1、高考数学（浙江专用）,8.4 直线、平面垂直的判定和性质,考点 垂直的判定和性质,考点清单,考向基础 一、线面、面面垂直的判定 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直. (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的 两条相交 直线都垂 直,那么这条直线垂直于这个平面;用数学符号表示为:已知m,n,m n=B,lm,ln,则l.,2.点到平面的距离、线到面的距离 (1)从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个 点到这个平面的距离. (2)一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个
2、平面的距 离,叫做这条直线和这个平面的距离. 3.斜线在平面内的射影 (1)从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足与斜足的直线叫做 斜线在这个平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜 线段在这个平面内的射影. (2)斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 4.垂线段和斜线段长定理,在空间内,从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(1)垂线 段最短;(2)射影相等的两条斜线段相等,两条斜线段相等,它们的射影也 相等;(3)射影较长的斜线段也较长,较长的斜线段的射影也较长.这就是 垂线段和斜线段长定理,应当注意:定理中涉及的垂线段和斜线段都是 从平面外同一点引出的
3、,缺少这个条件,结论不成立. 5.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,平面和相交,如果它们所成的二面角是直二面角 , 就说这两个平面互相垂直.记作. (2)判定定理:一个平面经过另一个平面的 一条垂线 ,则这两个平 面互相垂直.符号表示为 .,二、线面、面面垂直的性质 1.直线与平面垂直的性质定理 同 垂直 于一个平面的两直线平行. 2.直线与平面所成的角(设为) (1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影 所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是 直角 ;当一条 直线和平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为
4、0 的角.,(3)最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的 直线所成的一切角中 最小 的角. 3.平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内 垂直于交线 的直线与另一个平面垂 直.符号表示为 a. 4.二面角的概念及计算 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角 .这 条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 棱为AB,面分别为、的二面角记作二面角-AB-,如果棱为l,那么这个,二面角记作-l-. (2)在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分 别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面 角的 平
5、面角 . 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就 说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做 直二面角 .,考向突破,考向一 空间垂直关系的判定,例1 (2018浙江宁波模拟(5月),3)已知直线l、m与平面、,l,m, 则下列命题中正确的是 ( ) A.若lm,则必有 B.若lm,则必有 C.若l,则必有 D.若,则必有m,解析 对于选项A,可能平行,也可能相交; 对于选项B,可能垂直,可能相交不垂直,也可能平行; 对于选项D,m,可能垂直,可能平行,还可能m在平面内; 对于选项C,由面面垂直的判定定理可知,结论正确.,答案 C,考向二 直线与平面所成的角的求法,
6、例2 (2018浙江金华十校第一学期期末调研,19,15分)如图,在四棱锥S- ABCD中,ABCD,BCCD,AB=2,BC=CD=SD=1,侧面SAB为等边三角 形. (1)证明:ABSD; (2)求直线SC与平面SAB所成角的正弦值.,解析 (1)证明:如图,取AB的中点E,连接ED,DB,SE,可得正方形DEBC, AD= ,DB= ,DEAB. 又侧面SAB为等边三角形,SEAB. SEDE=E,AB平面SDE, ABSD.,(2)解法一:空间向量法. 如图,由(1)知,DEDC,过D作DF平面ABCD,则DE,DC,DF两两垂直, 分别以DE,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建
