1、1四川省新津中学高二（下）数学入学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1过点 M（3，2） ，N（2，3）的直线倾斜角是（ ）A B C D2如图是 2018 年我校学生进行演讲比赛环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和众数依次是（ ）A85.84 B84.85 C85.87 D84.863抛物线 x2=4y 的准线方程是（ ）Ay=1 By=2 Cx=1 Dx=24已知命题 p：x0，x 3 0，那么p 是（ ）Ax0，x 30 BCx0，x 30 D5实验测得五组（x，y）的值是（1，2） （2，4）
2、（3，4） （4，7） （5，8） ，若线性回归方程为 =0.7x+ ，则 的值是（ ）A1.4 B1.9 C2.2 D2.96 “a2”是“方程 x2+y22x+2y+a=0 表示圆”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7两直线 3x+y3=0 与 3x+my+ =0 平行，则它们之间的距离是（ ）A4B C D8阅读如图所示的程序框图，若输入 n=2017，则输出的 S 值是（ ）ABC D9曲线 y=1+ （2x2）与直线 y=k（x2）+4 有两个交点时，实数 k 的取值范围是（ ）A ，+） B （ ， C （0， ） D （ ， 10新津某农
3、户计划种植蒜台和花菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，2假设种植蒜台和菜花的产量、成本和价格如表所示：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 蒜台 4 吨 1.2 万元 0.55 万元花菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元那么一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大为（ ）A50 万 B48 万 C47 万 D45 万11设集合 A=（x，y）|（x4） 2+y2=1，B=（x，y）|（xt） 2+（yat+2） 2=1，如果命题“tR，AB=” 是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，0）（ ，+） B （0， C0， D （，0 ，+）12已知 F
4、1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且F 1PF2= ，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（ ）A B C D1二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13空间中点 A（2，3，5）与 B（3，1，4） ，则|AB|= 14县高中在岗职工 624 人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取 10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除 4 人，将剩下的 620 名职工编号（分别为 000，001，002，619） ，若样本中的最小编号是 007，则样本中的最大编号是 15已知抛物线 y2=2px（p0）上一点 M（1，m） （m0
5、）到其焦点的距离为 5，双曲线y 2=1 的左顶点为 A若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 等于 16给出下列结论：动点 M（x，y）分别到两定点（4，0） ， （4，0）连线的斜率之乘积为 ，设M（x，y）的轨迹为曲线 C，F 1、F 2分别为曲线 C 的左右焦点，则下列命题中：（1）曲线 C 的焦点坐标为 F1（5，0） ，F 2（5，0） ；（2）曲线 C 上存在一点 M，使得 S F1MF2=9；3（3）P 为曲线 C 上一点，P，F 1，F 2是直角三角形的三个顶点，且|PF 1|PF 2|，的值为 ；（4）设 A（1，1） ，动点 P 在曲线 C 上，则|PA|+|
6、PF 1|的最大值为 8+ ；其中正确命题的序号是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（8，5） ，B（4，2） ，C（6，3） （1）求 AC 边上的中线所在直线方程； （2）求 AB 边上的高所在直线方程18 （12 分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其物理成绩分成六段40，50） ，50，60） ，90，100）后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据补充完整频率分布
7、直方图估计出本次考试的平均分数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为 20 的样本，若从40，60）分数段抽取 2 人，则恰有一人来自50，60）的概率是多少？19.（12 分）已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，直线 L 经过点 F 且与抛物线相交于 A、B 两点。（1）若线段|AB|=20，求直线 L 的方程。（2）证明：以 AF 为直径的圆与 y 轴相切。20 （12 分）p：实数 x 满足 x24ax+3a 20，其中a0，q：实数 x 满足（1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）p 的解集为（a,3a）,
