1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 14 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 z= 的定义域是（A）x+y0（B） 1n(x+y)0（C） x+y1（D）x+y12 函数 f(x)=xsin 在点 x=0 处（A）有定义但无极限（B）无定义但有极限值 0（C）无定义但有极限值 1（D）既无定义又无极限值3 设函数 f(x)= 在点 x=0 处连续，则 k=（A）0（B） 1（C） 2（D）34 若 f(x)在 x=a 处可导，则 =（A）mf (a)（B） nf(a)（C） (m+n)f(a)
2、（D）5 曲线 y=x3 1 在点(2，9) 处的切线方程为（A）y=12x+15（B） y=12x+33（C） y=12x+15（D）y=2x+96 设 y=f(x)是满足微分方程，y+ye sinx=0 的解，且 f(x 0)=0，则 f(x)在（A）x 0 的某个邻域单调增加（B） x0 的某个邻域单调减少（C） x0 处取得极小值（D）x 0 处取得极大值7 已知某商品的成本函数为 C(Q)=2Q+30Q+500，则当产量 Q=l00 时的边际成本为（A）5（B） 3（C） 35（D）158 设 f(x)的导函数连续，且 是 f(x)的个原函数，则 xf(x)dx=9 =（A）1（B）
3、 0（C） 1（D）10 设二重积分的积分区域 D 是 1x2+y24，则 2dxdy=（A）3（B） 4（C） 6（D）30二、计算题（一）11 求极限12 设 f(x)= 当 a 取什么值时函数 f(x)在其定义域内连续?13 设函数 f(x)=(xa)(x)，(x)在 x=a 处连续，求 f(a)14 某工厂生产批产品的固定成本为 2 000 元，每增产吨产品成本增加 50 元，设该产品的市场需求规律为 Q=110010p(p 为价格)，产销平衡，试求产量为 100吨时的边际利润15 求不定积分 xcsc2xdx三、计算题（二）16 设 bae，试判断 ab 与 ba 的大小17 设 f
4、(sin 2x)=cos2x+tan2x，当 018 求微分方程(xy 2+x)dx+(yx2y)dy=0 的解19 设 z=f(xy，y)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求20 计算 xydxdy，其中 D 是由抛物线 y2=x 及直线 y=x2 所围成的闭区域四、应用题21 求函数 y=(x1) 的单调区间和极值，并求该函数图形的水平渐近线和铅直渐近线22 设 f(x)= 求 (x)= f(t)dt 在0,2上的表达式，并讨论 (x)在0，2上的连续性与可导性23 设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x3z +2y 确定，求 的值24 求二重积分 dxdy 的值，其中 D 是由直线 y
5、=x，y= 1 及 x=1 围成的平面区域全国自考（高等数学一）模拟试卷 14 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 B【试题解析】 无定义是显然的，因为极限 =0(无穷小乘以有界量仍是无穷小)，所以选 B.3 【正确答案】 C【试题解析】 =2 (3x22x+k)=k欲 f(x)在 x=0 处连续，需 =f(0)，故 k=24 【正确答案】 C【试题解析】 =(n+m)f(a)5 【正确答案】 A【试题解析】 k=y x=-2=(3x2)x=-2=3(2) 2=1
6、2，所以在点(2，9)处的切线方程为：y+9=12(x+2)，即 y=12x+156 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x 0)=0 有 y(x 0)=esinxoy(x 0)=esinx0，所以 f(x)在 x0 处取得极小值7 【正确答案】 C【试题解析】 C(Q)=2+ ，所以 C(100)=358 【正确答案】 D【试题解析】 因为 是 f(x)的个原函数，所以有 f(x)= 所以 xf(x)dx= xdf(x)=xf(x) f(x)dx=x +C9 【正确答案】 A10 【正确答案】 C【试题解析】 2dxdy= dxdy=2(?22?1 2)=6二、计算题（一）11 【正确答案
7、】 12 【正确答案】 f(x)在区间( ，0)(0，+) 上是连续函数，因此 f(x)只要在 x=0处连续，就在其定义域内连续因为 (xa)=a, =1f(0)=a，所以只要 a=1，f(x)就在其定义域内连续13 【正确答案】 f(x)=(xa)(x)，又 (x)在 x=a 处连续，f(a)=(a)14 【正确答案】 由于 p=110 ,故总收入为 R=pQ=110Q 总成本为 C=2 000+50Q，故总利润为 L=RC=60Q 2 000，边际利润为 L=60 当产量为100 吨时，边际利润为 L(100)=60 =40(元)15 【正确答案】 原式= xd(cotx)=xcotx+
8、cotxdx=xcotx+lnsinx +C三、计算题（二）16 【正确答案】 令 f(x)=xlnaalnx，则 f(x)在a，b上连续因为 f(x)=1na 0，xa,b，所以 f(x)在a ，b上单调增加，即 f(b)f(a)，得 blnaalnbalnaalna=0所以 blnaalnblna b1nb a，即 abb a17 【正确答案】 由题意知，f(sin 2x)=cos2x+tan2x=12sin2x+ 所以 f(x)=12x+ =2x 0 =x 2ln x1+C=x 2ln(1x)+C18 【正确答案】 变量分离得， 两边积分得， ln(y2+1)= 1n(x21)+ lnC
9、.从而通解为 y2+1=C(x21)19 【正确答案】 =yf 1, =f 1+y(xf 11 十 f 12)20 【正确答案】 四、应用题21 【正确答案】 y= ,令 y=0，得驻点 x1=1，x 2=0，列表如下：单调递增区间为(，1)，(0，+)；单调递减区间为(l ，0) 极小值为 f(0)= 极大值为 f(1)= 函数无间断点，故无铅直渐近线； 不存在，故无水平渐近线22 【正确答案】 当 0x (t+1)dt= x2+x 当 1x2时，(x)= (t+1)dt+ t2dt= (x31) ，在 x=1 处，(1)= ，所以 (x)在0 ， 2上连续但是在 x=1 处 (1)=1+1=2，+(1)= ，所以(x)在 x=1 处不可导，而在0，1)(1，2内可导23 【正确答案】 在 z=e2x3z +2y 的两边分别对 x，y 求偏导，z 为 x，y 的函数从而 所以 =2.24 【正确答案】 平面区域 D 可表示为 D： 则 I= 其中dx=0(被积函数是 y 的奇函数) ，所以 I=
