1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 7 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 在空间直角坐标系中，点 P(1，2，3)关于 Oyz 坐标面的对称点是 ( )（A）(1 ，2，3)（B） (1，2，3)（C） (1，2，3)（D）(1，2，3)2 设函数 f(x， y)y 2x 25，则点(0 ，0) ( )（A）是 f(x， y)的极小值点（B）是 f(x，y) 的极大值点（C）不是 f(x，y) 的驻点（D）是 f(x， y)的驻点但不是极值点3 设区域 D 是由直线 y2x，y3x 及 x
2、1 所围成，则二重积分 ( )（A）（B）（C） 1（D）4 方程 2y“ yy2e x 的特解具有形式 ( )（A）de x6（B） aex（C） ax2ex（D）axe xbx5 若无穷级数 收敛于 S则无穷级数 (un1 u n)收敛于 ( )（A）S（B） 2S（C） 2S 一 u1（D）2Su 1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 过点(0 ，4，6) 且垂直于平面 7x4y3z 50 的直线方程是_7 设二元函数 zx 2xy y22xy，则 z 的极小值为 _8 设 是由坐标平面和平面 xyz2 所围成的区域，则重积分_9 设三元函数 ，则过点 A(1
3、，1，1)且与方向 l 垂直的平面方程为_，其中 l 是使 为最大的方向10 如果 的敛散性为_三、计算题11 求通过点 P(2，1，1)，且与直线 L： 垂直的平面方程12 求空间曲线 L：x2t，yt 2，zt 3 在点(2，1，1)处的法平面方程13 求曲面 x2y 2z 225 上点 处的切平面和法线方程14 已知函数 zf(2x y，x3y)，其中 f 具有连续的一阶偏导数，求 15 将积分区域 D 对应的二重积分 I f(x，y)dxdy 按两种次序化为二次积分：D 是由抛物线 yx 2 及 y4x 2 所围的区域16 计算三重积分 ，其中积分区域 是由 x2y 22，z0及 z2
4、 所围成17 计算空间曲线积分 ，其中 L 为球面 x2y 2z 2a 2 与平面 xyz 0之交线18 计算对坐标的曲线积分 cx2ydx(xy)dy其中 C 为曲线 yx 2 从点(0 ，0)到(1，1)的一段弧19 求微分方程(y 16x)y 2y0 的通解20 已知曲线 yf(x)上任意点(x ，y)处的切线斜率为 yx，且曲线过原点，求此曲线方程21 判别级数 的敛散性22 求幂级数 的收敛区间四、综合题23 要用铁板做一个体积为 8m3 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省24 设 zu v， ，求 dz25 证明曲线积分 L(xy)dx(xy)dy 在
5、整个 Oxy 面内与路径无关，并计算积分值(xy)dx(xy)dy全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 7 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 关于 Oyz 坐标面对称即沿 x 轴移动，因此只有 x 坐标改变符号，其余不变答案为 B2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查函数在某点是否取极值所以0(22)40，所以(0 ，0)点不是 f(x， y)的极值点，是 f(x，y)的驻点答案为 D3 【正确答案】 B【试题解析】 先画出区域 D，如右图阴影部分，则答案为
6、B4 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查微分方程的特解形式 由方程 2y“yy2e x 知，其特征方程为 22A10，所以 或1，所以 1 不是特征方程的根，所以特解形式应为 aex答案为 B5 【正确答案】 C【试题解析】 答案为 C二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 由于所求直线垂直于平面 7x4y3z50 故其方向向量可取 为v7，4， 3) 又直线过点(0 ，4，6)，从而其对称式方程为 7 【正确答案】 -1【试题解析】 z 的定义域为 xOy 平面它的可能极值点为方程组 的解(x，y)(1，0) 此时，则 A0，ACB 2
7、0，所以z(1， 0)1 是极小值，即 z 有极小值18 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 xy4z6【试题解析】 因为使 为最大的方向是10 【正确答案】 收敛【试题解析】 (u nu n)2u n2u n22u nun2(un2u n2) 因收敛。三、计算题11 【正确答案】 本题考查平面方程的求解因所求平面垂直于直线 L，故其法向量 n 可取为直线 L 的方向向量 v，即 又平面过点 P(2，1，1)，故所求平面方程为(1).(x2)(1).(y1)(3).(z1)0化简得： xy3z6012 【正确答案】 所求法平面的法向量为 所以所求法平面为 2(x2)2(y1) 3(z
8、1)0 即 2x2y3z9013 【正确答案】 令 F(x，y，z)x 2y 2z 225，则 Fx2x，F y2y，F z2z ，从而 故取法向量，于是切平面方程为，法线方程为 14 【正确答案】 设 u2xy vx3y 则 f u3f v15 【正确答案】 本题考查二次积分的运算画出积分区域 D，如下图所示16 【正确答案】 17 【正确答案】 本题考查曲线积分的计算由于以 x 换 y，y 换 z，z 换 x，曲线L 的方程不变，即 L 具有轮换对称性，因此 而L 是经过球心的圆，其周长为 2a 以，故18 【正确答案】 19 【正确答案】 将原方程化为 ，此方程不是所熟悉的类型，不便求解
9、但是如果把 y 当作自变量，把 x 看作是 y 的函数，则方程可化为此为一阶线性微分方程，可按通解公式求解 原方程写成 按一阶线性微分方程的通解公式得20 【正确答案】 由题意 yyx 所以 y e x(x)e x dxC) e x(x1)e x C) x1 Cex y(0)0 C1 所以所求曲线方程为 yx1e x21 【正确答案】 因为22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 设水箱的长为 x(m)，宽为 y(m)，则其高应为 (m)，从而水箱的表面积 S 应为表面积 S 应为 得驻点(2，2) 由题意知，水箱所用材料的最小值一定存在，并在开区域 D：x0，y内取得，又函数在 D 内只有唯一驻点(2，2)，故(2，2)即为 s 的最小值点，即当水箱长为 2m，宽为 2m，高为 时，水箱用料最省.24 【正确答案】 dz vu v1 duu vlnudv25 【正确答案】 P y1Q x，所以线积分与路径无关。
