1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 6 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)和 fy(x0，y 0)存在，是f(x，y)在该点连续的 ( )（A）充分而不必要的条件（B）必要而不充分的条件（C）充分且必要的条件（D）既非充分条件又非必要条件2 设函数 f(x，y)xy，则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）取得极大值为 0（B）取得极小值为 0（C）连续（D）间断3 设 f(u)是连续函数，D 是由曲线 y
2、x 3，直线 x1，x1 及 x 轴围成的闭区域，D1 是 D 的第一象限部分，则二重积分 xyf(x 2y 2)d 为 ( )（A）0（B） xyf(x 2y 2)d（C） cossinf(r 2)drd（D） yf(x2y 2)d4 微分方程 y“2y 3y5e 2x 的一个特解为 ( )（A）（B）（C） 2e2x（D）5 设 un0(n1，2，3)，且（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）无法判断二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 z(1xy) 2，则 _7 设区域 D：0x1，y2，则二重积分 (x ysinx)dxdy 的值等于_8 _9 微分方程
3、( 的阶数是_10 将函数 f(x)x在， 上展开成傅里叶级数，则傅里叶系数bn_三、计算题11 求：sinxcosy 在点 的切平面与法线方程12 设方程 确定了 z 是 x、y 的函数，求 13 把一个正数 a 分为三个正数之和并且使它们的乘积为最大，求这三个数14 计算二重积分 ，其中 D 是由 x2y 24 和(x1)2y 21 所围成的平面区域15 计算关于弧长的曲线积分： cyds，其中闭曲线 C：(x 2y 2)2a 2(x2y 2)(a0，常数 a0)16 计算对弧长的曲线积分 L(x2y 2)nds，其中 L 为圆周xacost，yasint(0t2)17 计算关于面积的曲而
4、积分 zcosdS其中是下半球面x2y 2z 2 a2(z0a0)，)，是 在点(x，y，z)处的法线与 z 轴正向的夹角，且cos018 解方程 y2xy cosx19 求周期函数 f(x)sinx的傅里叶级数展开式20 判断级数 的敛散性。21 判定级数 的敛散性22 将函数 f(x)x1(0x2) 展成周期为 4 的余弦级数四、综合题23 在约束条件 xy1 下，求函数 zxy 的极值24 求锥面 被柱面 z22x.所割下部分的曲面面积 S25 将函数 展开成(x4)的幂级数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 6 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要
5、求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查二元函数偏导数的应用 由函数在某点连续的定义知，f(x0，y 0)和 fy(x0，y) 存在不能保证 (x，y)f(x 0，y 0)，故 fx(x0，y 0)和fy(x0，y 0)存在不是 f(x，y)在该点连续的充分条件，也不是其必要条件答案为D2 【正确答案】 C【试题解析】 根据二元函数的连续性定义，000f(0，0)，由上式可知 f(x，y)在点(0 ，0)处连续答案为 C3 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查二重积分的计算 由于 D 关于原点对称，z yf(x 2y 2)在对称点
6、的值互为相反数，所以 (xyf(x 2y 2)d0答案为 A4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 2 不属于特征方程 r22r 30 的根 设特征值为y*Ae 2x y* (Ae2x)2Ae 2x y*“(Ae 2x)“4Ae 2x 将它们代入原方程得： 4Ae2x2(2Ae 2x)3Ae 2x5e 2x 3Ae2x5e 2x 即 答案为 B5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查级数敛散性的判定 ，在 n时，等同于级数 ，故该级数收敛，但 为调和级数，不收敛，故 条件收敛答案为 C二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 12ln2【试题解析】 令 1
7、xyu，xv，则7 【正确答案】 2【试题解析】 先画出 D 区域8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 二阶【试题解析】 微分方程的阶是指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，故该题的阶数为二阶10 【正确答案】 0【试题解析】 f(x)为偶函数，故傅里叶级数为余弦级数，所以 bn0三、计算题11 【正确答案】 若曲面方程为 zf(x ，y)，则曲面上点 P 处法线的方向数为12 【正确答案】 xzlnzzlny 令 F(z，y，z)zlnzzlny x， ，F ylnz1lny13 【正确答案】 设所求这三个数分别为 xy，axy依题意，这三个数的乘积为 uxy(axy)
8、(其中 x0，y0，ary0)又处 u 取得极大值即点 为 u 的最大值点 此时axy ，故把 a 分成三个相等的正数之和时，其乘积最大14 【正确答案】 设 D1(x，y)x 2y 24)， D 2 (x，y)I(x1) 2y 21) 15 【正确答案】 C 的极坐标方程为 r2a 2cos2，其中 所以16 【正确答案】 17 【正确答案】 (是下半球面：x 2y 2z 2a 2 (z0)的上侧)18 【正确答案】 19 【正确答案】 f(x)sinx是周期为 的周期函数由于 f(x)在 上是偶函数，所以20 【正确答案】 故原级数收敛21 【正确答案】 由于 而调和级数 发散，所以根据正项级数的比较判别法， 也发散22 【正确答案】 b n0(n1，2，)四、综合题23 【正确答案】 由题可知： 由拉格朗日乘数法知： 可设 F(x，y，)xy(xy 1) 故时，z xy 取极值 极大值为 24 【正确答案】 设所求曲面的面积为 s，在 Oxy 面上的投影为 D：x 2y 22x25 【正确答案】 本题考查函数幂级数展开成立的区间
