1、1课时跟踪检测（十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大题练）A 卷大题保分练1(2018成都模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点 F( ，0)，长半轴长与x2a2 y2b2 3短半轴长的比值为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不经过点 B(0,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N，若点 B 在以线段 MN为直径的圆上，证明直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意得， c ， 2， a2 b2 c2，3ab a2， b1，椭圆 C 的标准方程为 y21.x24(2)证明：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx m(m1)，
2、 M(x1， y1)，N(x2， y2)由Error! 消去 y 可得(4 k21) x28 kmx4 m240. 16(4 k21 m2)0， x1 x2 ， x1x2 . 8km4k2 1 4m2 44k2 1点 B 在以线段 MN 为直径的圆上， 0.BM BN ( x1， kx1 m1)( x2， kx2 m1)( k21) x1x2 k(m1)( x1 x2)BM BN ( m1) 20，( k21) k(m1) ( m1) 20，4m2 44k2 1 8km4k2 1整理，得 5m22 m30，解得 m 或 m1(舍去)35直线 l 的方程为 y kx .35易知当直线 l 的斜率
3、不存在时，不符合题意故直线 l 过定点，且该定点的坐标为 .(0， 35)2(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l与 C 交于 A， B 两点，| AB|8.(1)求 l 的方程；2(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1,0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题
4、设知 8，解得 k1 或 k1(舍去)4k2 4k2因此 l 的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.3.(2018贵阳模拟)如图，椭圆 C： 1( ab0)的左顶x2a2 y2b2点与上顶点分别为 A， B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 PF x 轴，若 AB OP，且|AB|2 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)
5、已知 Q 是 C 上不同于长轴端点的任意一点，在 x 轴上是否存在一点 D，使得直线 QA与 QD 的斜率乘积恒为 ，若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，说明理由12解：(1)由题意得 A( a,0)， B(0， b)，可设 P(c， t)(t0)， 1，得 t ，即 P ，c2a2 t2b2 b2a (c， b2a)由 AB OP 得 ，即 b c， a2 b2 c22 b2，ba b2ac又| AB|2 ， a2 b212，3由得 a28， b24，椭圆 C 的方程为 1.x28 y243(2)假设存在 D(m,0)，使得直线 QA 与 QD 的斜率乘积恒为 ，设 Q(x0， y0)(y
6、00)，12则 1，x208 y204 kQAkQD ， A(2 ，0)，12 2 (x0 m)，y0x0 22 y0x0 m 12由得( m2 )x02 m80，2 2即Error! 解得 m2 ，2存在点 D(2 ，0)，使得 kQAkQD .2124(2018昆明模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的焦距为 4， P 是椭圆 Cx2a2 y2b2 (2， 55)上的点(1)求椭圆 C 的方程；(2)O 为坐标原点， A， B 是椭圆 C 上不关于坐标轴对称的两点，设 ，OD OA OB 证明：直线 AB 的斜率与 OD 的斜率的乘积为定值解：(1)由题意知 2c4，即 c2，则椭圆 C
7、的方程为 1，x2a2 y2a2 4因为点 P 在椭圆 C 上，(2，55)所以 1，解得 a25 或 a2 (舍去)，4a2 15 a2 4 165所以椭圆 C 的方程为 y21.x25(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2且 x1 x20，由 ，得OA OB OD D(x1 x2， y1 y2)，所以直线 AB 的斜率 kAB ，直线 OD 的斜率 kOD ，y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2由Error! 得 (x1 x2)(x1 x2)( y1 y2)(y1 y2)0，15即 ，所以 kABkOD .y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2 15 1
8、54故直线 AB 的斜率与 OD 的斜率的乘积为定值 .15B 卷深化提能练1(2018安徽江南十校联考)在平面直角坐标系中，直线 x y m0 不过原点，2且与椭圆 1 有两个不同的公共点 A， B.y24 x22(1)求实数 m 的取值所组成的集合 M；(2)是否存在定点 P 使得任意的 m M，都有直线 PA， PB 的倾斜角互补？若存在，求出所有定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)因为直线 x y m0 不过原点，所以 m0.将 x y m0 与 12 2y24 x22联立，消去 y，得 4x22 mx m240.2因为直线与椭圆有两个不同的公共点 A， B，所以 8 m2
