1、- 1 -湖南省湖南师范大学附属中学 2019 届高三数学上学期月考试题（四）理（含解析）时量：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 AxR|x 2x20，BxZ|x2t1，tA，则 AB(C)A1，0，1 B1，0 C0，1 D0【解析】AxR|x 2x20x|1x2，则 x2t1(1，5)，所以 B0，1，2，3，4，所以 AB0，1，故选 C.2已知复数 z ，给出下列四个结论：|z|2； z22i；z 的共轭复数21 iz1i；z 的虚部为 i.其中正确结论的个数是(B)A
2、0 B. 1 C2 D3【解析】由已知 z1i，则|z| ，z 22i，z1i，z 的虚部为 1.所以仅结论2正确，故选 B.3若向量 a 与 b 满足 a，且 1， 2，则向量 a 在 b 方向上的投影为(B)(a b) |a| |b|A. B C1 D. 312 33【解析】利用向量垂直的充要条件有： a a2 ab0， ab1，向量 a(a b)在 b 方向上的投影为 .ab|b| 12- 2 -4五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0 代表土，1 代表水，2 代表火，3 代表木，4 代表金，依此类推，5 又属土，6 属水，减
3、去 5 即得. 如图，这是一个把 k 进制数 a(共有 N 位)化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的 k，a，n 分别为 5，1 203，4，则输出的 b (A)A178 B386 C890 D14 303【解析】模拟执行程序 框图，可得程序框图的功能是计算并输出b35 005 125 215 3178.故选 A.5若(1x) 5a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5，则|a0|a 1|a 2|a 3|a 4|a 5|(A)A0 B1 C32 D1【解析】由二项展开式的通项公式 Tr1 C (x) rC (1) rxr，可知 a1，a 3，a 5都小于r5 r5
4、0，则|a 0|a 1|a 2|a 3|a 4|a 5|a 0a 1a 2a 3a 4a 5，在原二项展开式中令x1，可得 a0a 1a 2a 3a 4a 50.故选 A.6若实数 x，y 满足 且 z2xy 的最小值为 3，则实数 b 的值为(C)2x y 0，y x，y x b， )A1 B. 2C. D.94 52【解析】画出可行域如图阴影部分所示，- 3 -当目标函数 z2xy 过点 B 时取得最小值，由 得 B ， 则y x b，2x y 0 ) (b3， 2b3)2 3，解得 b .故选 C.b3 2b3 947气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于
5、22 ”现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22；乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24；丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8.则肯定进入夏季的地区有(B)A B C D【解析】 由统计知识，甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22，可知符合题意；乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24，有可能某一天的气温低于 22 ，所以不符合题意；丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8.若某一天的气温低于 22 ，则总体
6、方差就大于 10.8，所以满足题意，故选 B.8平面 过正方体 ABCDA 1B1C1D1的顶点 A，平面 平面 A1BD，平面 平面ABCDl，则直线 l 与直线 A1C1所成的角为(D)A30 B45 C60 D90【解析】如图所示，平面 过正方体 ABCDA 1B1C1D1的顶点 A，平面 平面 A1BD，平面 平面 ABCDlAF，平面 A1BD平面 ABCDBD，BDAF，又A 1C1AC，则直线 l与直线 A1C1所成的角即为直线 BD 与直线 AC 所成的角，为 90.故选 D.9对于数列 ，定义 Hn 为 的“优值” ，现已知某数列的ana1 2a2 2n 1ann an- 4
7、 -“优值”H n2 n，记数列 的前 n 项和为 Sn，则 (B)anS2 0192 019A2 022 B1 011 C2 020 D1 010【解析】由 Hn 2 n，a1 2a2 2n 1ann得 a12a 22 n1 ann2 n， a12a 22 n2 an1 (n1)2 n1 ， 得 2n1 ann2 n(n1)2 n1 (n1)2 n1 ，即 ann1，S n ，n（ n 3）2所以 1 011.故选 B.S2 0192 01910在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，cos B sin B2，则 ac 的取值范围是(B)cos Bb cos Cc
8、23sin A3sin C 3A. B. C. D. (32， 3 (32， 3 32， 3 32， 3【解析】由题意 可得：cos Bb cos Cc 23sin A3sin C ，ccos B bcos Cbc sin Ccos B sin Bcos Cbsin C sin（ B C）bsin C 23sin A3sin Cb .32cos B sin B2 2sin 2，3 (12cos B 32sin B) (B 6)B ，B ， 1， 6 2 3 bsin BAC ，2300)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，(2 x 3) 2则 _1_【解析】由 ，T 得 1.T2 2 22-
