1、1专题能力提升练 十一 空间中的平行与垂直(45 分钟 80 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.已知直线 a 与直线 b 平行,直线 a 与平面 平行,则直线 b 与 的关系为( )A.平行 B.相交C.直线 b 在平面 内 D.平行或直线 b 在平面 内【解析】选 D.依题意,直线 a 必与平面 内的某直线平行,又 ab,因此直线 b 与平面 的位置关系是平行或直线 b 在平面 内.2.设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则 ( )A.若 mn,n,则 mB.若 m,则 mC.若 m,n,n,则 mD.若 mn,n,则 m【解析】选 C.对 A,若 mn,n,则
2、 m 或 m 或 m,错误;对 B,若 m,则 m 或 m 或 m,错误;对 C,若 m,n,n,则 m,正确;对 D,若 mn,n,则 m 或 m 或 m,错误.故选 C.3.若平面 , 满足 ,= l,P,P l,则下列命题中是假命题的为( )A.过点 P 垂直于平面 的直线平行于平面 B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内C.过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内D.过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 【解析】选 B.由于过点 P 垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线,因此也平行于平面 ,因此 A 正确;过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于
3、平面 ,不一定在平面 内,因此 B 不正确;根据面面垂直的性质定理,知选项 C,D 正确.4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 是棱 CC1的中点,F 是侧面 BCC1B1内的动点,且 A1F平面D1AE,则 A1F 与平面 BCC1B1所成角的正切值 t 构成的集合是 ( )2A. B.|255 23 |255 2C. D.【解析】选 D.设 M,N 分别为 BB1,B1C1中点,则 F 轨迹为线段 MN,所以 A1F 与平面 BCC1B1所成角的正切值范围为 = ,选 D.5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PAB 与PBC 是正三角形,平面 PAB平面 PBC,ACBD,则下
4、列结论不一定成立的是 ( )A.PBAC B.PD平面 ABCDC.ACPD D.平面 PBD平面 ABCD【解析】选 B.取 BP 的中点 O,连接 OA,OC,则 BPOA,BPOC,又因为 OAOC=O,所以 BP平面 OAC,所以 BPAC,故选项 A 正确;又 ACBD,BPBD=B,得 AC平面 BDP,又 PD平面 BDP,所以 ACPD,平面 PBD平面 ABCD,故选项 C,D 正确,故选 B.6.(2016全国卷)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A. B.
5、C. D.13【解析】选 A.如图所示:3因为 平面 CB1D1,所以若设平面 CB1D1平面 ABCD=m1,则 m1m.又因为平面 ABCD平面 A1B1C1D1,结合平面 B1D1C平面 A1B1C1D1=B1D1,所以 B1D1m 1,故 B1D1m.同理可得:CD 1n.故 m,n 所成角的大小与 B1D1,CD1所成角的大小相等,即CD 1B1的大小.而 B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此CD 1B1= ,即 sinCD 1B1= .3【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.【加固训练】(2018
6、荆州三模)已知底面是直角三角形的直三棱柱 ABC-A1B1C1的所有顶点都在球 O 的球面上,且 AB=AC=1,若球 O 的表面积为 3,则这个直三棱柱的体积是_. 【解析】设直三棱柱的侧棱(高)为 h,外接球的球心为 O, 因为外接球的表面积为 3,即4R 2=3,解得 R= , 在底面 RtABC 中,由 AB=AC=1,所以 BC= , 取 BC 的中点 O1,则 OO1平面 ABC,在 RtBOO 1中,由勾股定理得 R2=B +O = + ,解2121( 32)2( 22)2(2)2得 h=1,所以直三棱柱的体积为 V=Sh= 111= .12 124答案:12二、填空题(每小题
7、5 分,共 10 分)7.(2016全国卷), 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题:如果 mn,m,n,那么 ;如果 m,n,那么 mn;如果 ,m,那么 m;如果 mn,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号) 【解析】对于,AA(m)平面 ABCD(),AA(m)AD(n),AD(n)平面 ABCD(),显然平面 ABCD()平面 ABCD(),故错误;对于,n,由线面平行的性质定理,可知 n 与 内的一条直线 l 平行,因为m,所以 m l,所以 mn,故正确;对于,设过 m 的平面 交 于直线 l,因为 ,m,由面面平行
