1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f(x)= ，(x)=x+1，则复合函数 f(x)的定义域为( )（A）0 ，1（B） (-3，1)（C） -3，0（D）-3，12 函数 f(x)=arctan(sinx)在 xOy 平面上的图形( )（A）关于 x 轴对称（B）关于 y 轴对称（C）关于原点对称（D）关于直线 y=-x 对称3 点 x=0 是函数 y= 的( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点4 设函数 f(x)在点 x0 处连续，则下列结论正确的是( )（A） f(x)=0（B
2、）（C）当 xx 0 时，f(x)-f(x 0)为无穷小（D）当 xx 0 时，f(x)-f(x 0)不是无穷小。5 设函数 f(x)= (x0)，则 f(ln3)=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 f(x)是可导函数，且 =-1，则曲线 y=f(x)在点(1，(f)处的切线斜率为( )（A）-1（B） -2（C） 0（D）17 若 f(t)= t，则 f(t)=( )（A）e 2t(2t+1)（B） e2t（C） t+1（D）8 函数 f(x)=2x2-lnx 单调增加的区间是( )（A）(0 ，12)（B） (-12，0) (12，+)（C） (12，+)（D）(-，-12
3、)(0，12)9 函数 y=x2+px+q，当 x=1 时，有最小值 y=3，则( )（A）p=-1，q=2（B） p=-2， q=2（C） p=-2， q=4（D）p=-1，q-410 曲线 y=ln(1+x2)的凹区间是( )（A）(-2，2)（B） (-1，0)（C） (-1，1)（D）(0 ，1)11 设函数 y=y(x)由参数方程 则 dxdy=( )12 设 f(x)=arctanx2，则 0xtf(s2-t2)dt=( )（A）xf(x 2)（B） -xf(x2)（C） 2xf(x2)（D）-2xf(x 2)13 下列关系式正确的是( )14 设 f(lnx)=1+x，则 f(x
4、)=( )（A）lnx+x 2+C（B） lnx+x+C（C） +ex+C（D）x+e x+C15 定积分 12 dx=( )16 广义积分 0+ =( )（A）3（B） 4（C） 0（D）217 |a|=|b|=5，ab=3 ，则|ab|=( )（A）4（B） 45（C） 5（D）1018 平面 x+ky-2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k=( )（A）1（B） 2（C） 14（D）1219 设 z=z(x，y)由方程 2x2-y3+3xy+z3+z=1 确定，则 =( )20 I= d02acosf(rcos，rsin)rdr 化为先对 y 积分后对 x 积分，则 I=(
5、 )21 设区域 D 由直线 x+y=1，x=0 及 y=0 围成，估计 xydxdy 的值 I 为( )（A）0I18（B） 0I8（C） 0I1（D）1I422 C 为平面区域 D 的正向边界，则曲线积分 C(1-x2)ydx+x(1+y2)dy 化为二重积分为( )23 幂级数 的收敛半径为( )（A）12（B） 2（C）（D）24 设曲线 y=f(x)满足 y“=x，且过点(0，1)并与直线 y= +1 在该点相切，则曲线方程为( )25 函数 y=10x-1-2 的反函数是 ( )（A）（B） y=logx2（C） y=log2（D）y=1+lg(x+2)26 已知 x0 时，(1+
6、ax 2)13 -1 与 cosx-1 是等价无穷小，则常数 a=( )（A）32（B） -32（C） 3（D）-327 函数 y=arctan 的导数与下列函数的导数相同的是( )（A）atctane x+1（B） arctanex-1（C） arctan(ex+1)（D）arctane x+128 设 a，b 均为非零向量，且 ab，则必有( )（A）|a+b|=|a|+|b|（B） |a-b|=|a|-|b|（C） |a+b|=|a-b|（D）a+b=a-b29 平面 x+2y-z-6=0 与直线 的位置关系是( )（A）平行（B）垂直（C）即不平行也不垂直（D）直线在平面内30 函数
7、f(x)=1x 在 x=1 处的泰勒级数展开式中项(x-1) 3 的系数是( )（A）16（B） -16（C） 1（D）-1二、填空题31 32 设函数 f(x)= 在(-，+)上连续，则 a=_33 若 f(x)= 且 g(0)=g(0)=0，则 f(0)=_34 已知函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程 f(x)=0 有_个根35 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，则 dydx| x=0=_36 不定积分 dx=_37 设 f(t)dt=x(x0)，f(x)连续，则 f(2)=_38 曲线 y=xe-x 的单调增区间为_，凸区
