1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 26 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 比较 与 的大小，其中D：1x2，0y1，则 ( )（A）I 12（B） I1=I2（C） I1I2（D）无法比较2 设 f(x，y)是连续函数，则累次积分 f(x，y)dx= ( )3 为半球 x2+y2+z21，z0，则三重积分 ( )4 L 是抛物线 y=x2 一 1 从 A(一 1，0)到 B(1，0)的一段，则曲线积分 xdx+(x+y)dy=( )（A）（B）（C） -1（D）15 设 是平面 x+y+
2、z=1 与三个坐标面围成的四面体，则 xdxdydz= ( )（A）（B）（C）（D）1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 =11，一 2，7) ，=3，2，0 ，则 一 3=_7 Oxy 平面上的抛物线 y2=4x 绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是 _8 过点 P(一 1，3，4)并且平行于 Oxy 平面的平面方程为_9 若 ，则 10 设函数 u=x2+y2 一 exy，则全微分 du=_三、计算题11 求过点(一 1，1，一 2)并且与平面 2xy+z 一 3=0 和平面 xy=0 都平行的直线方程12 设函数 ，求 13 求函数 f(x，y，z)=x
3、 2+y2+z2 一 xyz 在点 P(1，一 1，2)处沿方向 L=1，0，1的方向导数14 设函数 z=ln(x2+y2)一 sinxy，求全微分 dz15 求椭圆锥面 z2=x2+y2 在点(1，1，1)处的法线方程16 已知积分区域 D 是由 x=-1，y=1,y-x=1 所围成的闭区域，求二重积分17 计算三重积分 ，其中积分区域 由 ，y=0，z=0及 x+y+z= 所围成的区域18 计算对弧长的曲线积分 ，其中 L 是(0，0)到(1，3)之间的直线段19 求对坐标的曲线积分 ，其中 L 是x=0，y=0，x+y=1 所围成的正向边界曲线20 设函数 f(x)满足 f“(x)+2
4、f(x)一 3f(x)=2ex，求微分方程的一个特解函数 f(x)21 判定级数 的敛散性22 求幂级数 的收敛区间四、综合题23 求 y“一 2y一 3y=xex 的通解24 将 f(x)= 在 x=0 处展开为幂级数，并求级数 25 将函数 f(x)=2x(一 0，y0)之间，积分区域如下图所示变换积分顺序3 【正确答案】 D【试题解析】 由球面坐标下三重积分的计算公式可得由 为半球 x2+y2+z21，z0 可知，0r1，0 ，02 于是4 【正确答案】 B【试题解析】 由 L：y=x 2 一 1，一 1x1，得 dy=2xdx，则5 【正确答案】 C【试题解析】 区域 (如下图所示 )
5、为二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 2，-8,7【试题解析】 一 3=11，一 2，7一 33，2，0=2 ，一 8，77 【正确答案】 y 2+z2=4x【试题解析】 Oxy 平面上的抛物线 y2=4x 的对称轴为 x 轴，因此所求旋转曲面方程为( )2=4x，即 y2+z2=4x8 【正确答案】 x+1=0【试题解析】 因为所求平面平行于 Oxy 平面，故可设其方程为 Ax+D=0，又因平面过点 P(一 1，3，4)，将点 P 代入平面方程得 D=A，即所求平面方程为 x+1=09 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，则 ，即10 【正确答案】
6、【试题解析】 =2x-yexy， =2y-xexy，三、计算题11 【正确答案】 两平面的法向量分别为 n1=(2，一 1，1)，n 2=(1，一 1，0)，则所求直线的方向向量 v=n1n2= =1，1，一 1，故所求的直线方程为12 【正确答案】 13 【正确答案】 =2xyz， =2yxz， =2zxy，则有 =2一(一 1)2=4， =2(一 1)一 2=一 4， =22 一(一 1)=5，cos= ，cos=0，cos= ，所以14 【正确答案】 z x= 一 ycosxy，z y= 一 xcosxy，于是dz=zxdx+zydy=( 一 ycosxy)dx+( 一 xcosxy)d
7、y15 【正确答案】 令 F(x，y，z)=x 2+y2 一 z2，则 Fx=2x，F y=2y，F z=一 2z，于是 Fx=2，F y =2，F z =2,故所求法线方程为,即 x1=y1=1z16 【正确答案】 积分区域 D，如下图所示，则17 【正确答案】 积分区域 如下图所示，故18 【正确答案】 直线段 L 的方程为 y=3x 其中 0x1，于是19 【正确答案】 令 P(x，y)=(x+y) 2，Q(x，y)= 一(x 2+y2)，则 =2(z+y)， =一 2x 记 L 所围成的积分区域为 D 如上图所示，故有一(x 2+y2)dy+(x+y)2dx= (一 2x 一 2x 一
8、 2y)dxdy= (2x+y)dy=( +x- x2)dx=一 120 【正确答案】 此方程是二阶常系数非齐次微分方程，其中 f(x)=2ex 属于 exPm(x)型(=1，m=0，则该方程所对应的齐次方程的特征方程为，r 2+2r 一 3=0，解特征根为 r1=一 3，r 2=1，所以 =1 是对应齐次方程的特征根，且为单根故设其特解为f(x)*=b0xex 则 f(x)*=b0exb0xex，f(x)*“=b 0exb0exb0xex=2b0exb0xex，代入微分方程得 b0= ，于是原微分方程的一个特解 f(x)= xex21 【正确答案】 令 un= ,vn= ，22 【正确答案】
9、 因为 = 所以收敛半径 R=27当 x=27 时， ，则故 0，即 x=27 时级数发散,故原级数收敛区间为(一 27，27)四、综合题23 【正确答案】 原方程相应的齐次方程的特征方程为 r2 一 2r 一 3=0，解得r1=3，r 2=一 1故齐次方程的通解为 y=C1e-x+C2 e3x，f(x)=xe x，=1 不是特征根，因此设特解 y*=ex(b0x+b1)，代入原微分方程得 b0=一 ，b 10，故原微分方程的通解为 yC1e-xC2e3x xex24 【正确答案】 由 ex= (一,0 x)，可知 (一x)，级数 就是将上式取 x=1 可得到，故 =e25 【正确答案】 f(x)函数及其周期延拓图像，如下图所示f(x)在( 一 ，)内按段光滑，由收敛定理知其可展开成为傅里叶级数，又因为所以 f(x)在区间(一 ，)内的傅里叶级数展开式为 f(x)=