8、的性质定理可知m l,由线面平行的判定定理,可知 m,故正确;对于,若 m,n 分别与平面 , 平行(或垂直),结论显然成立,若 m,n 分别与平面 , 不平行,也不垂直,可以分别作出 m,n 在平面 , 内的射影,由等角定理,可知结论也成立,故正确.答案:【加固训练】如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱长为 2,AC=BC=1,ACB=90,点 D 是 A1B1的中点,F 是BB1上的动点,AB 1,DF 交于点 E,要使 AB1平面 C1DF,则线段 B1F 的长为_. 5【解析】设 B1F=x,因为 AB1平面 C1DF,DF平面 C1DF,所以 AB1DF.由已知可得 A1B
9、1= ,设 RtAA 1B1斜边 AB1上的高为 h,则 DE= h.12又 2 = h ,12 12 22+( 2)2所以 h= ,DE= .在 RtDB 1E 中,B1E= = .( 22)2-( 33)2由面积相等得 = x,12 2+( 22)212得 x= .12答案:128.如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AB 的中点,将ADE 沿直线 DE 翻转成A 1DE.若 M 为线段 A1C的中点,则在ADE 翻转过程中,正确的命题是_.(填序号) 是定值;点 M 在圆上运动;一定存在某个位置,使 DEA 1C;一定存在某个位置,使 MB平面 A1DE.【解析】如图,取 DC 中点 N
10、,连接 MN,NB,则 MNA 1D,NBDE,所以平面 MNB平面 A1DE,因为6MB平面 MNB,所以 MB平面 A1DE,正确;A 1DE=MNB,MN= A1D=定值,NB=DE=定值,根据12余弦定理得,MB 2=MN2+NB2-2MNNBcosMNB,所以 MB 是定值.正确;B 是定点,所以 M 是在以 B 为圆心,MB 为半径的圆上,正确;当矩形 ABCD 满足 ACDE 时存在,其他情况不存在,错误.所以正确.答案:【加固训练】(2018南宁市联考)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 BC,CD 的中点,G 是 EF 的中点.现在沿 AE,AF 及 EF 把这
11、个正方形折成一个空间图形,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 H.下列说法错误的是_.(填序号) AGEFH 所在平面;AHEFH 所在平面;HFAEF 所在平面;HGAEF 所在平面.【解析】折之前 AGEF,CGEF,折之后也垂直,所以 EF平面 AHG,折之前B,D,BCD均为直角,折之后 B,C,D 三点重合,所以折之后 AH,EH,FH 三条直线两两垂直,所以 AHEFH 所在平面,对;同时可知 AHHG,又 HFAEH 所在平面,过 AE 不可能作两个平面与直线 HF 垂直,错;如果 HGAEF 所在平面,则有 HGAG,与中 AHHG 矛盾,错;若AGEFH 所在平面,则有
12、 AGHG,与中 AHHG 矛盾,所以也错.答案:三、解答题(每小题 10 分,共 40 分)9.如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,BC=BF=CF=AE=DE=2,AB=6,EF=4,EFAB,G为 FC 的中点,M 为线段 CD 上一点,且 CM=2.7(1)求证:AF平面 BDG.(2)求证:BFDE.(3)求证:平面 BGM平面 BFC.【证明】(1)连接 AC 交 BD 于 O 点,则 O 为 AC 的中点,连接 OG.因为在AFC 中,O 为 AC 的中点,G 为 FC 的中点.所以 OGAF.因为 AF平面 BDG,OG平面 BDG,所以 AF平面 BD
13、G.(2)连接 FM.因为四边形 ABCD 是矩形,AB=6,所以 DCAB,且 DC=AB=6.因为 EF=4,CM=2,DM=DC-CM,所以 DM=EF=4.因为 DMAB,EFAB,所以 DMEF.所以四边形 DMFE 是平行四边形.所以 MFDE,MF=DE=2.因为在 RtBCM 中,BCM=90,BC=2,CM=2,所以 BM=2 .因为在BFM 中,BM=2 ,MF=2,BF=2,所以BFM 是直角三角形.所以 BFMF.所以 BFDE.(3)因为在FCM 中,CF=CM=MF=2,所以FCM 为等边三角形.因为 G 为 FC 的中点,所以 MGCF.同理,由BCF 为等边三角