8、间为_39 方程 表示_40 z=f(x+y， xy)，且 f 可微，则 =_41 设 为连接 O(0，0)，A(0，1) ，B(1，2)的圆弧段，则 (ey+x)dx+(xey-2y)dy=_42 级数 ，当 a_时发散43 幂级数 的收敛域为_44 微分方程 x =y+x3 的通解为 y=_45 微分方程 y“-6y+9y=ex 的通解为 y=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 已知函数 y=arcsinx48 求不定积分49 计算定积分 0ln50 设 z=xyf51 求 yexydxdy，其中区域 D 由 y=1x，y=2，x=1 及 x=2 所围成52 求幂级数 的收
9、敛区间(考虑区间端点)53 求微分方程(ysinx-sinx-1)dx+cosxdy=0 的通解四、综合题54 曲线 y=cosx，x0，2与两坐标轴所围成的面积被曲线 y=asinx 及y=nsinx(ab0) 三等分，求 a，b 的值55 曲线过点(1，0) ，且曲线上任一点(x，y) 处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程五、证明题56 证明：当 x0 时，arctanx+ 2湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)= 4-(x+1)20，|x+1|2，-3x12 【正确答案】
10、 C【试题解析】 f(x)=arctan(sinx)，f(-x)=arctansin(-x)=arctan(-sinx)=-arctan(sinx)=-f(x)，f(x) 为奇函数，所以它的图形关于原点对称3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0 是 y= =-1，所以 x=0 是跳跃间断点4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)在 x=x0 连续，则 f(x)=f(x0)，所以 A 错，B 即 f(x0)存在，这和“连续不一定可导”矛盾，所以 B 错，由于 (f(x)-f(x0)=0，所以 C 正确5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= =ex 所以 f(ln3)=eln3=3
11、6 【正确答案】 B【试题解析】 f(1)=-1所以 f(1)=-27 【正确答案】 A【试题解析】 f(t)= t=e 2tt，所以 f(t)=(e2tt)=2e2tt+e 2t=e2t(2t+1)8 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=2x 2-lnx，f(x)=4x- ，令 f(x)=0得驻点x=12 ，x=- (舍去)，x=0 为不可导点9 【正确答案】 C【试题解析】 y=x 2+px+q，y=2x+p ，y(1)=0得 p=2，又 y(1)=3，得 p+q=2，有q=410 【正确答案】 C【试题解析】 y=ln(1+x 2)，y= 令 y“=0，x=1，当-x-1时，y“0；
12、当-1 x1 时， y“0；当 1x+时，y“0，所以曲线的凹区间为(-1，1)11 【正确答案】 B【试题解析】 12 【正确答案】 A【试题解析】 13 【正确答案】 C【试题解析】 由于f(x)dx=F(x)+C，所以 f(x)dx=f(x)14 【正确答案】 D【试题解析】 f(lnx)=1+x，令 x 取值 ex，则 f(x)=1+ex，于是，f(x)=(1+e x)dx=x+ex+C15 【正确答案】 B【试题解析】 16 【正确答案】 B【试题解析】 令 x=tant， 0+17 【正确答案】 A【试题解析】 |a|=1，|b|=5，ab=3 ，cos sin(a，b)=则|ab
13、|=|a|b|sin(a，b)=4 18 【正确答案】 A【试题解析】 平面 x+ky-2z=0 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则它们的法向量垂直，于是它的点积为 0，1 ，k，-22 ，4，3=2+4k-6-0 得 k=119 【正确答案】 C【试题解析】 令 F=2x2+3xy+z3+z-1 则 Fx=4x+3y，F z=3z2+1，所以20 【正确答案】 C【试题解析】 由 I= d02acosf(rcos，rsin)rdr 知 r=2acos，r 2=2arcos，化为直角坐标为 x2+y2=2ax 此为一圆，又由 42，可画出积分区域图 D，由题意把 D 看做 X 型，于是 I
14、=0adx (x，y)dy21 【正确答案】 A【试题解析】 令 z=xy，z x=y=0，z y=x=0，驻点(0，0)不在 D 内，z 在 D 的两直角边上的值都为 0，我们看在 D 的斜边 z+y=1 上，z=xy 的最大值，最小值，变条件极值为无条件极值z=x(1-x)=x-x 2，z x=1-2x，令 zx=0，得 x=12 代入直线方程，y=12 ，则 z(12，12)=14，而 z 在斜边两端点处的值都为 0，故 0z14所以 0=0S DI SD=22 【正确答案】 B【试题解析】 =(1+y2)-(1-x2)=x2+y2，所以 C(1-x2)ydx+x(1+y2)dy= (x
15、2+y2)d。23 【正确答案】 D【试题解析】 因为题给级数属于缺项类型，所以求收敛半径用以下方法24 【正确答案】 A【试题解析】 y=f(x) 满足方程 y“=x，y= +C，y= x3+C1x+C2，又 y(0)=1，得C2=1，又 y(0)=12 得 C1=12，所以 y= x+125 【正确答案】 D【试题解析】 y=10 x-1-2，解出 x=lg(y+2)+1，所求即 y=1+lg(x+2)26 【正确答案】 B【试题解析】 27 【正确答案】 D【试题解析】 由此结果，可以看出 D 的导数也是这样28 【正确答案】 C【试题解析】 由 ab，可知以 a，b 为邻边可构成一个长