8、若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围21 （12 分）已知圆 F 的圆心坐标为（1，0） ，且被直线 x+y2=0 截得的弦长为 （1）求圆 F 的方程；（2）若动圆 M 与圆 F 相外切，又与 y 轴相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程；（3）直线 L 与圆心 M 轨迹位于 y 轴右侧的部分相交于 A、B 两点，且 =4，试问直线 L 是否过一定点，若过则求出该定点422 （12 分）以椭圆 C： + =1（ab0）的中心 O 为圆心，以 为半径的圆称为该椭圆的“伴随” （1）若椭圆 C 的离心率为 ，其“伴随”与直线 x+y2=0 相切，求椭圆 C 的方程（2）设椭圆 E： +
9、 =1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E于 AB 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q（i）求 的值； （ii）求ABQ 面积的最大值5四川省新津中学高二（下）入学试卷答案一、选择题1 （5 分）过点 M（3，2） ，N（2，3）的直线倾斜角是（ ）A B C D【分析】设直线倾斜角为 ，0，） 利用斜率计算公式可得 tan=1，即可得出【解答】解：设直线倾斜角为 ，0，） 则 tan= =1，= 故选：B2 （5 分）如图是 2016 年某学生进行舞蹈比赛环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和众数
10、依次是（ ）A85.84 B84.85 C85.87 D84.86【分析】去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为 84，84，86，84，87，由此能求出所剩数据的平均数和众数【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为 84，84，86，84，87，所剩数据的平均数为：= （84+84+86+84+87）=85，所剩数据众数为：84故选：A3 （5 分）抛物线 x2=4y 的准线方程是（ ）Ay=1 By=2 Cx=1 Dx=2【分析】由 x2=2py（p0）的准线方程为 y= ，则抛物线 x2=4y 的准线方程即可得到【解答】解：由 x2=2py（p0）的准线方程为 y= ，则抛物线
11、 x2=4y 的准线方程是 y=1，故选：A64 （5 分）已知命题 p：x 0，x 30，那么p 是（ ）Ax0，x 30 BCx0，x 30 D【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 p：x0，x 30，那么p 是故选：D5 （5 分）实验测得五组（x，y）的值是（1，2） （2，4） （3，4） （4，7） （5，8） ，若线性回归方程为 =0.7x+ ，则 的值是（ ）A1.4 B1.9 C2.2 D2.9【分析】根据五组（x，y）的值计算 、 ，利用线性回归方程过样本中心点求出 的值【解答】解：根据五组（x，y）的值，计
12、算= （1+2+3+4+5）=3，= （2+4+4+7+8）=5，且线性回归方程 =0.7x+ 过样本中心点，则 = 0.7 =50.73=2.9故选：D6 （5 分） “a2”是“方程 x2+y22x+2y+a=0 表示圆”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】方程 x2+y22x+2y+a=0 表示圆，则 4+44a0，可得 a2，即可得出结论【解答】解：方程 x2+y22x+2y+a=0 表示圆，则 4+44a0，a2，“a2”是 a2 的必要不充分条件，“a2”是“方程 x2+y22x+2y+a=0 表示圆”的必要不充分条件，故选：B7 （
13、5 分）两直线 3x+y3=0 与 3x+my+ =0 平行，则它们之间的距离是（ ）7A4 B C D【分析】根据两条直线平行的条件，解出 m=1，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案【解答】解：直线 3x+y3=0 与 3x+my+ =0 平行，m=1因此，直线 3x+y3=0 与 3x+y+ =0 之间的距离为 d= = ，故选：D8 （5 分）阅读如图所示的程序框图，若输入 n=2017，则输出的 S 值是（ ）A B C D【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的 S，k 的值，当 k=2017 时，不满足条件 k2017，退出循环，输出 S 的值，用裂项相消法求
14、和即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得：n=2017，k=1，S=0执行循环体，S=0+ ，k=2；满足条件 k2017，执行循环体，S=0+ + ，k=3；8满足条件 k2017，执行循环体，S=0+ + + ，k=2017；此时，不满足条件 k2017，退出循环，输出 S 的值由于：S=0+ + + = （1 ）+（ ）+（ ）= （1 ）= 故选：A9 （5 分）曲线 y=1+ （2x2）与直线 y=k（x2）+4 有两个交点时，实数 k的取值范围是（ ）A ，+） B （ ， C （0， ） D （ ， 【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可
15、解得 k 的取值范围【解答】解：y=1+ 可化为 x2+（y1） 2=4，y1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2 为半径的圆 y1 的部分直线 y=k（x2）+4 过定点 p（2，4） ，由图知，当直线经过 A（2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个且 kAP= = ，由直线与圆相切得 d= =2，解得 k= ，则实数 k 的取值范围为 ，故选：B10 （5 分）温江某农户计划种植蒜台和花菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54万元，假设种植蒜台和菜花的产量、成本和价格如表所示：9年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 蒜台 4 吨 1.2 万元 0.55