14、形,可得 BGCF.8因为 BGMG=G,所以 CF平面 BGM.因为 CF平面 BFC,所以平面 BGM平面 BFC.10.(2018东莞二模)如图,平面 CDEF平面 ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形,CDEF 为直角梯形,ADC=120,CFCD,且 CFDE,AD=2DC=DE=2CF.(1)求证:BF平面 ADE.(2)若 AD=2,求该几何体的各个面的面积的平方和.【解析】(1)取 DE 的中点 H,连接 AH,HF.因为四边形 CDEF 为直角梯形,DE=2CF,H 是 DE 的中点,所以 HF=DC,且 HFDC.因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AB=DC,且
15、 ABDC,所以 AB=HF,且 ABHF,所以四边形 ABFH 是平行四边形,所以 BFAH.因为 AH平面 ADE,BF平面 ADE,所以 BF平面 ADE.(2)因为在BCD 中,BC=2DC,所以BDC=90,所以 S 四边形 ABCD=2 BDAB=2 1= ,12 129SADE = 22=2,SBCF = 21=1.12 12因为 DEBD,且 DE=2,BD= ,所以 BE= ,又 AE=2 ,AB=1,所以 AE2=AB2+BE2,即EBA=90,所以 SABE = 1 = .12所以 SBEF = = .12 102S 梯形 CDEF= (DE+CF)CD= 31= .12
16、 12 32所以该几何体的各个面的面积的平方和为+22+12+ + + = .( 3)2 ( 72)211.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 ABB1A1是矩形,BAC=90,AA 1BC,AA 1=AC=2AB=4,且 BC1A 1C.(1)求证:平面 ABC1平面 A1ACC1.(2)设 D 是 A1C1的中点,判断并证明在线段 BB1上是否存在点 E,使得 DE平面 ABC1.若存在,求点 E 到平面 ABC1的距离.【解析】(1)在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 ABB1A1是矩形,所以 AA1AB,又因为 AA1BC,ABBC=B,所以 AA1平面 ABC,所以 A
17、A1AC,又 AA1=AC,所以 A1CAC 1,又 BC1A 1C,BC1AC 1=C1,所以 A1C平面 ABC1,又 A1C平面 A1ACC1,所以平面 ABC1平面 A1ACC1.10(2)当 E 为 BB1的中点时,连接 AE,EC1,DE,如图,取 AA1的中点 F,连接 EF,FD,因为 EFAB,DFAC 1,又 EFDF=F,ABAC 1=A,所以平面 EFD平面 ABC1,又 DE平面 EFD,所以 DE平面 ABC1,又因为 = ,C1A1平面 ABE,-11-设点 E 到平面 ABC1的距离为 d,所以 24 d= 224,所以 d=1312 1312所以存在点 E 为
18、 BB1的中点时,使得 DE平面 ABC1,点 E 到平面 ABC1的距离为 .【一题多解】(2)解答本题还可以用如下的方法解决:当 E 为 BB1的中点时,连接 DE,如图,设 A1C 交 AC1于点 G,连接 BG,DG,因为 BEDG 且 BE=DG,所以四边形 DEBG 为平行四边形,则 DEBG,又 DE平面 ABC1,BG平面 ABC1,所以 DE平面ABC1,求距离同原解法.12.(2018太原二模)如图(1),在平面六边形 ABFCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=BF=CF= ,点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,分别沿线段 AD,BC
19、 将ADE,BCF 翻折成如图(2)的空间几何体 ABCDEF.(1)利用下列结论 1 或结论 2,证明:E,F,M,N 四点共面;结论 1:过空间一点作已知直线的垂面,有且仅有一个.结论 2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且仅有一个.11(2)若二面角 E-AD-B 和二面角 F-BC-A 都是 60,求三棱锥 E-BCF 的体积.【解析】(1)由题意,点 E 在底面 ABCD 上的射影在 MN 上,可设为点 P,同理点 F 在底面 ABCD上的射影在 MN 上,可设为点 Q,则 EP平面 ABCD,FQ平面 ABCD,所以平面 EMP平面 ABCD,平面 FNQ平面 ABCD,又 MN
20、平面 ABCD,MN平面 EMP,MN平面 FNQ,由结论 2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且仅有一个,则 E,F,M,N 四点共面.(2)若二面角 E-AD-B 和二面角 F-BC-A 都是 60,则EMP=FNQ=60,易得 EM=FN=1,则MP=EMcos 60= ,EP=EMsin 60= ,12VE-BCF=VABCDEF-VE-ABCD=2 2 + 23- 42 = .1312 12 13【加固训练】(2018百校联盟模拟)如图,在几何体 ABDCFE 中,底面 CDEF 是平行四边形,ABCD,AB=1,CD=2,DE=2 ,DF=4,DB=2,DB平面 CDEF,CE
