1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 30 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设函数 ，则 f(x，y)= ( )2 设函数 f(x， y)=x3+y3，则点(0，0)是 f(x，y)的 ( )（A）极小值点（B）间断点（C）极大值点（D）连续点3 设积分区域 D：y=1，y=-1，x=0，x=2 ，则二重积分 的值 ( )（A）大于零（B）小于零（C）等于零（D）不确定4 微分方程 是 ( )（A）齐次微分方程（B）可分离变量的微分方程（C）一阶线性齐次微分方程（D）一阶线性非齐次微分方程
2、5 幂级数 的和函数为 ( )（A）In(1+x)（B） arctanx（C） ln(1-x)（D）arctan(一 x)二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 过点(1 ，4，一 1)并且平行于 Oyz 坐标面的平面方程为_7 设函数 z=exy(x2+y 一 1)，则 8 设为平面 x+y+z=1，第一卦限中的部分，则对面积的曲面积分9 已知 y1=ex，y 2=x2 是微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个特解，则 Q(x)=_10 无穷级数 的和为_三、计算题11 已知原点在平面 上的投影点 P 的坐标为(2，9，一 6)，求此平面方程12 已知函数 z=ys
3、inx，求全微分 dz13 求函数 f(x，y，z)=x 2yz+yz 在点(一 1，2，1)处的梯度14 设函数 z=arctanx+xy2 一 2xy，求 15 求空间曲线 x=t3，y=2t，z=t 2 一 t 在点(1，2，0)处的法平面方程16 设 D 是由 x2+y2=2 与 x2+y2=42 所围成的区域，求二重积分17 计算三重积分 ，其中 ：0x1，0y ， z18 计算对坐标的曲线积分 19 计算曲面积分 ，其中为锥面 x2+y2=z2 与平面z=1，z=0 所围成的空间区域的表面，方向取外侧20 求微分方程 的通解21 求无穷级数 的和22 求幂级数 1+2x+3x+nx
4、n-1+的和函数四、综合题23 求函数 f(x，y)=3xyx 3 一 y3 的极值24 求由曲面 z=x2+y2，z=3(x 2+y2)和 y=x，y=x 2 所围成的立体的体积25 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 30 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 m= ，n= ，即 y= ，x= ，则有 f(m，n)=，即 f(x，y)= ，故 B 选项正确。2 【正确答案】 D3 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域
5、 D：y=1，y=1，x=0，x=2（如下图所示），区域 D 关于x 轴对称，被积函数 f(x，y)=y 是关于 y 的奇函数，故原积分为零。4 【正确答案】 A【试题解析】 将 的分子分母同时除以 x2，得 ，上式符合齐次微分方程的形式，故选 A。5 【正确答案】 C【试题解析】 因为幂级函数 ，所以，故选 C。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 x-1=0【试题解析】 因为所求的平面平行于 Oyz 坐标面，故设其方程为 Ax+D=0，又因为该平面过点(1，4，一 1)，所以 A+D=0，即 A=一 D，因此所求平面方程为 x 一1=07 【正确答案
6、】 e xy(x2y+2x+y2 一 y)【试题解析】 函数 z=exy(x2+y 一 1)，则 =yexy(x2+y 一 1)+exy(2x)=exy(x2y+y2 一y)+2xexy=exy(x2y+2x+y2 一 y)8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 将 y1=ex，y 2=x2 代入微分方程 y+P(x)y=Q(x)得解方程组得 Q(x)=10 【正确答案】 【试题解析】 故所求无穷级数的和为三、计算题11 【正确答案】 由题意可知 OP平面 ，向量 =(2，9，一 6)，即所求平面 过点(2 ，9，一 6)且平面 的法向量 n=2，9，一 6，故所要求的
7、平面 的方程为2(x 一 2)+9(y 一 9)一 6(z+6)=0，即 2x+9y 一 6z 一 121=012 【正确答案】 z x=ycosx，z y=sinx，则所求的全微分 dz=ycosxdx+sinxdy13 【正确答案】 =2xyz， =x2z+z， =x2y+y，则 =4，=2， =4，故 gardf(1，2，1)=( 4，2，4)。14 【正确答案】 15 【正确答案】 由题意知 t=1，则，故所求平面方程为 3(x1)+2(y2)+z=0。16 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin 且 02，所以17 【正确答案】 18 【正确答案】 令 P(x，y)=y 一 2
8、x，Q(x ，y)=x+y 2，则 于是选择积分曲线对折线 ABC，如下图所示 在 AB 段，y=1，dy=0，在 BC 段，x=2，dx=0，则19 【正确答案】 利用柱坐标面变换得20 【正确答案】 由一阶线性微分方程的通解公式有21 【正确答案】 所以=3，即原级数的和为 3.22 【正确答案】 令 an=n，由 =1 得级数的收敛半径 R=l，又 x=1 时原级数均发散，则原级数的收敛域为(一 1，1)，设 S(x)=x(一 1，1) ，逐项求积得故 S(x)=四、综合题23 【正确答案】 解 ，得驻点(0，0)，(1，1)，又fxx=一 6x，f xy=3，f yy=一 6y，f xx(0，0)=0，f yy(0，0)=0， = 一 fxxfyy=90，故(0，0)不是极值点 fxy(1， 1)=一 60，f yy(1，1)=一 6，= 一 fxxfyy=936=一270，所以(1，1) 是极大值点，且极大值 f(1，1)=311=124 【正确答案】 空间体在 Oxy 面上的投影 D：0x1，x 2yx，故所求体积25 【正确答案】