9、6 -14已知函数 f(x) 则 f(x)dx 的值为_ _x 1（ 1 x 0） ，1 x2（ 00，b0)，过 x 轴上点 P 的直线与双曲线的右支交于 M，Nx2a2 y2b2两点(M 在第一象限)，直线 MO 交双曲线左支于点 Q(O 为坐标原点)，连接 QN.若MPO120，MNQ150，则该双曲线的渐近线方程为_yx_ .【解析】由题意可知：M，Q 关于原点对称，k MN kQN ，b2a2k MN ，k QN ， 1，渐近线方程为 yx.333 b2a216某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为 3 的等边三角形，若该几何体的外接球的体积
10、为 36，则该几何体的体积为2_9_【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图 所示，由该几何体的外接球的体积为36，即 R 336，R3，则球心 O 到底面等边ABC 的中心 O的距离 43 |OO | ，可得三棱锥的高 h2 2 ，故三棱锥的体积 V (3R2 (33 32)2 3 |OO | 3 13 34)22 9.2 3- 7 -三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17(本小题满分 12 分)已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，满足
11、S42a 42，S 32a 32.()求a n的通项公式；()记 bnlog 2 ，数列 的前 n 项和为 Tn，求使 Tn 成立的正整数(an 1an) bnan 177 2n60n 的最小值【解析】()设a n的公比为 q，由 S4S 3a 4得，2a 42a 3a 4，所以 2，a4a3所以 q2.2 分又因为 S32a 32，所以 a12a 14a 18a 12，所以 a12.所以 an2 n.5 分 ()由()知 bnlog 2(an1 an)log 2(2n1 2n)2n1，所以 ，6 分bnan 2n 12nTn ，则 Tn ，121 322 523 2n 12n 12 122
12、323 524 2n 32n 2n 12n 1Tn Tn Tn 12 12 12 (121 122 123 12n 1) 2n 12n 1 12 (1 12n 1) 2n 12n 1 32 2n 32n 1，所以 Tn3 ，10 分2n 32n由 Tn3 ，得 60，则 n6，2n 32n 177 2n60 2n 32n 177 2n60 2n 360所以 n 的最小值是 6.12 分18(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，ADP90，- 8 -平面 ADP平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点()在棱 AB 上是否存在
13、一点 E，使得 AF平面 PCE，并说明理由；()当二面角 DFCB 的余弦值为 时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角24【解析】()在棱 AB 上存在点 E，使得 AF平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点理由如下：取 PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ，由题意，FQDC 且 FQ CD，12AECD 且 AE CD，12故 AEFQ 且 AEFQ.所以，四边形 AEQF 为平行四边形.3 分所以，AFEQ，又 EQ平面 PEC，AF平面 PEC，所以，AF平面 PEC.5 分()由题意知ABD 为正三角形，所以 EDAB，亦即 EDCD，又ADP90，所以 PDAD，且平面 AD
14、P平面 ABCD，平面 ADP平面 ABCDAD，所以 PD平面 ABCD，故以 D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，7 分设 FDa，则由题意知 D ，F ，C ，B ，(0， 0， 0) (0， 0， a) (0， 2， 0) (3， 1， 0) ， ，FC (0， 2， a) CB (3， 1， 0)设平面 FBC 的法向量为 m ，(x， y， z)则由 得 令 x1，则 y ，z ，mFC 0，mCB 0) 2y az 0，3x y 0， ) 3 23a所以取 m ，显然可取平面 DFC 的法向量 n ，(1， 3，23a) (1， 0， 0)由题意： ，所以 a .10 分24
15、|cos m， n | 11 3 12a2 3由于 PD平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD，所以PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，- 9 -易知在 RtPBD 中，tanPBD a ，从而PBD60，PDBD 3所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60.12 分19(本小题满分 12 分)为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)0，10) 10，15) 15，)从本市随机抽取了 1
