1、1解析几何问题感悟体验快易通1.已知椭圆 + =1(ab0)的一个顶点坐标为(0,1),离心率为 ,动直线 y=x+m 交椭圆2222M 于不同的两点 A,B,T(1,1).(1)求椭圆 M 的标准方程.(2)试问:TAB 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意得 = ,b=1,又 a2=b2+c2,所以 a= ,c=1,2椭圆 M 的标准方程为 +y2=1.22(2)由 得 3x2+4mx+2m2-2=0.=+,22+2=1,由题意得,=16m 2-24(m2-1)0,即 m2-30)的左焦点 F 与抛物线 C2:y2=-2px(p0)的焦点
2、重合,M2422是 C1与 C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与 x 轴交于点 E,且|ME|= .73(1)求椭圆 C1及抛物线 C2的方程.(2)过 E 作直线 l 交椭圆 C1于 A,B 两点,则在椭圆的长轴上是否存在点 N,使得 为定值?若存在,求出点 N 的坐标及定值;若不存在,请说明理由.3【解析】(1)由两曲线焦点重合,知 = ,由椭圆的对称性,知 E 为椭圆的右焦点,连接 MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4- = .7353设 M(xM,yM),过点 M 作准线的垂线,垂足为 H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|= ,53因而 yM= = ,xM=-
3、 ,(73)2-(53)2代入 + =1 中,得 + =1,与 = 联立,2422得 p=2,b2=3,所以椭圆的方程为 + =1,抛物线的方程为 y2=-4x.2423(2)由(1)知 E(1,0),若直线 l 的斜率存在,设直线方程为 y=k(x-1),由 得(3+4k 2)x2-8k2x+4k2-12=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2= ,x1x2= .823+42 42-123+42假设点 N 存在,其坐标为(m,0),其中-2m2, =(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k24=(1+k2) -(m+k2) +m2+k242-123+42 823+42= .(42-8-5)2+32-123+42若 为定值,则满足 = ,42-8-54得 m= ,定值为- .当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,不妨设其与椭圆 + =1 的交点为 A ,B ,又 N ,2423 (1,32)则 = =- ,综上,在椭圆的长轴上存在点 N ,使得 =- 为定值.
