1、8.4 直线、平面平行的判定与性质,-2-,知识梳理,考点自诊,1.直线与平面平行的判定与性质,a=,a,b,ba,a,a,a,=b,a=,ab,-3-,知识梳理,考点自诊,2.面面平行的判定与性质,=,a,b,ab=P, a,b,=a,=b,-4-,知识梳理,考点自诊,1.平面与平面平行的三个性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. (3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 2.判断两个平面平行的三个结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行. (2)平行于同一平面的两个平面平行. (3)如果一个平
2、面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面. ( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线. ( ) (3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a. ( ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.已知,是三个不重合的平面,a,b是两条
3、不重合的直线,有下列三个条件:a,b;a,b;b,a.如果命题“=a, b,且 ,则ab”为真命题,则可以在横线处填入的条件是( ) A.或 B.或 C.或 D.只有,C,解析:中a,b可能平行也可能异面.由定理“一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得,横线处可填入条件或,结合各选项知,选C.,-7-,知识梳理,考点自诊,3.(2018黑龙江哈尔滨师范大学附属中学三模,11)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD中点,过点B1,且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为( ),C,-8-,知识梳理,考点自诊,4.(2018江西南昌联考,1
4、4)如图,各棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1,M、N分别为线段A1B、B1C上的动点,且MN平面ACC1A1,则这样的MN有 .,无数条,-9-,知识梳理,考点自诊,-10-,考点1,考点3,线面平行的证明 例1 (2018广东宝安、潮阳等七校联考,19)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面PAB平面ABCD,点E,F分别为BC、AP中点. (1)求证:EF平面PCD; (2)若AD=AP=PB= AB=1,求三棱锥P-DEF的体积.,考点2,考点4,-11-,考点1,考点3,(1)证明 取PD中点G,连接GF,GC. 在PAD中,有G,F分别为PD、AP中点,GCEF.
5、 而GC平面PCD,EF平面PCD, EF平面PCD.,考点2,考点4,-12-,考点1,考点3,(2)解 四边形ABCD是矩形, ADAB,ADBC. 平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB, AD平面ABCD, AD平面PAB.平面PAD平面PAB,BC平面PAD.,考点2,考点4,-13-,考点1,考点3,思考判断或证明线面平行的常用方法有哪些? 解题心得1.判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba); (3)利用面面平行的性质(,aa). 2.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有
6、:利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.,考点2,考点4,-14-,考点1,考点3,对点训练1 如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,E为SA的中点, SA=SB=2,AB= ,BC=3. (1)证明:SC平面BDE; (2)若BCSB,求三棱锥C-BDE的体积.,考点2,考点4,-15-,考点1,考点3,(1)证明 连接AC,设ACBD=O,连接OE, 四边形ABCD为矩形, O为AC的中点, 在ASC中,E为AS的中点, SCOE, 又OE平面BDE,SC平面BDE, SC平面BDE.,考点2,考点4,-16-,考
7、点1,考点2,考点3,(2)解 过点E作EHAB,垂足为H, BCAB,且BCSB,ABSB=B, BC平面SAB, EH平面ABS,EHBC, 又EHAB,ABBC=B, EH平面ABCD, 在SAB中,取AB中点M,连接SM, SA=SB,SMAB,SM=1.,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,证明空间两条直线平行 例2如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,PD底面ABCD, ABCD,ADCD,E为PD上异于P,D的一点.,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,思考空间中证明两条直线平行的常用方法有哪些? 解题心得空间中证明两条直线平行的常用方法:
8、 (1)利用线面平行的性质定理,即a,a,=bab. (2)利用平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行. (3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行.,考点1,考点2,考点3,考点4,-20-,对点训练2 如图,在多面体ABCDEF中,DE平面ABCD,ADBC,平面BCEF平面ADEF=EF,BAD=60,AB=2,DE=EF=1.(1)求证:BCEF; (2)求三棱锥B-DEF的体积.,考点1,考点2,考点3,考点4,-21-,(1)证明 ADBC,AD平面ADEF,BC平面ADEF,BC平面ADEF. 又BC平面BCEF,平面BCEF平面ADEF=EF,BCEF. (2)解 过点
9、B作BHAD于点H. DE平面ABCD,BH平面ABCD,DEBH. AD平面ADEF,DE平面ADEF,ADDE=D, BH平面ADEF. BH是三棱锥B-DEF的高.,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,证明空间两平面平行 例3 (2018河北邢台联考,18)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1上的点,且B1E=C1F,求证:(1)EF平面ABCD; (2)平面AD1C平面A1BC1.,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,证明 (1)证法一:如图,过E,F分别作AB,BC的垂线EM,FN,分别交AB,BC于点M,N,
10、 连接EF,MN. 因为BB1平面ABCD, 所以BB1AB,BB1BC. 所以EMBB1FN. 又因为AB1=BC1,B1E=C1F, 所以AE=BF. 又B1AB=C1BC=45, 所以RtAMERtBNF. 所以EM=FN. 所以四边形MNFE是平行四边形,所以EFMN. 又MN平面ABCD,所以EF平面ABCD.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)如图,连接A1B,D1C,AD1,由已知AD1BC1,CD1A1B.又AD1CD1=D1,BC1BA1=B, 所以平面AD1C平面A1BC1.,-26-,思考证明面面平行的方法有哪些?
