1、11.1.1 正弦定理1正弦定理在 ABC 中，若角 A， B， C 对应的三边分别是 a， b， c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即_正弦定理对任意三角形都成立2解三角形一般地，把三角形的三个角 A， B， C 和它们的对边 a， b， c 叫做三角形的_已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_K 知识参考答案：1 sinisinabc=ABC2元素 解三角形K重点 正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用K难点 三角形解的个数的探究、三角形形状的判断K易错 解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论正弦定理的常见变形及推广（1）sinsisin,siin,siin,si
2、nAaCcBbaAaCcAbcBBb（2）sinisinisisisisiaABC（3） :i:iabcBC（4）正弦定理的推广：2sinisinabcRA，其中 为 ABC 外接圆的半径2（1）已知 ABC 中， sin:si=1:23ABC，则 a:bc=_；（2）已知 ABC 中， A=60， 3a，则+insin=_【答案】（1） :23；（2）2【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得 =i:i=1:23:bcABC（2）方法 1：设=sinabAB(0)sinckC，则有 sinsisinakbckC， ， ， 从而isick，又 260A，所以niabABC=2方法 2：根据正弦定
3、理的变形，可得 2sinsinabcaABC=【名师点睛】熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果在 ABC 中，求证： 22sisisiabab【答案】证明见解析【解析】设 外接圆的半径为 R，则 in,2i,ARB 于是2222sinsi(sin)(s)8coi)iissin,abBRABACab所以 22iinBAab【解题技巧】=2sinisicRC的两种变形的应用：（1） （边化角） 2,n,siabBC；（2） （角化边）sin,si,i2cARR正弦定理在解三角形中的应用、三角形解的个数的探究1正弦定理可以用来解决下列两类解三角形的问题：（1）已知两角和任
4、意一边，求其他的边和角；3（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角2三角形解的个数的探究（以已知 ab， 和 A解三角形为例）（1）从代数角度来看若sini1bAB=a，则满足条件的三角形的个数为 0，即无解；若isi，则满足条件的三角形的个数为 1；若ini1bAB=a，则满足条件的三角形的个数为 1 或 2注：对于（3） ，由sin0i1bABa可知 B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角” 、 “三角形内角和等于 180”等进行讨论（2）从几何角度来看当 A 为锐角时：一解 一解 两解 无解当 A 为钝角或直角时：一解 一解 无解 无解（1）已知在 ABC 中， 10,
5、45,30cAC，则a_， b_， _；4（2）已知在 ABC 中， 3,60,1bc，则a_， _， _；（3）已知在 中， ,45,2cAa，求 b和 ,BC【答案】（1） 102， 56， 10；（2） ， 90， 3；（3）见解析【解析】（1） ,38()15cCAQ， ，由 siniaAC，得sinsi45102Aa，由 iibcB，得i10i652sns34Bb（2）iin01,isini 2cCb，,60,bcBQ， 为锐角， 3,9CA， 22cba（3）sin6si45,isini 2acAa，,60ccC或 12，当 60时，sin6si7575, 310cBBb，当 12
6、C时，ii1,sC3,75,60bB或 31,5,120bBC【解题技巧】（1）已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角；当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边5三角形形状的判断判断三角形形状的常用方法边化角，已知条件中同
7、时包含边角关系，判断三角形形状时，将边化为角，从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形在 ABC 中，已知sinabBA，且 cos()cs1os2BC，则 是A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】B【解析】设 A 的外接圆半径为 R，由正弦定理的推广，得sin2aAR，sin2bR，代入sinaB，可得ab，即 2ba因为 co()c1os2AC，所以2cos()cs()sinABC，即 2sinsiB由正弦定理的推广可得2()abcR，所
