如第 49 题图所示区域 D 可嘉示为：(x，y)0x1， yx55 【正确答案】 微分方程 xy-2y=x3+x 属于 y=f(x，y) 型 令 p=y，方程可整理为 p- =x2+1 利用公式法解此一阶线性微分方程得 y=p= (x2+1) +C1=x3-x+C1x2 两边积分得 y= +C1x3+C2四、综合题56 【正确答案】 总利润函数 L(P1，P 2)=Q1P1+Q2P2-C，即 L(P 1，P 2)=(24-02P 1)P1+(10-005P 2)P2-35-40(34-02P 1-005P 2)=-02
21、P 1-005 +32P1+12P2-1395 令 ，得唯一驻点(80，120)，即得唯一可能的极值点 根据实际意义可知利润一定存在最大值故当 P1=80，P 2=120 时，利润 L 取得最大值，最大值为 L(80，120)=605 所以该商品在这两个市场的定价分别为80，120 时，总利润最大，最大利润为 60557 【正确答案】 图形 D 如第 55 题图所示平面图形的面积 S= (ex-e-x)=dx(ex+58 【正确答案】 平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为五、证明题59 【正确答案】 构造函数 F(z)=f(x)-x，则 F(x)在0，1上连续，且F(1)=-1 ，1内存在一点 x0，使 F(x0)=0又因函数 F(x)在0 ，x 0上连续，在 (0，x 0)内可导，且 F(0)=F(x0)=0 所以满足罗尔条件，故存在一点 (0，x 0) (0，1)，使 F()=0，即 f()-1=0，所以存在一点(0 1)使 f()=1 成立
