1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 31 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 f(x,y)= 的定义域是 ( )（A）(x，y) 1x 2+y2（B） (x，y)11（B） p一 1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 在空间直角坐标系中，Oxy 平面上的曲线 绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为_7 设函数 z=uv，u=x+y，v=xy，则 8 设二次积分 ，则交换积分次序得 I=_9 微分方程 y“+(y)3 一 2x4+2=0 的阶数是_ 10 设 f(x)
2、=xln(1+x)展成 x 幂级数为 ，则系数 a2=_三、计算题11 求与平面 3x+2yz+4=0 和平面 3x+2yz=0 的距离都相等的动点的轨迹方程12 求空间曲线 L：x=t 2，y=3t ，z=2t 3 在点(1 ，一 3，一 2)处的法平面方程13 设函数 z=f(x+y，lnxy) ，其中 f 是可微函数，求 ， 14 求函数 f(x，y)=e xy 在点(1，2)处沿从点(1，2) 到点 (2，2+ )的方向的方向导数15 求曲面 z=3 一 x2 一 2y2 上平行于平面 2x+4y+z+8=0 的切平面方程16 计算二重积分 ，其中积分区域 D 是 x2+y2R217
3、计算三重积分 ，其中 是椭圆锥面 z2=x2+y2 及平面 z=1 所围成的闭区域18 计算对弧长的曲线积分 ，其中 L 是以原点为中心，半径为 1 的上半圆19 计算对坐标的曲线积分 ，其中 L 为 y=sinx(0x)与 x 轴所围成的闭曲线，依顺时针方向20 求微分方程(1+x)dy 一 dx=0 的通解21 判断无穷级数 的敛散性22 求幂级数 的收敛区间四、综合题23 求函数 f(x，y)=2x 2 一 2xy+y2 一 2x 一 2y+4 的极值24 设曲线 y=f(x)上任意一点(x，y)处的切线斜率为 ，且该曲线经过点(1，2)，求该曲线的方程25 将函数 f(x)=arcta
4、nx 展开为 x 的幂级数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 31 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 故选 C2 【正确答案】 D【试题解析】 函数 y=x2 的图形，如下图所示，我们可以由图形直接观察出A、B、C 正确，D 选项错误3 【正确答案】 D【试题解析】 由二重积分 f(x，y)dy 可知，积分区域D：0x1，0y ，如下图所示，故原积分 = f(x，y)dx 4 【正确答案】 A【试题解析】 y“=e x，两边同时积分 y=ex+C1，两
5、边再同时积分 y=ex+C1x+C25 【正确答案】 B【试题解析】 无穷级数 ，当一 p1，即 p二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 y=【试题解析】 曲线绕 y 轴旋转，则 y 不变，将 x 换成 ，从而得旋转曲面的方程为 y= 7 【正确答案】 2x【试题解析】 =v1+u1=x+y+xy=2x8 【正确答案】 【试题解析】 将区域 D 分成两个小区域 D1 与 D2，如下图所示即 D=D1+D2 故9 【正确答案】 210 【正确答案】 【试题解析】 由 ln(1+x)= ,得 xln(1+x)= ，则 a2=三、计算题11 【正确答案】 设动
6、点 P 为(x，y，z)，则点 P 到两平面的距离分别为，则有 d1=d2，即两边平方并整理得 3x+2yz+2=012 【正确答案】 由于点(1，一 3，一 2)在空间曲线上，将点代入曲线方程得 t=一1，所以 = =2， =3， = =6，则所求法平面的法向量为一 2，3，6 ，故所求法平面为一 2(x 一 1)+3(y+3)+6(z+2)=013 【正确答案】 =f1+f2 (lnxy)=f1+ f2=f1+ f2， =f1+f2 (lnxy)=f1+ f2=f1+ f214 【正确答案】 方向 l=21，2+ 2=1， =yexy， =xexy，cos=，cos= 故15 【正确答案】
7、 由 z=3 一 x2 一 2y2，于是 zx=一 2x，z y=一 4y，由于所求切平面平行于平面 2x+4y+z+8=0，因此 ，解上式得x=1，y=1，z=0，则 =2， =4，故所求平面方程为 z=2(x1)4(y1) 16 【正确答案】 17 【正确答案】 积分区域 如下图所示， 在 Oxy 面上的投影域为Dxy：x 2+y21(x=0)，于是18 【正确答案】 曲线 L 的参数方程 x=cos，y=sin，则 (x2 一 y2)ds=19 【正确答案】 积分曲线 L 如下图所示 对于弧AO，有 y=sinx，dy=cosxdx，对于线段 AO，有 y=0，dy=0 ，故20 【正确
8、答案】 分离变量得 ydy= ，两边积分得 y2=ln(1+x)+C，即为原微分方程的通解21 【正确答案】 ，由比值审敛法知原级数发散。22 【正确答案】 由于，所以收敛半径 R=1当 x=1 时， 发散，故收敛区间为(一1，1)四、综合题23 【正确答案】 解 ，得驻点(2，3)，由于fxx=4，f xy=一 2，f yy=2，于是 = 一 fxxfxy=(一 2)2 一 42=一 40，则点(2，3)是极小值点，故函数的极小值为 f(2，3)= 一 124 【正确答案】 由题意知 y= ，分离变量 ，两边同时积分得lny=lnx+lnC，即 y=Cx由 y(1)=2 得 C=2，故所求曲线方程为 y=2x25 【正确答案】 因为所以