8、以 2abc，由 2ba及 2c可得 2，所以 ABC 是直角三角形故选 B【名师点睛】注意到 a， b， c 在条件式中是齐次线性关系，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角通过角的特征或者关系来判断三角形的形状忽略角的取值范围而出错在 ABC 中，若 3，求cb的取值范围【错解】由正弦定理，可得622sini3sin2cos2in= cos4cos1icCBBBb，20o1,413Q，由 ,bc，可得0cb故 的取值范围为 (,3)【错因分析】错解中没有考虑角 B的取值范围，误认为角 B的取值范围为 (0,18)【正解】由正弦定理可得 22sini3sin2cos2in= cos4cosicC
9、 BbB，180,45,1ABBQ，24cos3，即3cb，故 b的取值范围为 (1,)【名师点睛】解三角形时要注意三角形的内角为正角且必须满足三角形内角和定理，这是解题中的隐含条件，应特别注意忽略对角的讨论而出错已知在 ABC 中， 4,2,30,abB 求角 ,AC和边 c【错解】由正弦定理 sini可得 siniA，2sin,45，18034510C，6,i105icbCBQ，sin2bcB【错因分析】错解中由正弦定理求出角 A 的正弦值后误认为角 A 是锐角，从而导致错误【正解】由正弦定理,siniabB得42sini30，2sin,7,45abAQ或 13当 时， 804510C，6
10、2sin,sin1,23sincbbCcBB；当 135A时， 80351，62sin,sin1,23sin4cbbcCQ综上， 45,0,3Ac或 15,2ACc【名师点睛】在 B 中，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角，此时解的个数可能不确定，应注意讨论，避免漏解导致错误1在 ABC 中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c， 83,60bA，则sinA 23B 3C D 82在 B 中，角 A， ， C的对边分别为 a， b， c，若 2a，45， 2b，则 A 30或 1 B 30C D 453在 B 中，若 A60， B45， BC 2，则 AC
11、A 4 B 28C 3 D324在 AB 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 A:B:C1:2:3，则 a:b:cA1:2:3 B1:2: 3C1: 3:2 D2: :15在 B 中，角 A， B， C 的对边分别为a， b， c， 32， 4， tan2，则 aA 10 B 26C D6在 B 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 oscsinCaA，则的形状为A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定7在 B 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 15,8,30bA，则此三角形解的个数为A 0 BC 2 D不能确定8已知
12、 B 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 cosA:cosB b:a，则A是A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形9在 B 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 8a， 60， 75C，则b_10在 中，角 A， C 的对边分别为 a， c，其中 1， 3cA，则角9C_11在 AB 中，若 B30， AB2 3， AC2，则 ABC 的周长为_12 C 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，己知 =90， a+c= 2b，求13在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若a52b， A2
13、 B，则 cosB=A 3 B54C5D 614在 AB 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知,3,2Aab，则10A6B4C 3 D 215在 AB 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知3,6,3abA，则角B 等于A4B4C 或3D以上都不正确16在 B 中，角 A， B， C 的对边为 a， b， c，若 os(2)cosabA，则是A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形17在 B 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若oscosACab，则是A有一内角是 30的三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D
14、有一内角是 30的等腰三角形18在 B 中，已知 31,6,15bc，则边长 aA 31或 2B 31C2 D 219在 B 中，已知 2AC， 30B，则 A_20如图所示，在一个坡度一定的山坡 的顶上有一高度为 25m的建筑物 C为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 处测得 15，沿山坡前进1150m到达 B处，又测得 45DBC根据以上数据计算可得cos_21如图，在 ABC 中，点 D在 边上，72cos4210AB， ，（1）求 sin的值；（2）若 5BD，求 的长1222 （2017 山东理）在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 ABC 为