7、立空间直角坐标系D-xyz, 则D(0,0,0),A(1,-1,0),B(1,1,0),C(0,1,0),可求得S . (10分),则 = , =(0,2,0), = ,设平面SAB的法向量是n= (x,y,z),由 得 取x=1,则n=(1,0, ). (12分) 设直线SC与平面SAB所成的角为,则sin = = . 故直线SC与平面SAB所成的角的正弦值为 . (15分) 解法二:等体积法. 连接AC,AB平面SDE,AB平面ABCD,平面ABCD平面SDE,过S 作DE的垂线SF,则SF平面ABCD,在等腰SDE中,易得SF= , (9分),VS-ABC= SABCSF= , 设点C到
8、平面SAB的距离为h, 则VC-SAB= SSABh= h, 由VS-ABC=VC-SAB得h= . (12分) 又ABSD,ABCD,CDSD. 设SC与平面SAB所成角为, 则sin = = = , 故直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 . (15分) 解法三:传统找角法.,如图,过S作SFCD,且SF=CD,连接FB,FC,易证平面BCF平面SDE,AB平面BCF, 平面ABFS平面BCF. (9分) 过C作CGFB于G,连接SG,则CG平面ABFS, 故CSG即为直线SC与平面SAB所成的角, (12分),又ABSD,ABCD,CDSD. 在等腰BCF中,易得CG= , 故sinCS
9、G= = = , 故直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 . (15分) 解法四:距离转移法. CDAB,CD平面ABS,AB平面ABS,CD平面ABS, 故C、D到平面ABS的距离相等. AB平面SDE,平面ABS平面SDE, (9分) 过D作DHSE于H,则DH平面SAB,在等腰SDE中,易得DH= , (12分) 又ABSD,ABCD,CDSD. 设SC与平面SAB所成的角为, 则sin = = = , 故直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 . (15分),考向三 二面角的求法,例3 (2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),19,15分)已知矩形ABCD, MB平面ABCD,NC平面
10、ABCD,且MB=NC= ,BC=2,PAD为边长 为2的正三角形,且平面PAD平面ABCD. (1)求证:平面PAD平面PMN; (2)若AB=4,求平面PBC与平面PMN所成锐二面角的余弦值.,解析 (1)证明:取AD的中点O,连接PO,OB,OC,PAD为正三角形, POAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO 平面ABCD,POMB,PO=MB= ,故四边形OPMB为矩形,PO PM,同理,POPN,PO平面PMN,又PO平面PAD,平面PAD平 面PMN.,(2)根据(1)知,所求的二面角与二面角P-BC-A相等,过O向BC作垂线交BC 于H,连接PH,则PH
11、O为二面角的平面角,PO= ,OH=4,PH= .故cosPHO= = .,方法1 线面垂直判定的方法 1.线面垂直的定义. 2.线面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bc=Ma). 3.平行线垂直平面的传递性(ab,ba). 4.面面垂直的性质(,=l,a,ala). 5.面面平行的性质(a,a). 6.面面垂直的性质(=l,l). 7.向量法:证明直线的方向向量为平面的法向量.,方法技巧,例1 (2018浙江台州高三期末质检,19)如图,正方形ABCD的边长为4,点 E,F分别为BA,BC的中点,将ADE,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两 点重合于点A,连接AB,EF,BD. (1
12、)求证:EF平面ABD; (2)求AD与平面BEDF所成角的正弦值.,解析 (1)证明:ADAE,ADAF,AEAF=A, AD平面AEF, 又EF平面AEF,ADEF, 由已知可得EFBD,又BDAD=D,EF平面ABD. (7分) (2)由(1)可得平面ABD平面BEDF,则ADB为AD与平面BEDF所成 的角, 设BD,EF交于点M,连接AM,则AM=BM= ,DM=3 , 又AD平面AEF,AM平面AEF,ADAM, (12分) 在RtADM中,sinADB= = = , AD与平面BEDF所成角的正弦值为 . (15分),方法2 面面垂直判定的方法 1.面面垂直的定义(作出两平面构成
13、的二面角的平面角,计算其平面角 为90). 2.面面垂直的判定定理:a,a. 3.向量法:证明两个平面的法向量垂直.,例2 (2017浙江嘉兴基础测试,18)如图,在三棱锥P-ABC中,ABC是等 边三角形,D是AC的中点,PA=PC,二面角P-AC-B的平面角的大小为60.(1)求证:平面PBD平面PAC; (2)求AB与平面PAC所成角的正弦值.,解题导引 (1) (2),解析 (1)证明:由题意得BDAC,PDAC,又BDPD=D,所以AC平 面PBD,又AC平面PAC,所以平面PAC平面PBD. (2)易知PDB即为二面角P-AC-B的平面角,所以PDB=60. 作BOPD于O,连接AO,由(1)知BO平面PAC,所以BAO即为直线AB 与平面PAC所成的角.令AB=2a,则BD= a,BO= BD= a,所以sin BAO= = = .,评析 本题考查线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定和性质、线 面角和二面角的平面角的作法和计算.考查空间想象能力和逻辑推理能 力.,