16、 万元花菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元那么一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大为（ ）A50 万 B48 万 C47 万 D45 万【分析】由题意，设农户计划种植蒜台和花菜分别 x 亩，y 亩；从而可得约束条件以及目标函数总利润 z=0.554x+0.36y（1.2x+0.9y）=x+0.9y；从而由线性规划求最优解即可【解答】解：设农户计划种植蒜台和花菜各 x 亩，y 亩；则由题意可得， ；一年的种植总利润 z=0.554x+0.36y（1.2x+0.9y）=x+0.9y；作平面区域如下，结合图象可知，；10解得 x=30，y=20；此时一年的种植总利润最大为 30+
17、0.920=48；故选：B11 （5 分）设集合 A=（x，y）|（x4） 2+y2=1，B=（x，y）|（xt） 2+（yat+2）2=1，如果命题“tR，AB= ”是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，0）（ ，+） B （0， C0， D （，0 ，+）【分析】集合 A、B 分别表示两个圆：圆心 M（4，0） ，r 1=1 和圆心 N（t，at2） ，r 2=1，且两圆一定有公共点，从而得到（a 2+1）t 2（8+4a）t+160由此能求出实数 a 的取值范围【解答】解：集合 A、B 分别表示两个圆，圆心 M（4，0） ，r 1=1，N（t，at2） ，r 2=1，tR， A
18、B ，则两圆一定有公共点，|MN|= ，0|MN|2，即|MN| 24，化简得， （a 2+1）t 2（8+4a）t+160a 2+10，=（8+4a） 24（a 2+1）160，即 3a24a0，0a 故选：C12 （5 分）已知 F1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且F 1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（ ）A B C D1【分析】先设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长 a2，焦距 2c因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找 a1，a 2，c 之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用 a1，a 2表示出|PF 1|，|PF 2|，在F
19、 1PF2中根据余弦定理可得到 ，利用基本不等式可得结论11【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF 1|PF 2|=2a2，|PF 1|=a1+a2，|PF 2|=a1a 2，设|F 1F2|=2c，F 1PF2= ，则：在PF 1F2中由余弦定理得，4c2=（a 1+a2） 2+（a 1a 2） 22（a 1+a2） （a 1a 2）cos化简得：a 12+3a22=4c2，又因为 ，e 1e2 ，故选：C二、填空题13 （5 分）空间中点 A（2，3，5）与 B（3，1，4） ，则|AB|= 【
20、分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可【解答】解：A（2，3，5） ，B（3，1，4） ，|AB|= = ，故答案为 14 （5 分）某单位在岗职工 624 人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取 10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除 4 人，将剩下的 620 名职工编号（分别为 000，001，002，619） ，若样本中的最小编号是 007，则样本中的最大编号是 617 【分析】根据系统抽样的定义，求出组距和组数即可得到结论【解答】解：第一步：将 624 名职工用随机方式进行编号，第二步：从总体中剔除 4 人（剔除方法可用随机数法） ，将剩下的 620 名职
21、工重新编号，分别为 000，001，002，619，并分成 62 段，第三步：在第一段 000，001，002，009 这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码007，第四步：将编号为 7，7+10，7+20，i 0+20，7+610=617 的个体抽出，组成样本12故样本中的最大编号是 617，故答案为：61715 （5 分）已知抛物线 y2=2px（p0）上一点 M（1，m） （m0）到其焦点的距离为 5，双曲线 y 2=1 的左顶点为 A若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 等于 【分析】设 M 点到抛物线准线的距离为 d，由已知可得 p 值，由双曲线的一条渐近线与直线 AM
22、 平行，可得 ，解得实数 a 的值【解答】解：设 M 点到抛物线准线的距离为 d，则 p=8，所以抛物线方程为 y2=16x，M 的坐标为（1，4） ；又双曲线的左顶点为 ，渐近线为 ，所以，由题设可得 ，解得 故答案为：16 （5 分）给出下列结论：动点 M（x，y）分别到两定点（4，0） ， （4，0）连线的斜率之乘积为 ，设M（x，y）的轨迹为曲线 C，F 1、F 2分别为曲线 C 的左右焦点，则下列命题中：（1）曲线 C 的焦点坐标为 F1（5，0） ，F 2（5，0） ；（2）曲线 C 上存在一点 M，使得 S F1MF2=9；（3）P 为曲线 C 上一点，P，F 1，F 2是直角三