21、与 DF 交于点 O.(1)求证:OB平面 ACF.(2)求三棱锥 B-DEF 的表面积.【解析】(1)取 CF 中点 G,连接 AG,OG,在CDF 中,O 是 DF 的中点,G 是 CF 的中点,所以 OGCD,OG= CD,12又 ABCD,AB=1,CD=2,12所以 OGAB,OG=AB,所以四边形 ABOG 为平行四边形,所以 OBAG,又因为 AG平面 ACF,OB平面 ACF,故 OB平面 ACF.(2)由 EF=CD=2,DE=2 ,DF=4,可得 EF2+DF2=DE2,所以 EFDF,所以DEF 的面积 S1= DFEF= 42=4.12 12由 DB平面 CDEF,DF
22、平面 CDEF,DE平面 CDEF,EF平面 CDEF,可得 BDDF,BDDE,BDEF,所以BDF 的面积 S2= BDDF= 24=4, 12 12BDE 的面积 S3= BDDE= 22 =2 ,12 12由 EFDF,EFBD,BDDF=D,可得 EF平面 BDF,又 BF平面 BDF,所以 EFBF,因为 BF= =2 ,所以BEF 的面积 S4= BFEF= 2 2=2 ,所以三棱锥 B-DEF 的表面积12 12S=S1+S2+S3+S4=8+4 .(建议用时:50 分钟)1.(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角都相等,则 截此正方体所得截面
23、面积的最大值为 ( )13A. B. C. D.【解析】选 A.由于平面 与每条棱所成的角都相等,所以平面 与平面 AB1D1平行或重合(如图),而在与平面 AB1D1平行的所有平面中,面积最大的为由各棱的中点构成的截面 EFGHMN,而平面 EFGHMN 的面积 S= 6= .122.如图所示,直线 PA 垂直于O 所在的平面,ABC 内接于O,且 AB 为O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:BCPC;OM平面 APC;点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC的长.其中正确的是 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.对于,因为 PA平面 ABC,所以 PABC,因为
24、 AB 为O 的直径,所以 BCAC,因为 ACPA=A,所以 BC平面 PAC,又 PC平面 PAC,所以 BCPC;对于,因为点 M 为线段 PB 的中点,所以 OMPA,因为 PA平面 PAC,OM平面 PAC,所以 OM平面 PAC;对于,由知 BC平面 PAC,所以线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故都正确.【加固训练】(2018洛阳模拟)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是PC 上的一动点,当点 M 满足_时,平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的14条件即可) 【解析】因为 PA底面 ABCD,所以 B
25、DPA,连接 AC,则 BDAC,且 PAAC=A,所以 BD平面PAC,所以 BDPC.所以当 DMPC(或 BMPC)时,即有 PC平面 MBD,而 PC平面 PCD,所以平面 MBD平面 PCD.答案:DMPC(或 BMPC 等)3.(2018泉州模拟)点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动,给出下列命题:三棱锥 A-D1PC 的体积不变;A 1P平面 ACD1;DPBC 1;平面 PDB1平面 ACD1.其中正确的命题的序号是_. 【解析】连接 BD 交 AC 于点 O,连接 DC1交 D1C 于点 O1,连接 OO1,则 OO1BC 1,所以 BC1平面
26、AD1C,动点 P 到平面 AD1C 的距离不变,所以三棱锥 P-AD1C 的体积不变.又因为 所以正确;因为平面 A1C1B平面 AD1C,A1P平面 A1C1B,所以 A1P平面 ACD1,正确;15由于当点 P 在 B 点时,DB 不垂直于 BC1,即 DP 不垂直 BC1,故不正确;由于 DB1D 1C,DB1AD 1,D1CAD 1=D1,所以 DB1平面 AD1C.又因为 DB1平面 PDB1,所以平面 PDB1平面 ACD1,正确.答案:4.如图所示,在四面体 ABCD 中,点 M,N 分别是ACD,BCD 的重心,则四面体的四个面所在平面中与 MN 平行的是_. 【解析】如图,
27、连接 AM 并延长,交 CD 于点 E,连接 BN,并延长交 CD 于点 F,由重心性质可知,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,连接 MN,由 = = ,得 MNAB.因此,MN平12面 ABC 且 MN平面 ABD.答案:平面 ABC、平面 ABD5.(2018肇庆二模)如图 1,在高为 2 的梯形 ABCD 中,ABCD,AB=2,CD=5,过 A,B 分别作AECD,BFCD,垂足分别为 E,F.已知 DE=1,将梯形 ABCD 沿 AE,BF同侧折起,使得 AFBD,DECF,得空间几何体 ADE-BCF,如图 2.(1)证明:BE平面 ACD.(2)求三棱锥 B-ACD
