1、 4.1 任意角三角函数,1.弧度的概念与公式,2.角的概念的推广,3.任意角的三角函数,教材研读,考点突破,考点一 任意角,考点二 三角函数的定义,考点三 弧长与面积公式,1.弧度的概念与公式 在半径为r的圆中:,教材研读,2.角的概念的推广 (1)角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所形成的图形. (2)定义 1)按逆时针方向旋转形成的角叫正角;按顺时针方向旋转形成的角叫负 角;一条射线没有作任何旋转形成的角叫零角. 2)当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合时,角的终 边在第几象限,就叫第几象限角.若角的终边在坐标轴上,则这个角不属,于任何一个象限.
2、 3)所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的集合是 |=+k3 60,kZ . 4)终边在x轴上的角的集合是 |=k180,kZ ,终边在y轴上的 角的集合是 |=k180+90,kZ .,3.任意角的三角函数 (1)定义 1)设角的终边与单位圆交于P(x,y),则sin = y ,cos = x ,tan = (x0). 2)设是一个任意角,的终边上任意一点P的坐标是(x,y)(x0),它与原 点的距离为r(r= ),那么sin = ,cos = ,tan = . (2)三角函数线,用单位圆中的有向线段表示三角函数(如图).,sin =MP,cos =OM,tan =AT.,易错防范 (1
3、)注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于90的角是概念不同 的三类角.第一类是象限角,第二、三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用180= rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. (3)三角函数的定义中,当P(x,y)是单位圆上的点时,有sin=y,cos=x,tan= ,但若不是单位圆时,如圆的半径为r,则sin= ,cos= ,tan = .,1.下列说法正确的有 ( B ) A.第一象限的角一定是锐角 B.锐角一定是第一象限的角 C.终边相同的角相等 D.第二象限的角大于第一象限的角,2.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ( A ) A.
4、B. C.- D.-,3.(教材习题改编)若满足sin 0,则的终边在 ( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,4.设点A是单位圆上的一个定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向 旋转一周,点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图 象大致是 ( C ),解析 如图,由题意知AOP=l,0l2.所以P(cos l,sin l), 则d= = =2sin ,0l2.,结合选项知选C.,5.已知扇形的周长为4,则扇形面积最大时,扇形的中心角的弧度数是 ( A ) A.2 B.1 C. D.3,解析 设此扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=4,
5、面积S= rl= r(4-2r)=-(r-1)2+1, 所以当r=1时,面积最大.,此时l=4-2r=2, =2.,6.已知角的终边在直线y=-3x上,则10sin + 的值为 0 .,解析 设角终边上任一点为P(k,-3k)(k0), 则r= = |k|. 当k0时,r= k, sin = =- , = = , 10sin + =-3 +3 =0; 当k0时,r=- k, sin = = , = =- ,10sin + =3 -3 =0. 综上,10sin + =0.,任意角 典例1 (1)设集合M= ,N=,那么 ( B ) A.M=N B.MN C.NM D.MN= (2)集合 中的角所
6、表示的范围(阴影部分)是 ( C ),考点突破,探究 本例(2)中,A选项中的阴影部分用集合表示为 .,规律总结 把角表示成2k+(kZ,02)的形式,即可判断其所在象限.,1-1 设 ,且17的终边与的终边相同,则tan 等于 ( D ) A. -1 B. C. +1 D.1,解析 由题意得17=2k+,kZ,所以= (kZ),令k=2,得= ,故tan =1,故选D.,1-2 已知角是第二象限角,则角180-是第 一 象限角.,三角函数的定义 命题方向一 利用三角函数定义求值,典例2 (1)已知角的终边与单位圆交于点P ,则cos 的值为 ( B ) A. B.- C. D.- (2)已知