23、角形的三个顶点，且|PF 1|PF 2|，的值为 ；（4）设 A（1，1） ，动点 P 在曲线 C 上，则|PA|+|PF 1|的最大值为 8+ ；其中正确命题的序号是 【分析】设 M（x，y） ，由题意可得 kMAkMB= ，运用直线的斜率公式，化简即可得到点13P 的轨迹为曲线 C 是以 F1（ ，0） ，F 2（ ，0）为焦点的椭圆，根据椭圆的性质可逐一判定【解答】解：设 M（x，y） ，则 kMAkMB= ，化简得曲线 C 是以 F1（ ，0） ，F 2（ ，0）为焦点的椭圆，对于（1） ，曲线 C 的焦点坐标为 F1（5，0） ，F 2（5，0）错；对于（2） ，因为 b2=9，要使
24、 S F1MF2=9，必须要存在点 M，使F 1MF2=900c= =3，不存在 M，使得 S F1MF2=9，故错；对于（3） ，由（2）得，P 为曲线 C 上一点，P，F 1，F 2是直角三角形的三个顶点，且|PF 1|PF 2|，则必有 PF1F 1F2|PF1|= ，|PF 2|=2a|PF 1|= ， 的值为 ，正确；对于（4） ，则|PA|+|PF 1|=2a+|PA|PF 2|2a+|PA|=8+ ，故正确；故答案为：三、解答题17 （10 分）已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A（8，5） ，B（4，2） ，C（6，3） （1）求 AC 边上的中线所在直线方程；（2）求 AB
25、边上的高所在直线方程【分析】 （1）线段 AC 的中点 D 坐标为（1，4） ，利用两点式方程能求出 AC 边上的中线所在的直线方程；（2） ，AB 边上高的斜率是 ，且过点 C（6，3） ，由此能求出 AB 边上的高所在的直线方程【解答】解：（1）线段 AC 的中点 D 坐标为（1，4）AC 边上的中线 BD 所在直线的方程是： ，即 2x+y6=0；（2） ，AB 边上高的斜率是 ，AB 边上的高所在直线方程是 y3= （x+6） ，即 4x+7y+3=018 （10 分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其英语成绩分成六14段40，50） ，50，60） ，90，1
26、00）后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据补充完整频率分布直方图估计出本次考试的平均分数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为 20 的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？【分析】 （1）计算分数在70，80）内的频率，利用 求出小矩形的高，补出图形即可；（2）根据频率分布直方图，计算平均分与中位数即可；（3）根据分层抽样原理，计算各分数段内应抽取的人数即可【解答】解：（1）分数在70，80）内的频率为1（0.010+0.015+0.015+0.
27、025+0.005）10=10.7=0.3又 =0.03，补出的图形如下图所示；（2）根据频率分布直方图，计算平均分为：=450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71，估计这次考试的平均分是 71；又 0.0110+0.01510+0.01510=0.40.5，0.4+0.0310=0.70.5，中位数在70，80）内，计算中位数为 70+ 73.3；15（3）根据分层抽样原理，40，50）分数段应抽取人数为 0.1020=2 人；50，60）分数段应抽取人数为 0.1520=3 人；60，70）分数段应抽取人数为 0.1520=3 人；70，80）分数
28、段应抽取人数为 0.320=6 人；80，90）分数段应抽取人数为 0.2520=5 人；90，100分数段应抽取人数为 0.0520=1 人19 （12 分）p：实数 x 满足 x24ax+3a 20，其中 a0，q：实数 x 满足（1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）若 a=1，分别求出 p，q 成立的等价条件，利用且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）利用p 是q 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）由 x24ax+3a 20，得（x
29、3a） （xa）0又 a0，所以 ax3a当 a=1 时，1x3，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1x3由 得得 2x3，即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2x3若 pq 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是 2x316（2）p 是q 的充分不必要条件，即pq，且q 推不出p即 q 是 p 的充分不必要条件，则 ，解得 1a2，所以实数 a 的取值范围是 1a220 （12 分）某公司 2017 年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动（1）现需要从第一排就座的 6 位嘉宾 A、B、C、D、E、F 中随机抽取 2 人上台抽奖，求嘉宾 A 和嘉
30、宾 B 至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个0，1之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖” ，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢” ，则不中奖求该嘉宾中奖的概率【分析】 （1）根据古典概型的概率公式，可得 A 和 B 至少有一人上台抽奖的概率；（2）确定满足 0x1，0y1 点的区域，由条件 ，到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率【解答】解：（1）6 位嘉宾，从中抽取 2 人上台抽奖的基本事件有（a，b） ， （a，c） ，（a，d） ， （a，e） ， （a，f） ， （b，c） ， （b，d） ， （b
