1、1专题 11 三角函数的图像与性质中的易错点一学习目标1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性2会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期3理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题二方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看 f( x)与 f(x)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为 y Asin x 或 y Atan x ，偶函数一般可化为 y Acos x b 的形式.2.三角函数的单调性(1)函数 y Asin(x )(A0， 0
2、)的单调区间的确定，其基本思想是把 x 看作一个整体，比如：由 2k x 2 k (kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增区间. 2 2若函数 y Asin(x )中 A0， 0，可用诱导公式将函数变为 y Asin( x )，则y Asin( x )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数 y Acos(x )， y Atan(x )等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比较.3.求三角函数的最值常见类型：(1)y Asin(x
3、 ) B 或 y Atan(x ) B，(2)y A(sin x a)2 B，(3)y a(sin xcos x) bsin xcos x(其中 A， B， a， bR， A0， a0).三函数图象与性质需要掌握的题型（一）三角函数图象平移（二）三角函数的零点（三）函数的单调性（四）函数的解析式（五）三角函数图象综合2（六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四典例分析（一）三角函数图象平移例 1为了得到函数 的图象，只需将函数 图象上所有的点（ ）A向左平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度C向左平行移动 个单位
4、长度 D向右平行移动 个单位长度【答案】B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对 x 本身进行加减和伸缩.练习 1为了得到 的图像，只需把函数 的图像（ ）A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得 = ，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为 ，要得到函数 ，只需将3的图象向右平移 个单位长度即可故选 D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的
5、应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例 2函数 的零点个数为A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为 0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令 ，即 ，在同一坐标系中画出函数 和 的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数 的零点个数为 2 个，故选 B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用
6、.练习 1设函数 为定义域为 的奇函数，且 ，当 时 ， ，则函数在区间 上的所有零点的和为A10 B8 C16 D20【答案】B 4【解析】根据函数是定义在 R 上的奇函数得函数 图像关于原点对称，又由 可得函数图像关于直线 对称，故而得出函数 是以 4 为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。【详解】因为函数 为定义域为 的奇函数，所以 ，又因为 ，所以 ，可得 ，即函数 是周期为 4 的周期函数，且 图像关于直线 对称。故 在区间 上的零点，即方程 的根，分别画出 与 的函数图像，因为两个函数图像都关于直线 对称，因此方程 的零点关于直线 对称，由图像可知交点个数为 8 个，分别设交
7、点的横坐标从左至右依次为 ，则 ，所以所有零点和为 8,故选 B。练习 2设 ，则函数A有极值 B有零点 C是奇函数 D是增函数【答案】D【解析】由 x0，求得导数判断符号，可得单调性；再由三次函数的单调性，可得 x0 的单调性，即可判断正确结论【详解】由 x0，f（x）=xsinx，导数为 f（x）=1cosx，且 f（x）0，f（x）递增，f（x）0；又 x0，f（x）=x 3+1 递增，且 f（0）=10sin0，故 f（x）在 R 上递增；f（x）无极值和无零点，且不为奇函数.故答案为：D5练习 3已知 ，若函数 在 上有两个不同零点 ，则_【答案】【解析】通过两角和的正弦公式得到函数
8、的解析式，再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和，进而得到结果.【详解】已知 = ，令 ，函数 在 上有两个不同零点,即函数 和 y=m 两个图像有两个不同的交点，做出函数 y=sint，和 y=m 的图像,通过观察得到 进而得到 = 故答案为： . （五）三角函数图象综合例 5函数 在，上的图象大致为( )A B C D【答案】D6【解析】由题易得函数 f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除选项 B、C，当 0x 时， f(x)0，排除选项 A.故选 D.练习 1函数 的图像大致是（ ）A BC D【答案】A 【解析】因为函数 y=f(x)= 2sin1可化简为 f(x)= 2si
9、n1可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案 C；同时有 y= f( x)= =故函数在 x(0, 2)时 f( x)0,则 x(0, 2)上单调递增，排除答案 B 和 D，故选：A.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题练习 2函数 在 ,2上的图像大致为（ ）7【答案】C【解析】试题分析：因为函数 fx的定义域为 ,2，关于原点对称，且，所以函数 fx的图像 关于原点对称
