1、1考点规范练 53 随机事件的概率与古典概型基础巩固组1.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名学生参加演讲比赛,则下列对立的两个事件是( )A.“至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生”B.“至少 1 名男生”与“全是女生”C.“至少 1 名男生”与“全是男生”D.“恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”答案 B解析 从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生参加演讲比赛,“至少 1 名男生”与“全是女生”是对立事件;“至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生”不互斥;“至少 1 名男生”与“全是男生”不互斥;“恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”是互斥不对
2、立事件 .故选 B.2.(2017 天津高考)有 5 支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A B C D.45 .35 .25 .15答案 C解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10 种不同情况,记“取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔”为事件 A,则事件 A 包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4 个基本事件,则 P(A)= 故选 C.410=25.3.从 3 个
3、红球、2 个白球中随机取出 2 个球,则取出的 2 个球不全是红球的概率是( )A B C D.110 .310 .710 .35答案 C解析 “取出的 2 个球全是红球”记为事件 A,则 P(A)= 因为“取出的 2 个球不全是红球”为事件310.A 的对立事件,所以其概率为 P( )=1-P(A)=1-A310=710.4.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为 ( )A B C D.112 .512 .712 .56答案 A解析 先从 4 个
4、位置中选一个排 4,再从剩下的位置中选一个排 3,最后剩下的 2 个位置排 1.2所以共有 431=12(种)不同排法 .又卡片排成“1314”只有 1 种情况,故所求事件的概率 P=112.5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P(m,n)落在直线 x+y=4 左下方的概率为( )A B C D.16 .14 .112 .19答案 C解析 试验是连续掷两次骰子,故共包含 66=36 个基本事件 .事件“点 P(m,n)落在直线 x+y=4 左下方”,则 m,n 满足 m+nb的数组共有 10 个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(
5、4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为 ,应选 D.1025=2510.如果从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球C.至少有一个黑球与至少有 1 个红球D.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球答案 D解析 对于 A, 事件:“至少有一个黑球”与事件:“都是黑球”可以同时发生,如:两个都是黑球, 这两个事件不是互斥事件,A 不正确 .对于 B, 事件:“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生,但一定会有一个发生, 这两个事件是对立事件,B
6、不正确 .对于 C, 事件:“至少有一个黑球”与事件:“至少有一个红球”可以同时发生,如:一个红球一个黑球, C 不正确 .对于 D, 事件:“恰好有一个黑球”与事件:“恰有两个黑球”不能同时发生,但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球, 两个事件是互斥事件但不是对立事件,D 正确 .11.(2017 浙江金华质检)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为( )A B C D.115 .15 .14 .12答案 B解析 由题意,甲连续三天参加活动的所有情况为:第 13 天,第 24 天,第
7、 35 天,第 46 天,共 4 种 .故所求事件的概率 P=4A33C36A33=15.12.已知袋子中装有大小相同的 6 个小球,其中有 2 个红球、4 个白球 .现从中随机摸出 3 个小球,则至少有 2 个白球的概率为( )A B C D.34 .35 .45 .710答案 C解析 所求问题有两种情况:1 红 2 白或 3 白,则所求概率 P=C12C24+C34C36 =45.13.为了美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A B C D.13 .12 .23 .564答案
8、C解析 只需考虑分组即可,分组(只考虑第一个花坛中的两种花)情况为(红,黄),(红,白),(红,紫),(黄,白),(黄,紫),(白,紫),共 6 种情况,其中符合题意的情况有 4 种,因此红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 故选 C.23.14.一个袋子中装有 5 个小球,标号分别为 1,2,5,从该袋中依次摸出(无放回,且每球取到的机会均等)2 个球,则摸出两球数字和能被 3 整除的概率为 . 答案310解析 从 5 个球中摸出 2 个共有 =10 种可能,而数字和是 3 的倍数的有(1,2),(2,4),(1,5)三种,所C25以概率 P=310.15.安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生
9、去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有 种,学生甲被单独安排去金华的概率是 .答案 150 775解析 根据题意,按五名同学分组的不同分 2 种情况讨论: 五人分为 2,2,1 的三组,有 =15 种分组方法,对应三项志愿者活动,有 15 =90 种安排C25C23C11A22 A33方案; 五人分为 3,1,1 的三组,有 =10 种分组方法,对应三项志愿者活动,有 10 =60 种安排C35C12C11A22 A33方案 .故共有 90+60=150 种不同的安排方案 .学生甲被单独安排去金华时,共有 =14 种不同的安排方案,则学生甲被
10、单独安排去C34C11A22+C24C22A22A22金华的概率是14130=775.16.某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节,则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为 (用数字作答) . 答案15解析 法一 6 节课的全排列为 种,相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的排法是:先排三节文化A66课,再利用插空法排艺术课,即为( +2 )种,由古典概型概率公式得 P(A)=A33C23A22A22 A33A33A33C23A22A22+2A33A33A66 =15.法二 6 节课的全排列为 种,先排三节艺术课有 种不
11、同方法,同时产生四个空,再利用插空法A66 A33排文化课共有 种不同方法,故由古典概型概率公式得 P(A)=A34A33A34A66=15.517.一个盒子里装有若干个均匀的红球和白球,每个球被取到的概率相等 .若从盒子里随机取一个球,取到的球是红球的概率为 ;若一次从盒子里随机取两个球,取到的球至少有一个是白球的概率为13 1011.(1)该盒子里的红球、白球分别为多少个?(2)若一次从盒子中随机取出 3 个球,求取到的白球个数不少于红球个数的概率 .解 (1)设该盒子里有红球 m 个,有白球 n 个,根据题意得 解方程组得 m=4,n=8,mm+n=13,1- C2mC2m+n=1011
12、,所以盒子里有红球 4 个,白球 8 个 .(2)设“从盒子中任取 3 个球,取到的白球个数不少于红球个数”为事件 A,则 P(A)=,C38+C28C14C312 =4255因此,从盒子中任取 3 个球,取到的白球个数不少于红球个数的概率为4255.18.在某次大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者 .(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率 .解 (1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA,则 P(EA)= ,即甲、乙两人同时参加A33C25A44=140A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E,则 P(E)= ,即甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( )=1-P(E)=A44C25A44=110 E 910.(3)因为有两人同时参加 A 岗位服务的概率 P2= ,所以仅有一人参加 A 岗位服务的概率C25A33A25A44=14P1=1-P2=34.
