1、1平行四边形章末小结与提升四边形 平行四边形正方形类型 1 平行四边形的性质和判定典例 1 如图,已知 AB DE,AB=DE,AF=DC,求证:四边形 BCEF 是平行四边形 .【解析】如图,连接 AE,DB,BE,设 BE 交 AD 于点 O.AB DE,AB=DE, 四边形 ABDE 是平行四边形, OB=OE ,OA=OD.AF=DC ,OF=OC , 四边形 BCEF 是平行四边形 .【针对训练】1.如图,在平行四边形 ABCD 中, AD=7,CE 平分 BCD 交 AD 边于点 E,且 AE=3,则 AB 的长为 (A)A.4 B.3 C. D.2522.如图, P 为 ABCD
2、 的边 AD 上一点, E,F 分别是 PB,PC 的中点, PEF, PDC, PAB 的面积分别为 S,S1,S2,若 S=3,则 S1+S2的值是 12 . 23.在 ABCD 中,点 E 在 CD 边上,点 F 在 AB 边上,连接 AE,CF,DF,BE, DAE= BCF.(1)如图 1,求证:四边形 DFBE 是平行四边形;(2)如图 2,设 AE 交 DF 于点 G,BE 交 CF 于点 H,连接 GH,若 E 是 CD 边的中点,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中以 GH 为边或对角线的所有平行四边形 .解:(1) 四边形 ABCD 是平行四边形,AB CD, ADE
3、= CBF,AD=BC,在 ADE 和 CBF 中, ADE= CBF,AD=BC, DAE= BCF, ADE CBF(ASA),DE=BF ,又 DE BF, 四边形 DFBE 是平行四边形 .(2)以 GH 为边的平行四边形有 GHFA、 GHBF、 GHED、 GHCE;以 GH 为对角线的平行四边形是 GFHE.类型 2 三角形的中位线典例 2 如图,等边 ABC 的边长是 4,D,E 分别为 AB,AC 的中点,延长 BC 至点 F,使CF= BC,连接 CD 和 EF.12(1)求证: DE=CF;(2)求 EF 的长;(3)求四边形 DEFC 的面积 .【解析】(1)在 ABC
4、 中, D ,E 分别为 AB,AC 的中点,DE 为 ABC 的中位线,DE= BC,12CF= BC,DE=CF.12(2)AC=BC ,AD=BD,CD AB.BC= 4,BD=2,CD= =2 .42-22 33DE CF,DE=CF, 四边形 DEFC 是平行四边形,EF=CD= 2 .3(3)过点 D 作 DH BC 于点 H. DHC=90, DCB=30,DH= DC= ,12 3DE=CF= 2,S 四边形 DEFC=CFDH=2 =2 .3 3【针对训练】1.以一个面积为 1 的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为 (C)A.4 B.2 C. D.14 122.如图,
5、D,E 分别是 AB,AC 的中点, BE 是 ABC 的平分线,对于下列结论:BC= 2DE;DE BC;BD=DE ;BE AC.其中正确的是 (D)A. B.C. D.3.(曲靖中考)如图,在 ABC 中, AB=13,BC=12,D,E 分别是 AB,BC 的中点,连接 DE,CD,如果DE=2.5,那么 ACD 的周长是 18 . 4.如图,在四边形 ABCD 中, AB=CD,M,N,P 分别是 AD,BC,BD 的中点, ABD=20, BDC=70,求 PMN 的度数 .解: 在四边形 ABCD 中, M,N,P 分别是 AD,BC,BD 的中点,4PN ,PM 分别是 CDB
6、 与 DAB 的中位线,PM= AB,PN= DC,PM AB,PN DC,12 12 MPD= ABD=20, BPN= BDC=70, MPN= MPD+ NPD=20+(180-70)=130,AB=CD ,PM=PN , PMN= =25.180-1302类型 3 直角三角形斜边上的中线典例 3 如图, ABC 中, AB=AC,D 是 BC 上一点, DE AB 于点 E,FD BC 于点 D,G 是FC 的中点,连接 GD.求证: GD DE.【解析】 FD BC,G 是 FC 的中点,GD 是 Rt FCD 斜边上的中线, GD=GC , GDC= C.又 AB=AC , B=
7、C, B= GDC,GD AB, BED= GDE. GDE=90,GD DE.【针对训练】1.如图,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开,若测得 AB 的长为 2.4 km,则 M,C 两点间的距离为 (B)A.0.6 km B.1.2 km C.0.9 km D.4.8 km2.如图,在三角形 ABC 中, AB=AC,BC=6, DEF 的周长是 7,AF BC 于点 F,BE AC 于点 E,且 D是 AB 的中点,则 AF 的长为 (A)5A. B. C. D.77 5 33.如图,在 ABC 中, D 是 BC 上一点, AB=AD,E,F 分别是
8、 AC,BD 的中点, EF=2,则 AC 的长是(B)A.3 B.4 C.5 D.6类型 4 特殊的平行四边形的性质和判定典例 4 如图,在四边形 ABCD 中, BD 为一条对角线, AD BC,AD=2BC, ABD=90,E为 AD 的中点,连接 BE.(1)求证:四边形 BCDE 为菱形;(2)连接 AC,若 ADB=30,BC=1,求 AC 的长 .【解析】(1) AD= 2BC,E 为 AD 的中点,DE=BC.AD BC, 四边形 BCDE 是平行四边形, ABD=90,AE=DE,BE=DE , 平行四边形 BCDE 是菱形 .(2)连接 AC. ADB=30, ABD=90
9、,AD= 2AB,AD= 2BC,AB=BC , BAC= BCA.AD BC, DAC= BCA, CAB= CAD=30,AB=BC=DC= 1,AD=2BC=2.6 DAC=30, ADC=60, 在 Rt ACD 中, AC= .AD2-CD2= 3【针对训练】1.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, M 为边 AD 的中点,延长 MD 至点 E,使 ME=MC,以 DE 为边作正方形 DEFG,点 G 在边 CD 上,则 DG 的长为 (D)A. -1 B.3- C. +1 D. -13 5 5 52.如图,在 ABC 中, AB=3,AC=4,BC=5,P 为边 BC 上一
10、动点, PE AB 于点 E,PF AC 于点 F,M为 EF 的中点,则 AM 的最小值为 . 653.如图,四边形 ABCD 是菱形, CE AB 交 AB 延长线于点 E,CF AD 交 AD 延长线于点 F,请猜想CE 和 CF 的大小有什么关系?并证明你的猜想 .解: CE=CF. 四边形 ABCD 是菱形,AD BC,AB CD,CD=BC, A= CBE, A= FDC, CBE= FDC.CF AD,CE AB, CEB= CFD=90,在 CDF 和 CBE 中, CDF= CBE, CFD= CEB,CD=CB, CDF CBE(AAS),CE=CF.74.定义:若 P 为
11、四边形 ABCD 内一点,且满足 APB+ CPD=180,则称点 P 为四边形 ABCD 的一个“互补点” .(1)如图 1,点 P 为四边形 ABCD 的一个“互补点”, APD=63,求 BPC 的度数 .(2)如图 2,点 P 是菱形 ABCD 对角线上的任意一点 .求证:点 P 为菱形 ABCD 的一个“互补点”.解:(1)由题可知 BPC=180- APD=180-63=117.(2)连接 AP,CP. 四边形 ABCD 是菱形,AD=CD , ADP= CDP.在 ADP 与 CDP 中, AD=CD, ADP= CDP,PD=PD, ADP CDP(SAS), APD= CPD.又 APB+ APD=180, APB+ CPD=180, 点 P 为菱形 ABCD 的一个“互补点” .
