1、方法1 与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法 1.几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用 图形性质来解决,此法称为几何法. 2.代数法:根据题目构造关于变量的等式或不等式,从而采用方程思想或 函数思想求解最值或范围的方法称为代数法.利用代数法解决最值和范 围问题的常见思路:利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的范 围;利用已知参数范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心为构建 所求变量与已知变量的函数关系式;利用隐含的不等关系建立不等,方法技巧,式,从而求出所需要的参数范围;利用已知的不等关系构造不等式,从 而求出参数的取值范围;利用函数的值域,确定参数的取值范围
2、.,例1 (2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A ,B ,抛 物线上的点P(x,y) .过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值.,(1) (2),解题导引,解析 (1)设直线AP的斜率为k,k= =x- , 因为- x ,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1). (2)解法一:联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ= . 因为|PA|= = (k+1), |PQ|= (xQ-x)=- ,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3, 令f(k)=-(k-1)(k+1)3. 因为f (k)=-(4k-
3、2)(k+1)2, 所以f(k)在区间 上单调递增,在 上单调递减,因此当k= 时,| PA|PQ|取得最大值 . 解法二:如图,连接BP,|AP|PQ|=|AP|PB|cosBPQ= = ( -)= - .,易知P(x,x2) , 则 =2x+1+2x2- =2x2+2x+ , = + =x2+x+ +x4- x2 + =x4+ x2+x+ . |AP|PQ|=-x4+ x2+x+ .,设f(x)=-x4+ x2+x+ , 则f (x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2, f(x)在 上为增函数,在 上为减函数, f(x)max=f(1)= . 故|AP|PQ|的最大值为 .,
4、方法2 圆锥曲线中的定值、定点问题的解题方法 1.圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如 椭圆的长、短轴的长,双曲线的虚、实轴的长,抛物线的焦参数等,可通 过直接计算求解,也可用“特殊位置法”和“相关曲线系数”求解. 2.解决定点、定值问题常用的思想有两种:从特殊入手,求含参变量的 定点、定值,再证明这个定点、定值与变量无关;直接推理计算,并在 计算的过程中消去变量,从而得到定点、定值.,例2 (2016北京文,19,14分)已知椭圆C: + =1过A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率; (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于
5、点M,直线PB 与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值. 解题导引,解析 (1)由题意得,a=2,b=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. 又c= = , 所以离心率e= = . (2)证明:设P(x0,y0)(x00,y00),则 +4 =4. 又A(2,0),B(0,1), 所以,直线PA的方程为y= (x-2). 令x=0,得yM=- ,从而|BM|=1-yM=1+ . 直线PB的方程为y= x+1.,令y=0,得xN=- , 从而|AN|=2-xN=2+ . 所以四边形ABNM的面积 S= |AN|BM| = = = =2. 从而四边形ABNM的面积为定值.,例3 已知椭圆
6、C: +y2=1(a0),过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆 x2+y2= 相切. (1)求椭圆C的方程; (2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点, 设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点. 解题导引,解析 (1)直线过点(a,0)和(0,1), 直线的方程为x+ay-a=0, 直线与圆x2+y2= 相切, = , 解得a2=2,椭圆C的方程为 +y2=1. (2)证明:由题意得M(0,1).当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y 0),由k1+k2=2得 + =2,解得x0=-1.当直线AB的斜率
7、存在时,设AB 的方程为y=kx+m(m1),A(x1,y1),B(x2,y2), 由 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2= ,x1x2= ,由k,1+k2=2 + =2 =2, 即(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2)(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),即(1-k)(m2-1)=-km (m-1), 由m1,得(1-k)(m+1)=-kmk=m+1, 所以y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y-x, 故直线AB过定点(-1,-1). 综上,直线AB过定点(-1,-1).,方法3 存在性问题的解题策略 1.此类问题一般分为探究条件、探究结
8、论两种.若探究条件,则可先假设 条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则 应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的 讨论. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.,例4 如图,曲线C由上半椭圆C1: + =1(ab0,y0)和部分抛物线C2: y=-x2+1(y0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为 . (1)求a,b的值; (2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),是否存在直线l, 使得以PQ为直径的圆恰好过点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在, 请说明理由.,解题导引,解析 (1
9、)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1, 且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点. 由e= = 及a2-c2=b2=1可得a=2, a=2,b=1. (2)存在.由(1)知,上半椭圆C1的方程为 +x2=1(y0). 由题易知,直线l与x轴不重合也不垂直, 设其方程为y=k(x-1)(k0). 代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点P的坐标为(xP,yP), 直线l过点B,x=1是方程(*)的一个根. 由求根公式,得xP= ,从而yP= , 点P的坐标为 . 同理,由 得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k). = (k,-4), =-k(1,k+2). 连接AP、AQ,依题意可知APAQ, =0,即 k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=- . 经检验,k=- 符合题意,故直线l的方程为y=- (x-1).,