31、，e） ， （bf） ， （c，d） ， （c，e） ，（c，f） ， （d，e） ， （d，f） ， （e，f）共 15 种，其中 a 和 b 至少有一人上台抽奖的基本事件有 9 种，17a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率为 = ；（2）由已知 0x1，0y1，点（x，y）在如图所示的正方形 OABC 内，由条件 ，得到的区域为图中的阴影部分，由 2xy1=0，令 y=0，可得 x= ，令 y=1，可得 x=1，在 x，y0，1时满足 2xy10 的区域的面积为 S 阴 = （1+ ）1= 该代表中奖的概率为 = 21 （12 分）已知圆 F 的圆心坐标为（1，0） ，且被直线 x+y2=
32、0 截得的弦长为 （1）求圆 F 的方程；（2）若动圆 M 与圆 F 相外切，又与 y 轴相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程；（3）直线 l 与圆心 M 轨迹位于 y 轴右侧的部分相交于 A、B 两点，且 =4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点【分析】 （1）设圆 F 的方程为（x1） 2+y2=r2，r0，运用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到半径 r，可得圆 F 的方程；（2）由题意可得 M 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 1，即为 M 到点 F 的距离比它到直线x=1 的距离相等，由抛物线的定义可得抛物线的方程；（3）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于 y 的一元
33、二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4，做出数量积表示式中的 b 的值，即得到定点的坐标【解答】解：（1）设圆 F 的方程为（x1） 2+y2=r2，r0，由圆心到直线 x+y2=0 的距离为 d= = ，由弦长公式可得 =2 ，解得 r=1，可得圆 F 的方程为（x1） 2+y2=1；18（2）设 M 的坐标为（x，y） ，由动圆 M 与圆 F 相外切，又与 y 轴相切，可得 M 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 1，即为 M 到点 F 的距离比它到直线 x=1 的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心 M 的轨迹方程为 y2=4x；（3）证明：设 l：x=ty+b
34、 代入抛物线 y2=4x，消去 x 得y24ty4b=0 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）则 y1+y2=4t，y 1y2=4b， =x1x2+y1y2=（ty 1+b） （ty 2+b）+y 1y2=t2y1y2+bt（y 1+y2）+b 2+y1y2=4bt 2+4bt2+b24b=b 24b令 b24b=4，b 24b+4=0b=2直线 l 过定点（2，0） 22 （14 分）以椭圆 C： + =1（ab0）的中心 O 为圆心，以 为半径的圆称为该椭圆的“伴随” （1）若椭圆 C 的离心率为 ，其“伴随”与直线 x+y2=0 相切，求椭圆 C 的方程（2）设椭圆 E： +
35、 =1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E于 AB 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q（i）求 的值；（ii）求ABQ 面积的最大值【分析】 （）运用椭圆的离心率公式和椭圆的“伴随”定义及 a，b，c 的关系，计算即可得到 a，b，进而得到椭圆 C 的方程；（）求得椭圆 E 的方程， （i）设 P（x 0，y 0） ， =，求得 Q 的坐标，分别代入椭圆C，E 的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线 y=kx+m 代入
36、椭圆 C 的方程，由判别式大于 0，可得 t 的范围，结合二次函数的最值，又ABQ 的面积为 3S，即可得到所求的最大值19【解答】解：（1）椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，其“伴随”与直线x+y2=0 相切， ，解得 a=2，b=1，椭圆 C 的方程为 =1（2）由（1）知椭圆 E 的方程为 + =1，（i）设 P（x 0，y 0） ， |=，由题意可知，Q（x 0，y 0） ，由于 +y02=1，又 + =1，即 （ +y02）=1，所以 =2，即 |=2；（ii）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m216=0，由0，可得 m24+16k 2，则有 x1+x2= ，x 1x2= ，所以|x 1x 2|= ，由直线 y=kx+m 与 y 轴交于（0，m） ，20则AOB 的面积为 S= |m|x1x 2|= |m| =2 ，设 =t，则 S=2 ，将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0，由0 可得 m21+4k 2，由可得 0t1，则 S=2 在（0，1）递增，即有 t=1 取得最大值，即有 S ，即 m2=1+4k2，取得最大值 2 ，由（i）知，ABQ 的面积为 3S，即ABQ 面积的最大值为 6