7、P(m,2)为角的终边上一点,且sin =- ,则tan 的值是 ( D ) A. B.- C.1 D.-1,方法指导 三角函数定义的应用 1.已知角终边上一点P的坐标求三角函数值,先求出点P到原点的距 离r,然后利用三角函数的定义求解. 2.已知角终边所在直线方程求三角函数值,由于角的终边是射线,所以 要分两种情况讨论,对于每种情况再按1的步骤求解.,同类练 已知角的终边经过点(-4,3),则sin = ,cos = - .,解析 由题意可得sin = = ,cos = =- .,变式练 已知A(xA,yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点,将射线 OA绕O点逆时针旋转30,交单位圆于
8、点B(xB,yB),则xA-yB的取值范围是 ( C ) A.-2,2 B.- , C.-1,1 D.,解析 设AOx为,根据三角函数的定义得xA=cos ,yB=sin(+30),所以 xA-yB=cos -sin(+30)=- sin + cos =sin(+150)-1,1.,深化练 已知点A的坐标为(4 ,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转 至 OB,则点B的纵坐标为 ( D ) A. B. C. D.,解析 设直线OA的倾斜角为,B(m,n)(m0,n0),则直线OB的倾斜角为 +,因为A(4 ,1),所以tan = ,所以tan = = = , 即m2= n2,因为m2+n2=(4
9、 )2+12=49,所以n2+ n2=49,所以n= 或n=-(舍去),所以点B的纵坐标为 .,典例3 若tan 0,则 ( C ) A.sin 0 B.cos 0 C.sin 20 D.cos 20,命题方向二 三角函数线、三角函数值的符号,解析 由tan 0得是第一或第三象限角,若是第三象限角,则A,B错; 由sin 2=2sin cos 知sin 20,C正确;取 时,cos 2=2cos2-1=2 - 1=- 0,D错.故选C.,规律方法 三角函数值的符号及角的位置的判断 已知一角的三角函数值(sin ,cos ,tan )中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交
10、集为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.,同类练 若sin tan 0,且 0,则角是 ( C ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角,解析 由sin tan 0可知sin ,tan 异号, 则为第二或第三象限角, 由 0可知cos ,tan 异号, 则为第三或第四象限角. 综上可知,为第三象限角.,典例4 函数y= 的定义域为 .,命题方向三 三角函数线,解析 要使函数有意义,需满足sin x- 0,由三角函数线画出图象(如 图中阴影所示),所以2k+ x2k+ ,kZ.,规律总结 (1)利用单位圆中的三角函数线,可以确定一些三角函数不等式的解集, 但要
11、注意三角函数线是有向线段;(2)当角的终边在第二,第三象限时,正 切线是角的终边的反向延长线与单位圆上点A(1,0)处的切线的交点T与 A连接而成的有向线段AT.,同类练 函数y= 的定义域为 (kZ) .,解析 易得2cos x-10, 所以cos x . 由三角函数线画出x满足条件 的终边的范围(如图中阴影所示).,所以x (kZ).,典例5 (2018台州质检)如图所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运 动,其初始位置为P0( ,- ),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时 间t的函数图象大致为 ( C ),命题方向四 三角函数定义中的创新,解析 因为P0( ,- ),所以P0Ox=
12、- . 因为角速度为1,所以按逆时针旋转时间t后,得POP0=t, 所以POx=t- . 由三角函数定义,知点P的纵坐标为2sin , 因此d=2 . 令t=0,则d=2 = .,当t= 时,d=0,故选C.,典例6 已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是 ( A ) A.1或4 B.1 C.4 D.8,弧长与面积公式,解析 设扇形的弧长为l,半径为r,则 或 所以扇形 的圆心角的弧度数为 =4或1.故选A.,方法指导 扇形弧长、面积公式的使用与记忆 (1)涉及扇形弧长和面积计算时,公式的呈现形式有角度制和弧度制两 种,弧度制形式的公式较简捷,所以最好化为弧度制使用. (2)扇形面积公式可类比三角形面积公式来记忆.,3-1 已知扇形AOB(AOB为圆心角)的面积为 ,半径为2,则ABO的 面积为 ,扇形周长为 4+ .,解析 设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为, 则S扇形AOB= lr= , 又r=2,所以l= . 又l=|r= ,所以|= , 所以SAOB= r2sin = ,扇形周长为4+ .,
