1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 25 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 平面 x 一 2y+3z+4=0 的法向量为 ( )（A）1 ，一 2，一 3（B） 一 1，2，一 3（C） 一 1，一 2，3（D）1 ，一 2，32 设函数 f(x， y)在(x 0，y 0)处偏导数存在，则 ( )3 设函数 f(x， y)，g(x，y)具有连续的偏导数，且 f(x，y)dx+g(x，y)dy 是某个函数u(x，y)的全微分，则 f(x， y)，g(x，y)满足 ( )4 微分方程 y“一
2、4y+4y=x2e2x 的一个特解 y可设为 ( )（A）(b 0x2+b1x+b2)x2e2x（B） (b0x2+b1x+b2)xe2x（C） (b0x2+b1x+b2)e2x（D）(b 0x2+b1x)x2e2x5 下列无穷级数中收敛的无穷级数是 ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 区域 是由平面 z=0，x 2+y2+z2=1(z0)所围成的闭区域，则 dv=_7 二重积分 (x+2y)dy=_8 设 D 是由 x2+y2=1(y0)，y=0 所围成的区域，则 9 设 L 是抛物线 x=y2 上是 O(0，0)与 A(1，1)之间的一段弧，则10 设 L
3、 是圆 x2+y2=1，取逆时针方向，则三、计算题11 设平面 经过点 P(5，3，一 2)，且平行于平面 1：x+4y 一 3z 一 11=0，求平面 的方程12 求过点 P(1，0，7)且与平面 xz=10 和 y+2z=3 都平行的直线方程13 已知直线 和直线 (1)求出直线 L1 的对称式方程； (2)求直线 L1 和直线 L2 的夹角14 已知平行四边形的 3 个顶点 A(3，一 4，7)、C(1 ，2，一 3)和 D(9，一 5，6)，求与顶点 D 相对的第 4 个顶点 B15 设 、 都是非零向量，且满足关系式-=+，证明 =016 设曲线方程为 求它在三个坐标面上的投影曲线1
4、7 设 z=f(x+y，e xy)，f 是可微函数，求 ， 18 求下列函数的定义域：19 在所有周长等于 6 的直角三角形中，求出斜边最小的三角形20 求函数 在点(1，2，1)处的梯度21 求函数 u(z，y，z)=x 2+2xy+z2 在点 P(1，2，0)处沿方向 l=2，一 1，2的方向导数22 求空间曲线 L：x=3ln，y=2sin，x=( 一0 得(x1) 2+y22+y20 且 x+y0 (3)D=(x，y) 1x 2y119 【正确答案】 设直角三角形的两直角边为 x，y，斜边为 z，则有，构造拉格朗日函数 L(x，y)= +(x+y+z 一 6)=(1+)+(x+y 一
5、6)，解方程组 当 =一 1 时，方程组的前两个式子都不成立，故 一 1解得 x=y=3(2 一 )由于实际情况必存在斜边最小值，故当直角三角形的两直角边长均为 3(2 一 )时，斜边最小20 【正确答案】 ，gardu(1，2，1)=e 6，2e 6，2e 621 【正确答案】 因为 =2x+2y， =2x， =2z，cos= ，cos=，cos= ，所以 = 22 【正确答案】 x()= ，y()=2cos，z()=1，于是点 P(3ln，0，)处的法平面方程为 x()(x 一 3ln)+y()y+z()(z 一 )=0，即 一 2y+z 一=0点 P(3ln，0，)处的切线方程为 即四、综合题23 【正确答案】 设所求点为(x，y)，该点到三直线的距离平方和为得驻点 由于zxx= 0，z xy= ，z yy= ,则 =是 z 的极小值点由实际意义知，在点 处 z 取得最小值24 【正确答案】 设所求曲面面积为 s，该曲面在 Oxy 坐标面上的投影D：x 2+y2125 【正确答案】 对原函数求导 f(x)=对上式等式两边积分
