1、1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第 4课时 等边三角形的判定及含 30角的 直角三角形的性质 学习目标 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理 .(重点 ) 2.掌握 含 30角的直角三角形的性质并 解决有关问题 .(难点 ) 导入新课 观察与思考 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 思考： 上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？ 一个三角形满足什么条件就是等边三角形 ? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形 . 你能证明这些定理吗？
2、 等边三角形的判定 一 讲授新课 A B C 已知：如图， A= B= C. 求证： AB=AC=BC. A= B, AC=BC. B= C, AB=AC. AB=AC=BC. 证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形 . 定理 1： 定理 2： 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 . A B C 已知： 若 AB=AC , A= 60 . 求证： AB=AC=BC. 证明： AB=AC , A= 60 . B C (180。 A)= 60 . A= B= C. AB=AC=BC. 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 12证明 : AB=AC, B=60 (已知 ), C= B=60
3、(等边对等角 )， A=60 (三角形内角和定理 ) A= B = C=60 ABC是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形 ). 已知 :如图 ,在 ABC中， AB=AC, B=60 求证 : ABC是等边三角形 第二种情况：有一个底角是 60 . A C B 60 【 验证 】 等腰三角形 (含等边三角形 ) 性质 判定的条件 等边对等角 等角对等边 “ 三线合一” ,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是 60 的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60 三个角都相等的三角形是等边三角形 归纳总结 例 1 如图 ,在等边三角形
4、ABC中， DE BC, 求证： ADE是等边三角形 . A C B D E 证明： ABC是等边三角形， A= B= C. DE/BC, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等边三角形 . 想一想： 本题还有其他证法吗？ 典例精析 变式： 上题中 ,若将条件 DE BC改为 AD=AE, ADE还是等边三角形吗 ?试说明理由 . A C B D E 如图 ,在等边三角形 ABC中， AD=AE, 求证： ADE是等边三角形 . 证明： ABC是等边三角形， A= B= C=60 . AD=AE, ADE是等腰三角形 ADE是等边三角形 . 又 A=60 . 含
5、30角的直角三角形的性质 二 操作 :用两个含有 30 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 30 30 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想： 在直角三角形中 , 30 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30 30 30 合作探究 结论 :在直角三角形中 , 30角所对的直角边等于斜边的一半 . 已知 :如图 ,在 ABC中 , ACB=90 ， A=30 . 求证 :BC= AB. 12A 30 B C 分析： 突破如何证明“ 线段的倍、分 ”问题 转 化 “线段相等 ”问题 猜想验证 30 30 ACB=90 , (已知 ) ACD=90， (平角意义 ) 在 ABC与 ADC
6、中， BC=DC， （作图） ACB= ACD， （已证） AC=AC， （公共边） ABC ADC（ SAS） ， AD=AB； ACB=90 , BAC=30， (已知 ) B=60， ABD是等边三角形， (有一个角是 60 的等腰三角 形是等边三角形 ) BC= BD= AB (等式性质 ) 30 A B C D 证明 : 延长 BC至 D,使 CD=BC,连接 AD， 21 21定理 :在直角三角形中 , 如果有一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 几何语言： 在 ABC中 , ACB=90 , A=30 BC= AB (在直角三角形中 , 30角所对的直角边等于斜
7、边的一半 ) A B C 30 推论： 归纳总结 C B A D 例 2 如图，在 ABC中，已知 AB=AC=2a, B= ACB =15 , CD是腰 AB上的高，求 CD的长 . 解： B= ACB=15， (已知 ) DAC= B+ ACB= 15 +15 =30， ADC=90， CD= AC=a （在直角三角形中 , 如果有一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半） 12例 3 已知 :如图 ,在 ABC中， ACB=90 ， A=30 ， CD AB于 D 求证 :BD= D A C B 30 证明： A=30 ， CD AB， ACB=90 BC= B=60 BC
8、D=30 ， BD= BD= AB4 AB2 ，CB2 ，AB.41.已知 ABC中， A= B=60 ， AB=3cm， 则 ABC的周长为 _cm. 9 当堂练习 2.在 ABC中， B 90 ， C 30 ， AB 3 则 AC=_;BC=_ A B C 3 30 6 333. 已知：如图， AB=BC ， CDE= 120， DF BA，且 DF平分 CDE. 求证： ABC是等边三角形 . 证明 : AB=BC， ABC是等边三角形 . 又 CDE=120 ， DF平分 CDE. FDC= ABC=60 ， ABC是等腰三角形， EDF= FDC=60 ， 又 DF BA， 证明：延
9、长 BC至 D，使 CD=BC，连接 AD. ACB=90 ， ACD=90 又 AC=AC ACB ACD(SAS) AB=AD CD=BC， BC= BD 又 BC= AB， AB=BD AB=AD=BD， 即 ABD是等边三角形 B=60 在 Rt ABC中， BAC=30 4 已知：在 Rt ABC中， C=90 , BC= AB 求证： BAC=30 C B A D 121212课堂小结 1.等边三角形的判定 : 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 2.特殊的直角三角形的性质 : 在直角三角形中 , 如果有一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30 3.数学方法： 分类的思想