10、，排除 A、B 选项，在同一直角坐标系中，作出函数 2yx， tan在 ,2的图像，由图可知故在 0x时，靠近 y轴的部分满足2tanx，比较选项 C、D 可得答案 C 正确.（六）三角函数的奇偶性例 6已知函数 f(x)s in(2x )在 x 时有极大值，且 f(x )为奇函数，则 ， 的一组可能值依次为( )A B C D【答案】D【解析】依题意得 2 2 k1 ，即 2 k1 ， k1Z，A，B 均不正确由 f(x )是奇函数得 f( x ) f(x )，即 f( x ) f(x )0，函数 f(x)的图象关于点( ，0)对称，f( )0，sin(2 )0，sin(2 )0,2 k2，
11、 k2Z，结合选项 C，D 取 得 ， k2Z，故选 D.8练习 1设函数 的最小正周期为 ，且，则（ ） A fx在 0,2单调递减 B fx在 3,4单调递减C f在 ,单调递增 D f在 ,单调递增【答案】A考点：函数 的解析式，函数的奇偶性，单调性（七）三角函数的对称性例 7函数 f(x)2cos( x )( 0)对任意 x 都有 ，则 等于( )A2 或 0 B2 或 2 C0 D2 或 0【答案】B【解析】由 f f 得 x 是函数 f(x)的一条对称轴，所以 f 2，故选 B.练习 1已知函数 对任意 都有 则 6f等于（ ）A 2 B 0 C 2或 D 2【答案】C【解析】因为
12、函数 对任意 x都有所以 fx关于直线 6对称.9则 6f为 的最大值或最小值，即 26f或 .故选 C.（八）三角函数的最值例 8已知函数 f(x)Asin(x)(A， 均为正的常数)的最小正周期为 ，当 23x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)f(2)【答案】A【解析】因为函数 的最小正周期为 ，所以 2，又当 3x时，函数 fx取得最小值，则 23x是经过函数 fx最小值的一条对称轴， 是经过函数 f最大值的一条对称轴，因为 ，所以，且 ，所以 ，即；故选 A.点睛：本题
13、考查三角函数的性质；比较三角函数值的大小时，往往将角转化到同一个单调区间上，而本题中将 2,0难以转化到同一个单调区间上，而是利用对称性和开口方向进行比较.练习 1已知函数 在区间 2,3上是增函数，且在区间 0,上恰好取得一次最大 值，则 的取值范围是（ ）A 0,1 B 30,4 C 1, D 1,24【答案】D【解析】 ，又函数 fx在区间 2,3上是增函数，且在区间100,上恰好取得一次最大值， ，解得： 1324故选：D练习 2已知函数 ，若存在实数 0x，使得对任意的实数 x，都有0fx f 恒成立，则 的最小值为（ ）A 126 B 14032 C 106 D 14032【答案】
14、B【解析】 ，所以周期 T，存在实数 0x，使得对任意的实数 x，都有 0fx f 恒成立，则 ,解得： 1432，故选 B.（九）三角函数与数列的综合例 9若 ，则 中值为 0的有（ ）个A200 B201 C402 D403【答案】C【解析】不难发现 ，在 10 个位一组里面有两个值为 0，那么在 中有 故答案选 C11练习 1函数 ，若对任意 10,4x，存在 20,4x，使得 成立，则实数 m的取值范围是（ ）A 1,3 B 2,1 C 2,13 D 4,3【答案】D【解析】当 0,4x时, ， f(x)1,2，对于 (m0)，当 0,4x时, , 对任意 1,，存在 20,4x,使得
15、 成立， 解得实数 m 的取值范围是 1,3.故选：D.点睛：函数中的方程有解问题：（1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与 x轴的交点即可；要么将方程整理成两个函数相等，画两个函数的图象求解即可；（2）若为二元方程，通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可.练习 2函数 （ ）的图象与 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，若要得到函数 的图象，只要将 的图象（ ）个单位A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移【答案】D12【解析】正弦函数图象与 轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即 ，又因为 ，所以，则 ，所以只要将函数 的图象向右平移 个
16、单位就能得到的图象，故选 A考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角函数图象的平移变换（十）三角函数的周期性例 10函数 的最小正周期为（ ）A B C D【答案】C【解析】化简 ，利用周期公式可得结果.【详解】因为函数，所以 最小正周期为 ，故选 C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的正弦公式，以及正弦函数的周期公式，属于中档题. 函数 的最小正周期为 .练习 1给出以下命题：若 均为第一象限角，且 ，且 ；若函数 的最小正周期是 ，则 ；函数 是奇函数；函数 的周期是 ；函数 的值域是0，2其中正确命题的个数为（ ）A3 B2 C1 D0【答案】D【解析】利用三角函数周期公式，
17、奇偶性以及图像即可得出结果.13若函数 的周期是 ，由周期定义 知 ，故函数 的周期不是 ，故不正确. = ,当 时， ，可知函数的值域为 故不正确;综上可知:都不正确.故选：D练习 2 （2018 年全国卷文）函数 的最小正周期为A B C D【答案】C【解析】将函数 进行化简即可详解：由已知得的最小正周期故选 C.练习 3下列函数的周期为 的是( ) ； ； ； .A B C D【答案】D【解析】利用 ， 的周期不是 ，可排除选项 ；利用，排除 ，从而可得结果.14【详解】设 ，则 ，不是 的周期，不合题意，排除 ，设 ，则 ，故 是 的周期，符合题意，排除 ，故选 D.【点睛】用特例代替
18、题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方 法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.练习 4函数 是（ ）A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数【答案】D 【解析】由题意，因为 ，所以 为偶函数，故排除A,C，由诱导公式得，即函数 的最小正周期为 ，所以正确答案为 D.点睛：引题主要考查三角函数的奇偶性、周期性等性质，以及三角函数诱导公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.在此类问题中，函数解析式相对特殊，直接法求解不容易算，采用三角函数的性质去判断，反而会使问题简单化，以达到四两拔千斤的效果.