16、方形，其中两条对角线应等长，由向量加减法可知|a+b|=|a-b|29 【正确答案】 D【试题解析】 直线的方向向量 s=2，-1，0，平面的法向量 n=1，2，-1，因ns=0 可知直线与平面平行，而进一步取直线上一点(2，0，-4)，可验证它在平面上，故直线在平面内30 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)=1 x 在 x=1 处泰勒展开式为 f(x)=f(x0)+f(x0)x-x0)+(x-x0)3+故(x-1) 3 项的系数为 f“(1)=-1二、填空题31 【正确答案】 12【试题解析】 32 【正确答案】 -1【试题解析】 =1+2a，令 1+2a=a，则 a=-1，即当 a=-
17、1 时，f(x)在 x=0 处连续，进而区间(-，+)上连续33 【正确答案】 0【试题解析】 f(0)=0(根据无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量)34 【正确答案】 3【试题解析】 函数 f(x)在闭区间1 ，2上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点1(1， 2)，使 f(1=0，即方程 f(x)=0 在区间(1，2)上至少有一个根，同理 f(x)=0在区间(2 ，3)，(3，4)上分别至少各存在一根，再由于 f(x)为三次多项式，即方程f(x)=0 至多有三个根 综上所述，方程 f(x)=0 有三个根分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内35 【正确答案】 1【试题解析】 方程两
18、端 y 对 x 求导 (2x+y)=3x2y+x2y+cosx，当 x=0 时，y=1，代入可得 y|x=0=136 【正确答案】 ln|sinx+cosx|+C【试题解析】 d(sinx+cosx)=ln|sinx+cosx|+C37 【正确答案】 15【试题解析】 方程两端对 x 求导：f(x 2+x3)(2x+3x 2)=1，取 x=1，则 f(2)=1538 【正确答案】 (-，1)，(-，2)【试题解析】 因 y=xe-x，所以 y=e-x-xe-x=(1-x)e-x， y“=-e -x-(1-x)e-x=(x-2)e-x 令y0，得曲线的递增区间为(-，1)；令 y“0，得曲线的凸
19、区间为(-，2)39 【正确答案】 两条平行直线【试题解析】 由于圆柱面 x2+y2=4 的母线平行 z 轴且被一平行 z 轴的平面 y=1 去截，显然截痕为两条平行直线40 【正确答案】 其中 u=x+y v=xy【试题解析】 设 u=x+y，v=xy，则 z=f(u，v)41 【正确答案】 e 2-【试题解析】 因 ，所以积分与路径无关，改变积分路径，=OC+CB，所以原式= 01(1+x)dx+02(ey-2y)dy=e2-42 【正确答案】 a e【试题解析】 43 【正确答案】 【试题解析】 44 【正确答案】 y= x3+Cx【试题解析】 变形 xy-y=3，x3+Cx45 【正确
20、答案】 y=(C 1+C2x)e3x+ ex【试题解析】 先求对应齐次方程 y“=6y+9y=0 的通解，因特征方程为 r2-6r+9=0 所以 r=3 为二重根，故齐次方程的通解为：Y=(C 1+C2x)e3x，设 y*=Aex 为原方程的特解，则 y*=y*“=Aex 代入原方程比较系数可得 A=14 所以 y*= ex，即原方程的通解为 y=Y+y*=(C1+C2x)e3x+ ex三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 该题属“-”，我们用倒代换 x=1t 其产生分母，然后通分计算之47 【正确答案】 该题若求出导函数后再将 x=0 代入计算比较麻烦，下面利用导数定义计
21、算48 【正确答案】 49 【正确答案】 令 e-x=sint，则 x=-lnsint，dx=- dt，且当 x=0 时，t=2；当x=ln2 时， t=6，于是。50 【正确答案】 51 【正确答案】 画出积分区域图 D，考虑到被积函数的情况，先对 x 积分较宜52 【正确答案】 故收敛区间为(0，2 53 【正确答案】 方程可化为 +ytanx=secx+tanx 这是一阶线性微分方程，利用通解公式四、综合题54 【正确答案】 曲线 y=cosx 与两坐标轴所围面积为： cosxdx=1设曲线y=cosx 与 y=asinx 的交点横坐标为 x1，则 x1=arctan 所以 S1= (cosx-asinx)dx=sinx1+acosx1-a=13(平方单位 )用同样方法可得 b=512 55 【正确答案】 设 P(x，y)为所求曲线上任意一点，过该点的切线斜率为 y而直线OP 的斜率为 yx，由于过 P 点切线垂直 OP，所以 y=- ，ydy=-xdx 所以C，即 x2+y2=C，由 x=1，y=0 ，所以 C=-1故所求曲线方程为x2+y2=1五、证明题56 【正确答案】 记 f(x)=arctanx+ 0，所以 f(x)单调递减又 f(x)=0，所以 f(x)0故当 x0 时， arctanx+