16、0 户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：()现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水量的户数 X 的分布列与数学期望；()用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10 户，若抽到 k 户月用水量为一阶的可能性最大，求 k 的值【解析】(1)由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 3 户，二阶的有 5 户，三阶的有 2 户第二阶段水量的户数 X 的可能取值为 0，1，2，3，P(X0) ，P(X1) ，112 512P(X2) ，P(X3) ，4 分512 112所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 112 512 5
17、12 112X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .6 分112 512 512 112 32(2)设 Y 为从全市抽取的 10 户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得 YB ，(10，310)P(Xk)C (k0，1，2，3，10)，9 分k10(310)k (710)10 k - 10 -由 解得 k ，又 kN *，所以当 k3 时概率最大2310 3310即从全市依次随机抽取 10 户，抽到 3 户月用水量为一阶的可能性最大.12 分20(本小题满分 12 分)已知点 F 是椭圆 y 21(a0)的右焦点，点 M(m，0)，N(0，n)x21 a2分别是 x 轴，y 轴上的动点，且满足
18、 0.若点 P 满足 2 (O 为坐标原点)MN NF OM ON PO ()求点 P 的轨迹 C 的方程；()设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，直线 OA，OB 与直线 xa 分别交于点 S，T，试判断以线段 ST 为直径的圆是否经过点 F？请说明理由【解析】() 椭 圆 y 21(a0)右焦点 F 的坐标为(a，0)，1 分x21 a2 (a，n) (m，n)，NF MN 由 0，得 n2am 0. 3 分MN NF 设点 P 的坐标为(x，y)，由 2 ，有(m，0)2(0，n)(x，y)，OM ON PO 代入 n2am0，得 y24ax.m x，n y2. )
19、即点 P 的轨迹 C 的方程为 y24ax.5 分()解法一：设直线 AB 的方程为 xtya，A ，B ，则 lOA：y x，l OB：y x. 6 分4ay1 4ay2由 得 S ，同理得 T . 8 分y 4ay1x，x a， ) ( a， 4a2y1) ( a， 4a2y2) ， ，则 4a 2 .9 分FS ( 2a， 4a2y1) FT ( 2a， 4a2y2) FS FT 16a4y1y2由 得 y24aty 4a20，y 1y24a 2.10 分x ty a，y2 4ax， )则 4a 2 4a 24a 20.FS FT 16a4（ 4a2）因此，以线段 ST 为直径的圆经过点
20、 F.12 分- 11 -解法二：当 ABx 时，A(a，2a)，B(a，2a)，则 lOA：y2x，l OB：y2x.由 得点 S 的坐标为 S(a，2a)，则 (2a，2a)y 2x，x a， ) FS 由 得点 T 的坐标为 T(a，2a)，则 (2a，2a)y 2x，x a， ) FT (2a)(2a)(2a)2a0. 7 分FS FT 当 AB 不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 yk(xa)(k0)，A ，B ，同解法一，得 4a 2 .8 分FS FT 16a4y1y2由 得 ky2 4ay4ka 20，y 1y24a 2.9 分y k（ x a） ，y2 4ax， )则
21、4a 2 4a 24a 20. 11 分FS FT 16a4（ 4a2）因此，以线段 ST 为直径的圆经过点 F. 12 分21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)a(x1)，g(x)(ax1)e x，aR.()若直线 yf(x)与曲线 yg(x)相切于点 P(x0，y 0)，证明：0g(x)有且仅有两个整数解，求 a 的取值范围【解析】()g(x)(axa1)e x，由导数的几何意义可知，(ax 0a1)ex 0a， 1 分又直线 yf(x)的图象过定点(1，0)，因此 a，（ ax0 1） ex0x0 1即(ax 01)ex 0a(x 01)， 2 分联立消去 a 有 ex0x 02
22、0.3 分设 (x)e xx2，则 (x)e x10，所以 (x)在 R 上单调递增而 (0)10，(0)(1)g(x)得 a 0，故 h(x)在(，x 0)上单调递减，在(x 0，)上单调递增- 12 -h(x) minh(x 0)x 0 .x0 1ex0 x0ex0 x0 1ex0易证 exx1，h(x 0) 0，8 分x0ex0 x0 1ex0当 x0 时，h(x)h(0)10；当 x1 时，h(x)h(1)1.(1)若 a0，则 ah(x)01，此时 h(0)h(1)11，2x 2 x 1 4， ) x1 或1x1 或，53原不等式的解集为 .5 分x|53 x 1)()由题意得 g(x)f(x)f(x)2 (|x a| |x a|) (|x1a| |x 1a|)2|2a| 4 4 ，8 分2|a| |a| 2|a| 2当且仅当 2 ，即 a ，且 x 时，g(x) 取最小值 4 .10 分|a|1|a| 22 22 22 2
