1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知当 x0 时，x 2ln(1+x2)是 sinnx 的高阶无穷小，而 sinnx 又是 1 一 cosx 的高阶无穷小，则正整数 n 等于 ( )（A）1 （B） 2（C） 3（D）42 设函数 f(x)=x 31(x)，其中 (x)在 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的 ( )（A）必要但不充分条件（B）充分必要条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件3 直线 l： 与平面 ：4x 一 2y 一 2z 一 3=0 的位置关系是 ( )（A
2、）平行（B）垂直相交（C）直线 l 在 上（D）相交但不垂直4 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，则必有 ( )（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数5 如果级数 un(un0)收敛，则必有 ( )（A）级数 (一 1)nun 收敛（B）级数 u n收敛（C）级数 发散（D）级数 收敛二、填空题6 函数 f(x)= 的第一类间断点为_ 7 已知 y=lnsin(12x)，则 y=_8 设函数 x=x(y)是由方程 yx+x+y=4 所确定，则 =_9
3、 已知 =3，则常数 a=_，b=_10 dx=_11 设 f(x)= ，要使 f(x)在 x=0 处连续，则 k=_12 使得函数 f(x)= 适合 Roll(罗尔)定理条件的闭区间是：_13 函数 y=ex+arctanx 的单调递增区间是：_ 14 sec4xdx_ 15 幂级数 x2n1 的收敛半径为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限： (其中 a1， a2an0)17 求点 P(3，一 1，2)到直线 的距离18 设参数方程 处的值19 已知 y=x2.20 求不定积分 dx21 求一个不恒等于零的可导函数 f(x)，使它满足 f2(x)= dt22 求积分 dx2
4、3 判断级数 的敛散性四、综合题23 设函数 f(x)是连续函数，且 =2，(x)= f(xt)dt，求：24 (x)；25 讨论 (x)的连续性25 已知曲线 y=a (a0)与曲线 y=ln 在点(x 0，y 0)处有公切线，试求：26 常数 a 及切点 (x0，y 0)；27 两曲线与 x 轴所围成的平面图形 D 的面积 S；28 两曲线与 x 轴所围成的平面图形 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积 Vx29 证明：当 x0，a1 时，x a+(a 一 1)ax浙江专升本（高等数学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试
5、题解析】 由 =0 知 n2；故 n=32 【正确答案】 B【试题解析】 因为(x2+x+1)(x)3(1) ，(x2+x+1)(x)=3(1)，所以f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件为一 3(1)=3(1)，即 (1)=0，选项 B 正确3 【正确答案】 A【试题解析】 直线的方向向量为(一 2，一 7，3)，平面 的法向量为(4，一 2，一2)(一 2)4+(一 7)(一 2)+3(一 2)=0，且直线 l： 上的点(一 3，一 4，0) 不在平面：4x 一 2y 一 2z 一 3=0 上，所以直线与平面平行4 【正确答案】 A【试题解析】 记 G(x)= f(t)dt，则 G(x)
6、是 f(x)的一个原函数，且 G(x)是奇(偶)函数 f(x)是偶(奇)函数，又 F(x)=G(x)+C，其中 C 是一个常数，而常数是偶函数，故由奇、偶函数的性质知应选 A5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 un(un0)收敛，所以=，故 发散，C 正确二、填空题6 【正确答案】 x=1，x=1【试题解析】 求极限可得 f(x)= f(x)=1， f(x)=0， f(x)=1， f(x)=0，所以函数 f(x)的第一类间断点为 x=1，x=17 【正确答案】 2cot(12x)【试题解析】 y=lnsin(1 2x) y= =2cot(1 2x)8 【正确答案】 -3【试题解析】 利用隐
7、函数求导法和对数求导法可得 xlny+ +x+1=0，再由 x(1)=2可得 =39 【正确答案】 a 1， b2【试题解析】 因为3 a1，再由22+2a+b0 可知 b210 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 k=0【试题解析】 根据函数连续的定义： f(x)=f(0)，因 xsin =0，则 k=f(0)=012 【正确答案】 0，1【试题解析】 根据罗尔定理的条件：只需函数在闭区间连续，开区间可导，并且在区间端点处的函数值相等即可如：0，113 【正确答案】 (一，+)【试题解析】 由于 y=ex+ 0，因而函数的单调递增区间为( ，)14 【正确答案】 tanx+ ta
8、n3x+C【试题解析】 sec 4xdx=sec2xdtanx=(1+tan2x)dtanx=tanx+ tan3x+C15 【正确答案】 【试题解析】 利用比值判别法的思想，x2n1 .x21，所以收敛区间为 x()因此，收敛半径为 R 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 =lna1+lna2+lnan=lna1a2an =elna1a2an=a1a2an17 【正确答案】 据题意，已知直线 的方向向量为=(1，1，1)(2，1，1)= =3j3k 所以过点 p 且与已知直线垂直的平面方程为3(y1)3(z 2)=0，即 yz1=0 联立方程组解得 x=1，y= ，z=
9、 所以点 p(3，1，2)到直线的距离就是点 p(3，1，2)与点(1， )之间的距离所以由两点之间的距离公式得 d=18 【正确答案】 2tsint 2， =cost22t 2sint2 cost2.2t=2t 2sint2 所以19 【正确答案】 因 y=x2. 所以在两边取对数得 lny=2lnx+ ln(1 一 x)一ln(1+x) 两边同时对 x 求导， 解得 y=y.=20 【正确答案】 dt=2(t21)dt= t32t C= C21 【正确答案】 据题意，f 2(x)= dt 两边同时对 x 求导数，可得2f(x).f(x)=f(x). ，即 f(x)= 解微分方程 ，变量分离
10、 dy= dx，两端积分得，所以 y= ln2+cosx+C 又因 f(0)=0，可得 C= ln3 所以所求函数 f(x)= ln3 22 【正确答案】 dx=xln(1dx=xln(1ln2= ln2 1ln223 【正确答案】 先考虑正项级数 的敛散性， 所以，由比值判别法知，正项级数 收敛 所以级数绝对收敛 四、综合题24 【正确答案】 因为 (x)= f(u)du，所以 (x)= f(u)du+ ，又因 =2，且 f(x)是连续函数所以 .x=0=f(0)，故 (0)= f(0)dt=0(0)=1 所以 (x)=25 【正确答案】 当 x0 时，显然 (x)处处连续，而=2 一=1=
11、(0)所以 (x)在 x=0 处也连续综上可知，(x)处处连续26 【正确答案】 据题意曲线 y=a (a0)和曲线 y=ln 在点(x 0，y 0)处有公切线可知 y0=a 由以上 和两式可以解得x0=e2，a= ，y 0=1 即常数 a= ，切点为(e 2，1) 27 【正确答案】 由(1)知，两曲线分别为 y= 和 y=ln 所以两曲线与 x 轴所围成的平面图形 D 的面积 S= (e2ye 2y2)dy= e2ydye 2 y2dy=28 【正确答案】 两曲线与 x 轴所围成的平面图形 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积29 【正确答案】 设 f(x)=xa+(a 一 1)一 ax，x(0， +) 令 f(x)=axa1 一 a=0，则 x=1 当 x(0，1，f(x)0，f(x)则：f(x)f(1)； 当 x1，+)，f(x)0，f(x)则：f(x)f(1)； 综上可得： x(0+) ，f(x)f(1)=0 即原不等式成立
