1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 9 及答案与解析一、填空题1 设函数 f(x)= ，则 f(x)=_2 设 则 gf(x)=_3 设 (x1)，则 f(1)=_4 函数 f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是 _5 设 f(x)=(x1)x1，则 f(1)=_6 由方程 yx=xy 所确定的隐函数 y=(x)的导数 =_7 若 f(x)是可导函数，y=f(sin 2x)+f(cos2x)，则 y=_8 曲面 2x3ye zln(z+1)=0 在点(1，2，0)处的切平面方程为_9 设 y=f(x)是方程 y2y+4y=0 的一个解，若 f(x0)0，且 f(x0)=0，则函数在 x0
2、有极_值10 满足 f(x)+xf(x)=x 的函数 f(x)是_11 定积分 (x2+sinx)dx=_12 已知 a，b ，c 为非零向量，目两两不平行，但 a+b 与 c 平行，b+c 与 a 平行，则 a+b+c=_13 u= =_14 交换二次积分次序 01dx0xf(x，y)dy=_ 15 微分方程 y6y+9y=0 的通解为_二、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限17 设函数 f(x)=xln2x，且 f(x0)=2，求 f(x0)18 求不定积分19 计算定积分 12x.ln2xdx20 设 z=x2exy，求21 计算 ，其中 D 为曲线 y= ，y=1 及 x=
3、0 围成的平面区域22 将函数 f(x)= 在 x=0 处展成幂级数，并指明收敛区间23 求微分方程 xy2y=x 3+x 的通解三、综合题24 一商店按批发价 3 元购进一批商品零售若零售价定为每件 5 元，估计可售出100 件，若每件售价降低 02 元，则可多售出 20 件若需求函数(即售出量与价格间关系)是一次函数，请问该店应批发进多少件每件售价多少才可获最大利润，最大利润是多少?25 过曲线=x 2(x0)上某点 A 作切线若过点 A 作的切线，曲线 y=x2 及 x 轴围成的图形面积为 ，求该图形绕 z 轴旋转一周所得旋转体体积 V四、证明题26 证明：方程 ln(1+x2)=x1
4、有且仅有一个实根湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 9 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 2 【正确答案】 【试题解析】 3 【正确答案】 1【试题解析】 4 【正确答案】 (0，1【试题解析】 f(x)=lnarcsinx 的连续区间就是它的定义区间(0，15 【正确答案】 0【试题解析】 6 【正确答案】 【试题解析】 方程 yx=xy 改写为 yxx y=0令F=yxx y，F x=yxlnyyx y1 ，F y=zyx1 x ylnx，则也可以方程两边取对数后，直接对 x 求导7 【正确答案】 sin2x=f(sin 2x)f(cos 2x)【试题解析】 y=f(sin
5、 2x)+f(cos2x)则 y=f(sin 2x).2sinx.cosx+f(cos2x).2cosx(sinx) =sin2xf(sin2x)f(cos 2x)8 【正确答案】 6xy3z4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=2x3ye zln(z+1) ，则曲面上任一点处的切平面的法向量为： n=F x，F y，F z= 6x 2，e z，ye z 于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为 n1=6，1，3， 故切平面的方程为：6(x1)(y2)3(x 0)=0 即 6xy3z4=0 9 【正确答案】 大【试题解析】 由已知 f(x0)=2f(x0)4f(x 0)0故 f(x)在
6、 x0 取极大值10 【正确答案】 ln(1+x2)+xarctanx+C【试题解析】 已知 f(x)+xf(x)=x ，令 x 取值x，得 f(x)xf(x)=x，联立两方程，解得 f(x)=11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 0【试题解析】 已知 a，b ， c 为非零向量，且两两不平行，但(a+b)c，(b+c) a则 0=(a+b)c=ac+bc=ac+bc+cc=(a+b+c)c 0=(b+c)a=ba+ca=aa+ba+ca=(a+b+c)a 由此 a+b+c 既与 c 平行又与 a 平行，而 a c，故 a+b+c 必为 013 【正确答案】 【试题解析】 14
7、 【正确答案】 01dy1yf(x，y)dx【试题解析】 首先根据已知二次积分 01dyxyf(x，y)dy 画出积分区域 D，已知二次积分把 D 看做 X 型我们把它看做 Y 型则原式= 01dy1yf(x，y)dx15 【正确答案】 y=e 3x(C1+C2x)【试题解析】 y6y+9y=0 对应的特征方程为 r26r+9=0 得特征根为r1，2 =3故微分方程的通解为 y=C1e3x+C2xe3x=e3x(C1+C2x)二、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 f(x)=xln2x，f(x)=ln2x+1，所以 f(x0)=ln2x0+1=218 【正
8、确答案】 对于计算不定积分 ，常规的方法是： 令 x=2sect，由于该积分的具体情况，我们也可令 =t，x 2=t2+419 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 首先画出积分区域 D，计算出曲线 y= 与直线 y=1 的交点(1，1)，该题应把 D 看做 Y 型，否则不便计算22 【正确答案】 23 【正确答案】 微分方程 xy2y=x 3+x 属 y=f(x，y) 型 令 p=y，方程可整理为 p =x2+1利用公式法解此一阶线性微分方程三、综合题24 【正确答案】 由已知，商品售出数 Q 与价格 p 之间的关系是一次函数，设Q=a+bpp=5 元时，Q=100 件；P=
9、48 元时，Q=120 件代入函数得 a=600，b=100，所以需求函数 Q=600100p利润为L=pQ3Q=(P3)(600100p)L=900200p令 L=0 得唯一驻点 p=45故当零售价 p=4 5 元，批进 Q p=45 =150 件时，可获最大利润 225 元25 【正确答案】 设 A 点坐标(x 0，x 02)由 y=2x，得切线方程为 yx 02=2x0(xx 0)或 x= ，由已知 ，所以x0=1， A(1，1)，切线方程为 2xy1=0 切线与 x 轴交点为 x= 于是四、证明题26 【正确答案】 由方程：ln(1+x 2)=x1 知，变量的取值范围为：x1 令 f(x)=ln(1+x2)x+1，于是 f(x)= 0，故 f(x)为严格递减函数又 =ln20，而，从而由函数 f(x)单调性知，y=f(x)与 x 轴仅有一个交点，即方程有且仅有一个实根