15、锐角三角形，且满足 sin(12cos)incossin，则下列等式成立的是A 2ab B 2baC BD A23 （2017 新课标全国文） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知sin(sico)0C， a=2， c= 2，则 C=A12B6C 4 D 324 （2017 新课标全国文） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若2coscosbBa，则 _25 （2017 新课标全国文） 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 C=60，b= 6， c=3，则 A=_26 （2018 北京理）在 BC中， 7a， 8b，1
16、cos7（1）求 ；（2）求 A边上的高131 【答案】D【解析】 83,60abA，由 siniabB得sin3i.8bAa故选 D2 【答案】B【解析】在 BC 中，由 siniab得21siisin45aAb，由于ab，所以 A，所以 30，故选 B3 【答案】B【解析】由正弦定理得2sin60i45AC，所以 AC23sin452.60故选 B4 【答案】C【解析】因为在 AB 中， A B C，且 A:B:C1:2:3，所以 A 6， B= 3， C=2，由正弦定理的变形，得 a:b:csin A:sinB:sinC13=2： ：1: :2故选 C6 【答案】B【解析】由已知可得 2
17、sincosinsiBCA，2sin()siBCA，sin1A，2，三角形为直角三角形故选 B7 【答案】C14【解析】由正弦定理可得sin18i30i5bABa，因为 ba，所以30BA，所以角 可能是锐角，也可能是钝角，所以此三角形有两解，故选C8 【答案】D【解析】由正弦定理可得cosinAbBa，即 sinAcosAsin BcosB，所以sin2Asin2 B，即 2A2 B 或 2A2 B，即 A B 或 A B 2，故 C 是等腰或直角三角形故选 D9 【答案】 46【解析】 0B， 75C， 4A， siniabAB，823b，46b10 【答案】【解析】由正弦定理可得31si
18、niC，即 213sinC，所以6C或56，又 ac，所以 6 12 【答案】 o=15C【解析】由正弦定理可得 sin2sinACB，又由于15oo90=18()ACBAC，故 csin2sio2sin(90)2cosC，即2oco,o45因为 o09C，所以 2=，即 =113 【答案】B【解析】由正弦定理，得sinaAbB，所以 a52b 可化为sinAB52又 A2 B，所以sin25，所以 cosB 4故选 B14 【答案】D【解析】在 C 中，由正弦定理可得2sinisin13bAa，又0B，所以 2，故选 D15 【答案】A【解析】在 AC 中，3,6,3abA，36sinisi
19、niabBB2sinB，又 ，0B， 4，故选 A16 【答案】D【解析】由正弦定理和已知条件可得 sincos2incosicsCAB，所以 sin()sico2sisi,ABB 即co0，所以 s或 isnA，即 90或 =A故 C 是等腰三角形或直角三角形故选 D1618 【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin6si153i 2cBCb，在 ABC 中， cb， 60或 12当 60时， 15，sinsi05316cAa；当 2C时， 4A，此时iin42sC综上，可得 31a或 2故选 A19 【答案】 05或【解析】由正弦定理得 siniBC，得sin2sisi30BCA，由 AB
20、，得 ，所以 45或 13，从而 15或 21 【答案】 （1）45；（2） 【解析】 （1）因为2cos10ADB，所以72sin10ADB17又4CAD，所以4ADB，所以 7224sini()sincossin444105ADB（2）在 ACD 中，由 siniC，可得si2nC22 【答案】A【解析】由题意知 si()2sico2sicosiBA，所以 2sincocnBAba，故选 A23 【答案】B【解析】由 si()si(cos)0CC可得sinconAAin，即(s)2is()4，所以34A由正弦定理 siniacAC可得23insiC，即1si2，因为 ca，所以C，所以6，
21、故选 B24 【答案】 3【解析】由正弦定理可得 12sincosicsincosi()sincos2BACACB3B25 【答案】 7518【解析】由正弦定理 sinibcBC，可得36sin2ibCBc，结合bc可得 45，则 18075A.26 【答案】 （1）3；（2） AC 边上的高为32【解析】 （1）在 ABC中，因为1cos7B，所以(,)，所以243sincos7由正弦定理 sinsinabAB8437，所以3sin2A因为(,)2B，所以(0,)2，所以 （2）在 C中， 3143sini()sincosic()271ABBA如图所示，在 C中，ih，所以sin2C，所以 A边上的高为32