28、 的体积.16【解析】(1)设 BE 交 AF 于点 O,取 AC 的中点 H,连接 OH,则 OH 是AFC 的中位线,所以 OH CF.12由已知得 DE CF,所以 DE OH,连接 DH,12则四边形 DHOE 是平行四边形,所以 EODH,又因为 EO平面 ADC,DH平面 ADC,所以 EO平面 ACD,即 BE平面 ACD.【一题多解】解答本题还可以用如下两种方法解决:方法一:延长 FE,CD 交于点 K,连接 AK,则平面 CKA平面 ABFE=KA,由已知得 DE CF,所以 DE 是KFC 的中位线,12所以 KE=EF,所以 KE AB,四边形 ABEK 是平行四边形,A
29、KBE,又因为 BE平面 ADC,KA平面 ADC,所以 BE平面 ACD.方法二:取 CF 的中点 G,连接 BG,EG,易得 DE CG,即四边形 CDEG 是平行四边形,则 EGDC,又 GE平面 ADC,DC平面 ADC,所以 GE平面 ADC,又因为 DE GF,所以四边形 DGFE 是平行四边形,所以 DG EF,又 ABFE 是平行四边形,所以 AB EF,所以 AB DG,所以四边形 ABGD 是平行四边形,所以 BGAD,又 GB平面 ADC,DA平面 ADC,所以 GB平面 ADC,又 GBGE=G,所以平面 GBE平面 ADC,又 BE平面 GBE,所以 BE平面17AC
30、D.(2)因为 BE平面 ADC,所以 VB-ACD=VE-ACD,由已知得,四边形 ABFE 为正方形,且边长为 2,则在图中,AFBE,又已知 AFBD,BEBD=B,可得 AF平面 BDE, 又 DE平面 BDE,所以 AFDE,又 AEDE,AFAE=A,所以 DE平面 ABFE, 且 AEEF,所以 AE平面 CDE,所以 AE 是三棱锥A-DEC 的高,四边形 DEFC 是直角梯形.VB-ACD=VE-ACD= AE DEEF= .13 12 236.(2018天津高考)如图,在四面体 ABCD 中,ABC 是等边三角形,平面 ABC平面 ABD,点M 为棱 AB 的中点,AB=2
31、,AD=2 ,BAD=90.(1)求证:ADBC;(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值;(3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.【解题指南】(1)利用平面与平面垂直的性质及题设条件,先证明 AD平面 ABC,即可得出结论;(2)利用异面直线所成角的定义,先找角,再求值;(3)利用直线与平面所成角的定义,先找角,再求值.【解析】(1)由平面 ABC平面 ABD,平面 ABC平面 ABD=AB,ADAB,可得 AD平面 ABC,故 ADBC.(2)取棱 AC 的中点 N,连接 MN,ND.又因为 M 为棱 AB 的中点,故 MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线 BC
32、与 MD 所成的角.在 RtDAM 中,AM=1,故 DM= = .13因为 AD平面 ABC,故 ADAC.在 RtDAN 中,AN=1,故 DN= = .1318在等腰三角形 DMN 中,MN=1,可得 cosDMN= = .所以,异面直线 BC 与 MD 所成角12的余弦值为 .(3)连接 CM.因为ABC 为等边三角形,M 为 AB 的中点,故 CMAB,CM= .又因为平面 ABC平面 ABD,而 CM平面 ABC,故 CM平面 ABD.所以CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角.在 RtCAD 中,CD= =4.在 RtCMD 中,sinCDM= = .所以,直线 CD 与
33、平面 ABD 所成角的正弦值为 .7.(2018佛山二模)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,ADBC,AB=AD=BC,ABC=60,平面 PAB 平面 ABCD,PAPB.12(1)求证:PBAC.(2)是否存在点 Q,到四棱锥 P-ABCD 各顶点的距离都相等?说明理由.【解析】(1)设 BC 的中点为 O,连接 AO,在梯形 ABCD 中,因为 AB=AD= BC,ABC=60,12所以ABO 为等边三角形,又 ADBC,所以四边形 OCDA 为菱形,AD=AO=OC,19因为AOC=120,OA=OC,所以OAC=30,所以BAC=90,ABAC,又平面 PAB平面 ABCD,AB 是交线,AC平面 ABCD,所以 AC平面 PAB,又因为 PB 平面 PAB,所以 PBAC.(2)因为 PAPB,PAAC,PAAC=A,所以 PB平面 PAC,所以 PBPC,所以PBC 为直角三角形,BPC=90,连接 BD,由(1)知BCD=60,所以ABCDCB,所以BDC 为直角三角形,BDC=90.所以点 O 是三个直角三角形BPC,BAC 和BDC 的共同斜边 BC 的中点,所以OA=OB=OC=OD=OP,所以存在点 Q(即点 O)到四棱锥 P-ABCD 各顶点的距离都相等.