11、解题心得判定面面平行的方法 (1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用). (2)利用面面平行的判定定理(主要方法). (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用). (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).,考点1,考点2,考点3,考点4,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3 (2018山西太原三模,19)已知空间几何体ABCDE中,BCD与CDE均为边长为2的等边三角形,ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD,M,N分别为DB,DC的中点.(1)求证:平面EMN平面ABC; (
12、2)求三棱锥A-ECB的体积.,思路分析(1)要证平面EMN平面ABC,转证EN平面ABC,MN平面ABC即可; (2)由(1)知EN平面ABC,所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,利用等体积法有VE-ABC=VN-ABC,从而得到结果.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明 取BC中点H,连接AH, ABC为等腰三角形, AHBC, 又平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC, AH平面BCD,同理可证EN平面BCD, ENAH, EN平面ABC,AH平面ABC, EN平面ABC, 又M,N分别为BD,DC中点,MNBC, MN平面ABC,BC平面
13、ABC, MN平面ABC, 又MNEN=N, 平面EMN平面ABC.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解 连接DH,取CH中点G,连接NG,则NGDH, 由(1)知EN平面ABC, 所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等, 又BCD是边长为2的等边三角形, DHBC, 又平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,DH平面BCD, DH平面ABC,NG平面ABC,-30-,平行关系中的存在问题 例4 (2018四川成都七中三诊,18)在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF是正方形,ABDC,CDAD,面ABCD面ADEF,AB=AD=1
14、,CD=2. (1)设M为线段EC上一点, ,试问在线段BC上是否存在一点T,使得MT平面BDE,若存在,试指出点T的位置;若不存在,说明理由? (2)在(1)的条件下,求点A到平面MBC的距离.,考点4,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,-32-,考点1,考点2,考点3,思考解决存在性问题的一般思路是什么?,解题心得解决存在性问题一般先假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,若找到了使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出
15、符合要求的证明.,-33-,考点1,考点2,考点3,对点训练4如图,四边形ABCD为梯形,ABCD,PD平面ABCD, BAD=ADC=90,DC=2AB=2a,DA= ,E为BC的中点. (1)求证:平面PBC平面PDE. (2)在线段PC上是否存在一点F,使得PA平面BDF?若存在,指出点F的位置,并证明;若不存在,请说明理由.,-34-,考点1,考点2,考点3,(1)证明 如图,连接BD, 由题意BAD=ADC=90,AB=a,DA= , 所以BD=DC=2a,因为E为BC的中点,所以BCDE, 又PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以BCPD, 又DEPD=D,所以BC平面PDE,
16、又BC平面PBC,所以平面PBC平面PDE.,-35-,考点1,考点2,考点3,(2)解 当点F位于线段PC的三分之一分点(靠近点P)时,PA平面BDF,证明如下: 如图,连接AC交BD于点O,连接OF,BF,DF, 因为ABCD,所以AOBCOD,又OF平面BDF,PA平面BDF, 所以PA平面BDF.,-36-,考点1,考点2,考点3,思路分析(1)连接BD,由题意得BD=DC=2a,又由E为BC的中点,得到BCDE,进而得到BCPD,利用线面垂直的判定定理证得BC平面PDE,再利用面面垂直的判定定理,即可证得平面PBC平面PDE;(2)取线段FC的三等分点F,连接AC交BD于点O,连接O
17、F,BF,DF,进而得到OFPA,再利用线面平行的判定定理,即可证得PA平面BDF.,-37-,考点1,考点2,考点3,1.平行关系的转化方向如图所示:2.直线与平面平行的主要判定方法: (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法: (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a,a.,-38-,考点1,考点2,考点3,1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用.,
