1、1考点规范练 45 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.过点(3,1)作圆( x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( )A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0答案 B解析 依题意知,点(3,1)在圆( x-1)2+y2=r2上,且为切点 . 圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率 k=-2.故圆的切线方程为 y-1=-2(x-3),即 2x+y-7=0.2.已知圆 C:(x+1)2+y2=r2与抛物线 D:y2=16x 的准线交于 A,B 两点,且 |AB|=8,则圆 C 的面积为( )A.5 B.
2、9 C.16 D.25答案 D解析 抛物线的准线方程为 x=-4,而圆心坐标为( -1,0),所以圆心到直线的距离为 3,所以圆的半径为5,故圆面积为 25 .3.已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得的弦的长度为 4,则实数 a 的值是( )A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为( x+1)2+(y-1)2=2-a,可知圆心为( -1,1),半径 r= ,因为圆心2-a到直线 x+y+2=0 的距离 d= ,所以 r2-d2=4,即 2-a-2=4.所以 a=-4.故选 B.|-1+1+2|2 = 24.直线 x-2y-3=
3、0 与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E,F 两点,则 ECF 的面积为( )A B.2 C D.32 5 .355 .34答案 B解析 由题意,圆心为 C(2,-3),半径为 r=3,则 ECF 的高 h=d= ,底边长为 l=2|2+23-3|1+(-2)2 = 5=2 =4,所以 S ECF= 4 =2 故选 B.r2-d2 9-512 5 5.5.(2018 浙江 5 校联考)已知圆 C 的方程为 x2+y2=1,直线 l 的方程为 x+y=2,过圆 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45的直线交 l 于点 A,则 |PA|的最小值为( )A B.1 C -1 D.2
4、-.12 . 2 2答案 D2解析 (方法一)由题意可知,直线 PA 与坐标轴平行或重合,不妨设直线 PA 与 y 轴平行或重合,设P(cos ,sin ),则 A(cos ,2-cos ),于是 |PA|=|2-cos- sin|= |2- 2sin( + 4)|.故 |PA|的最小值为 2- ,应选 D.2(方法二)由题意可知圆心(0,0)到直线 x+y=2 的距离 d= ,则圆 C 上一点到直线 x+y=222= 2的距离的最小值为 -1.结合题意可得 |PA|min= -1)=2- 故选 D.2 2( 2 2.6.以坐标原点 O 为圆心,且与直线 x+y+2=0 相切的圆的方程是 ,圆
5、 O 与圆 x2+y2-2y-3=0的位置关系是 . 答案 x2+y2=2 相交解析 由题意知,所求圆的半径等于原点 O 到直线 x+y+2=0 的距离,即 r= ,则所求圆的方21+1= 2程为 x2+y2=2;因圆 O 与圆 x2+y2-2y-3=0 的圆心和半径分别为 O(0,0),r1= ,C2(0,1),r2=2,且 2-2=r2-r1r2r13.已知圆 C:x2+y2=4,点 P 为直线 x+2y-9=0 上一动点,过点 P 向圆 C 引两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点,则直线 AB 经过定点( )A B C.(2,0) D.(9,0).(49,89) .(29,49)答
6、案 A解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 PA:x1x+y1y=4;PB:x2x+y2y=4;即 x1x0+y1y0=4;x2x0+y2y0=4.因此,在直线 x0x+y0y=4 上,直线 AB 方程为 x0x+y0y=4,又 x0+2y0-9=0,所以(9 -2y0)x+y0y=4y0(y-2x)+9x-4=0,即 y-2x=0,9x-4=0y= ,x= ,直线 AB 经过定点 ,选 A.89 49 (49,89)414.已知曲线 C1:(x-1)2+y2=1 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0,则曲线 C2恒过定点 ;若曲线 C1与曲线 C2有 4 个不同
7、的交点,则实数 m 的取值范围是 . 答案 (-1,0) (-33,0) (0,33)解析 由题意得,直线 y=mx+m 恒过定点( -1,0),故 C2过定点( -1,0),显然直线 y=0 与圆有公共点(2,0),(0,0), 问题等价于直线 y-mx-m=0 与圆相交,且不过点(2,0),(0,0).- a,直线方程为 y=x-a,当此直线与圆相切时,圆心到直线的距离 d= =1,|a|= ,a=- ,点 B(- ,0);当 a0,x1.|-k-1-2k+2|k2+1 2 1718.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0,O 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外,过点 P 作圆 C 的
8、切线,设切点为 M.(1)若点 P 运动到点(1,3)处,求此时切线 l 的方程;(2)求满足条件 |PM|=|PO|的点 P 的轨迹方程 .解 把圆 C 的方程化为标准方程为( x+1)2+(y-2)2=4,可知圆心为 C(-1,2),半径 r=2.(1)当直线 l 的斜率不存在时,此时直线 l 的方程为 x=1,点 C 到 l 的距离 d=2=r,满足条件 .当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k,得 l 的方程为 y-3=k(x-1),即 kx-y+3-k=0,则 =2,解得 k=-|-k-2+3-k|1+k2 34. 直线 l 的方程为 y-3=- (x-1),即 3x+4y-15=0.34综上,满足条件的切线 l 的方程为 x=1 或 3x+4y-15=0.(2)设 P(x,y),则 |PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,|PM|=|PO| , (x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得 2x-4y+1=0. 点 P 的轨迹方程为 2x-4y+1=0.
