1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 15 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 点(7 ，2，一 1)到平面 2x 一 3y 一 6z+7=0 的距离 ( )（A）3（B） 6（C）一 3（D）一 62 设函数 f(x， y)的二重极限 ，则 ( )3 设 f(u)是连续函数，区域 D：x 2+y21，则二重积分 = ( )（A）2 01f(r)dr（B） 201f(r2)dr（C） 401rf(r)dr（D）2 01rf(r)dr4 微分方程 dy=(x2+y-1)dx 是 ( )（A）齐次
2、微分方程（B）可分离变量的微分方程（C）一阶线性微分方程（D）二阶线性微分方程5 下列级数中，只是条件收敛的是 ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 二重积分 ，其中 D 由 x=2，y=x，xy=1 围成7 设积分区域 D：x 2+y21，则二重积分 在极坐标下化为二次积分为_.8 区域 是由平面 z=0，x 2+y2+z2=1(z0)所围成的闭区域，则9 设 L 是圆周 x2+y2=a2 顺时针方向的周界，则10 设向量场 u(x，y，z)=(x 2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k，则 u 在点(1，2，1)处的散度divu=_三、计算题11
3、从点 A(2，一 2，1) 沿 a=(2，一 10，11)的方向取长度为 45 的线段 AB，求点 B的坐标12 求曲面 z= 处的切平面方程13 求函数 u=x+y2+yz 在曲线 x=t，y=t 2，z=t 3 上点(1，1，1)处，沿曲线在该点的切线正方向的方向导数14 求 z=x2ey+(x 一 1)arctan 在点(1，0)处的一阶偏导数，全微分15 求函数 f(x，y)=x 3 一 4x2+2xyy2 一 1 的极值16 计算 其中 D 是由直线 x=一 2，y=0，y=2 及曲线 所围成的平面区域17 计算由(x+y) 2+z2=1，z0，x0，y0 所围成的体积18 计算积分
4、 (2xy 一 x2)dx+(x+y2)dy；其中 L 是由抛物线 y2=x 和 y=x2 所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性19 计算 xz2dydz+(x2yz3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中为上半球体 x2+y2a2，0z的表面外侧20 求微分方程 的通解21 求幂级数 的收敛区间22 判断级数 的敛散性四、综合题23 将函数 f(x)= 展开为 x+4 的幂级数，并求此级数的收敛域24 求幂函数 的收敛半径和收敛区间25 验证在整个 Oxy 平面内(x 2+2xy+y2)dx+(x2+2xy 一 y2)dy 是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求这样的一
5、个 u(x，y)全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 15 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 累次极限 存在，表明其对应的 P(x，y)P 0(x0，y 0)的路径为二重极限 f(x,y)的 PP 0 各种路径中的一条，所以，3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 原方程可化为 y一 y=x2-1，所以为一阶线性微分方程5 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不
6、填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 7 【正确答案】 02d01f(rcos，rsin)rdr【试题解析】 由积分区域，x 2+y21，即 r2cos2+r2sin21，r 21，故 r18 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 2a 2【试题解析】 因 P=y，Q=一 x，故 由格林公式10 【正确答案】 8【试题解析】 P=x 2+yz，Q=y 2+xz，R=z 2+xy，三、计算题11 【正确答案】 由 x 一2=6，y+2=一 30，z 一 1=33，得所求点 B 的坐标是(8，一 32，34)12 【正确答案】 13 【正确答案】 切向量 T=(t，2t，3t 2)|(
7、t,1)=(1，2， 3)，e= ，grad u|(1,1,1)=(1，2y+z，y)| (1,1,1)=(1，3，1)所求方向导数为14 【正确答案】 dz|(1,0)=2dx+dy15 【正确答案】 函数有两个极值f(0，0)=1，f(2，2)=一 3 分别为极大值与极小值16 【正确答案】 积分区域如右图所示17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 线性微分方程的特点是其中的未知函数及其导数都是一次方，本题中的 y 及其导数 y都是一次方，故为一阶线性微分方程原方程变形为Q(x)=一 x，按一阶线性微分方程的通解公式得所以原方程的通解为 y=x2(一
8、 ln|x|+C)21 【正确答案】 22 【正确答案】 设级数部分和数列为S n，则即该级数的部分和 Sn 有界，由正项级数收敛的充要条件知该级数收敛四、综合题23 【正确答案】 24 【正确答案】 则对任意的 x 都有 故级数的半敛半径 R=+，收敛域为(一，+) 25 【正确答案】 令 P(x，y)=x 2+2xy+y2，Q(x，y)=x 2+2xyy2，所以(x 2+2xy+y2)dx+(x2+2xyy2)dy是某个二元函数 u(x，y) 的全微分故 u(x，y)= (0,0)(x,y)(x2+2xy+y2)dx+(x2+2xyy2)dy =0xx2dx+0y(x2+2xy-y2)dy=