9、16( m24)0，所以2 b0)x2a2 y2b2的右焦点 F，抛物线 x24 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点，且 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，点3A， F， B 在直线 x4 上的射影依次为 D， K， E.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且 1 ， 2 ，当 m 变化时，证明：MA AF MB BF 1 2为定值；(3)当 m 变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：(1)直线 x my1 过椭圆的右焦点，5右焦点 F(1,0)， c1，即 c21. x24 y 的焦点(0， )为椭圆 C
10、 的上顶点，3 3 b ，即 b23， a2 b2 c24，3椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题意知 m0，由Error!得(3 m24) y26 my90.显然 0 恒成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 .6m3m2 4 93m2 4 1 ， 2 ， M ，MA AF MB BF (0， 1m) 1(1 x1， y1)， 2(1 x2， y2)， 11(x1， y11m) (x2， y2 1m)， 21 ，1my1 1my2 1 22 2 .y1 y2my1y2 6m3m2 4 9m3m2 4 83综上所述，当 m 变化时， 1 2
11、为定值 .83(3)当 m0 时，直线 l x 轴，则四边形 ABED 为矩形，易知 AE 与 BD 相交于点N ，则若当 m 变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点，则定点必为 N ，证明如下：(52， 0) (52， 0) ，易知 E(4， y2)，则 .AN (52 x1， y1) (32 my1， y1) NE (32， y2) y2 ( y1) (y1 y2) my1y2 m 0，(32 my1) 32 32 32( 6m3m2 4) ( 93m2 4) ，即 A， N， E 三点共线AN NE 同理可得 B， N， D 三点共线则猜想成立，故当 m 变化时，直线 AE 与 BD
12、相交于定点 N .(52， 0)3(2018贵州六校联考)已知点 M 是椭圆 C： 1( ab0)上一点， F1， F2分别x2a2 y2b2为 C 的左、右焦点，| F1F2|4， F1MF260， F1MF2的面积为 .433(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 N(0,2)，过点 P(1，2)作直线 l，交椭圆 C 于异于 N 的 A， B 两点，直线NA， NB 的斜率分别为 k1， k2，证明： k1 k2为定值6解：(1)在 F1MF2中，由 |MF1|MF2|sin 60 ，得| MF1|MF2| .12 433 163由余弦定理，得| F1F2|2| MF1|2| MF2|22|
13、 MF1|MF2|cos 60(| MF1| MF2|)22| MF1|MF2|(1cos 60)，从而 2a| MF1| MF2|4 ，2即 a2 ，从而 b2，2故椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y2 k(x1)，由Error! 得(12 k2)x24 k(k2) x2 k28 k0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .4k k 21 2k2 2k2 8k1 2k2从而 k1 k2 y1 2x1 y2 2x22kx1x2 k 4 x1 x2x1x22 k( k4) 4.4k k 22k2 8k当直线
14、 l 的斜率不存在时，可取 A ， B ，得 k1 k24.( 1，142) ( 1， 142)综上，恒有 k1 k24.4(2019 届高三湘东五校联考)已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 ，它的一个12短轴端点恰好是抛物线 x28 y 的焦点3(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，已知 P(2,3)， Q(2，3)是椭圆上的两点， A， B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值；12当 A， B 运动时，满足 APQ BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由解：(1)设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2
15、b27则 b2 .由 ， a2 c2 b2，得 a4，3ca 12椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)设直线 AB 的方程为 y x t，12代入 1，得 x2 tx t2120，x216 y212由 0，解得4 t4，由一元二次方程根与系数的关系得 x1 x2 t， x1x2 t212，| x1 x2| . x1 x2 2 4x1x2 t2 4 t2 12 48 3t2四边形 APBQ 的面积 S 6|x1 x2|3 .12 48 3t2当 t0 时， S 取得最大值，且 Smax12 .3若 APQ BPQ，则直线 PA， PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则直线PB 的斜率为 k，直线 PA 的方程为 y3 k(x2)，由Error!得(34 k2)x28(32 k)kx4(32 k)2480， x12 ，8 2k 3 k3 4k2将 k 换成 k 可得 x22 ， 8k 2k 33 4k2 8k 2k 33 4k2 x1 x2 ， x1 x2 ，16k2 123 4k2 48k3 4k2 kAB ，y1 y2x1 x2 k x1 2 3 k x2 2 3x1 x2 k x1 x2 4kx1 x2 12直线 AB 的斜率为定值 .12
