1、1专题 03 利用导数 研究函数的性质第二季1已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，且当 时， ，过点 作曲线 的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数 的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】根据题意，分析可得当 时， ，则函数 在 为增函数，又由函数 的图象关于直线 对称，函数 在 为减函数，所以函数的最小值为 ，点 作曲线 的两条切线，则两条切线的关于直线 对称，即两条切线的斜率互为相反数，若两条切线互相垂直，切线的斜率 ，设 右侧的切点为 ，因为 ，所以导数 ，则有 ，即 ，又由切线过点 ，可得 ，即 ，解可得 ，联立可得 ，则函数 的最小值为 ，故选 B.2设椭圆 的
2、左,右顶点为 是椭圆上不同于 的一点,设直线 的斜率分别为 ,则当 取得最小值时,椭圆 的离心率为（ ）A B C D【答案】D2【解析】由椭圆方程可得 ，设 ，则 ,则 ，令 ，则 ，在 上递减，在 上递增，可知当 时，函数 取得最小值 ，故选 D.3设 ，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是A B C D【答案】A【解析】当 时，不等式 恒成立当 时，不等式 恒成立令 ，则当 时， ，即 在 上为减函数当 时， ，即 在 上为增函数3 ，即令 ，则当 时， ，即 在 上为减函数当 时， ，即 在 上为增函数 或故选 A4已知函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值 范围
3、是（ ）A B C D【答案】D45设函数 ，若存在区间 ，使 在 上的值域为 ，则 的取值范围是（ ）A BC D【答案】B【解析】f（ x）2 x lnx+1， f（ x）2 ，当 x 时， f（ x）0， f（ x）在 ，+）上单调递增， f（ x） f（ ）2 ln 0，5 f（ x）在 ，+）上单调递增， a， b ， +） ， f（ x）在 a， b上单调递增， f（ x）在 a， b上的值域为 k（ a+2） ， k（ b+2）， ，方程 f（ x） k（ x+2）在 ，+）上有两解 a， b作出 y f（ x）与直线 y k（ x+2）的函数图象，则两图象有两交点若直线 y k
4、（ x+2）过点（ ， ln2） ，则 k ，若直线 y k（ x+2）与 y f（ x）的图象相切，设切点为（ x0， y0） ，则 ，解得 k11 k ，故选 B.6若 函数满足 ，当 时， ，当 时， 的最大值为 ，则实数 a 的值为（ ）A3 Be C2 D1【答案】D6【解析】由已知得： ，当 时， ，设 时，则 ， 时， ， ， ， ，当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减， ， ，故选 D7奇函数 f（ x）定义域是（1，0）（0，1） ， f（ ）0，当 x0 时，总有（ x） f（ x）ln（1 x2）2 f（ x）成立，则不等式 f（ x）0 的解集为（ ）
5、A BC D【答案】B【解析】当 x0 时，总有（ x） f（ x） ln（1 x2）2 f（ x）成立，即 f（ x） ln（1 x2） 成立，也就是 f（ x） ln（1 x2） 0 成立，又 ln（1 x2） ln（1 x）+ ln（1+ x） ， ，即 f（ x） ln（1 x2）0 恒成立，可知函数 g（ x） f（ x） ln（1 x2）在（0，1）上单调递增， f（ x）是奇 函数， g（ x） f（ x） ln（1 x2）是奇函数，则在（1，0）上单调递增，7又 f（ ） f（ ）0， g（ ） f（ ）0， g（ x）的图象如下：在（1， ） ， （0， ）上， g（ x）0
6、，而 ln（1 x2）0 ， f（ x）0 成立不等式 f（ x）0 的解集为 故选： B8已知函数 ，若 （ ） ， ， ，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】由已知不妨设 x2 x1 4，要 恒成立，只需 f（ x2）+2m x2 f（ x1）+2m x1，令 g（ x） f（ x）+2m x，即 g（ x2） g（ x1）,由函数单调性的定义可知 g（ x）在4，+）上单调递增又函数g（ x） ， g（ x）2 x+ +2m，即 g（ x）0 在4，+）恒成立，即 x+ +m0 在4，+）恒成立，变量分离得-m x+ ,令 h(x)= x+ ,只需-m ，又 h(x)在
7、4，+）上单调递增，则 =h(4)=4+ ，所以-m 4+ ，由已知 使-m 4+ 成立，即 ,即 ，8故选：D.9记曲线 f（ x） x e x上任意一点处的切线为直线 l： y kx+b，则 k+b 的值不可能为（ ）A B1 C2 D3【答案】A10已知函数 ，若 只有一个极值点，则实数 的取 值范围是A B C D【答案】C【解析】，令 ，解得 或 ，令 ，可得 ，当 时，函数 取得极 小值， ，所以当 时，令 ，解得 ，此时函数 只有一个极值点，当 时，此时函数 只有一个极值点 1，满足题意，当 时不满足条件，舍去.9综上可得实数 的取值范围是 ，故选 C.11设函数 ,若函数 在
8、内有两个极值点，则实数 的取值范围是( )A B(0,1)C(0,2) D【答案】B【解析】对函数 求导，可得 ，由题意可知，函数 与函数 在区间 上有两个交点，对函数 求导， ，当 时， ；当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且当 时， ，结合单调性可以画出函数 在 大致图象（如下图） 。函数 是斜率为 且恒过点（1，0）的直线，设 与 相切时直线斜率为 ，则当 时，函数 与函数 在区间 上有两个交点,设切点为（ ） ，则 ， ，则切线方程为 ，因为切线过点（1，0） ，则 ，解得 或 ，因为 ，所以只有 满足题意，此时切线方程为 ， ，所以当 时，函数 与函数 在区间 上
9、有两个交点，即函数在 内有两个极值点。故选 B.1012定义在 上函数 满足 ，且对任意的不相等的实数 有 成立，若关于 x 的不等式 在 上恒 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】结合题意可知 为偶函数, 且在 单调递减,故可以转换为对应于 恒成立,即即 对 恒成立即 对 恒成立令 ,则 上递增,在 上递减 ,所以令 ,在 上递减所以 .故 ,故选 B.13设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)为奇函数，g(x)是偶函数，当 x 时，且 ,则不等式 的解集为( )A BC D11【答案】C【解析】令 ，因为 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数
10、，所以 是定义在 R 上的奇函数，又因为当 时， 成立，所以 在区间 上是增函数，可得它在区间 上也是增函数，因为 可得 ，所以结合 是奇函数可得 ，当 时， ，即 ，结合函数单调性，可得 ，当 时， ，即 ，结合函数单调性，可得 ，因此，不等式 的解集是： ，故选 C.14函数 的定义域是 ， ，对任意 ， ，则不等式 的解集为（ ）A B C D【答案】D【解析】令 ，则 ，即 在 上单调递增，又 ， ，故当 时， ，即 ，整理得 ，的解集为 故选： 15已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是A B12C D【答案】A16已知函数 ， 的解集为 ，若 在 上的值域与函数 在 上的值域
11、相同，则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为 ，定义域为 ，所以 ，当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，即 的值域为 .令 ，则 ， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，要使 的值域为 ，13则 ，所以 ，所以 的范围是 .故选：D17已知函数 ， （其中 为正整数， ） ，则的零点个数为（ ）A B C D与 有关【答案】C【解析】函数 ， （其中 为正整数， ）零点个数是方程 解的个数，设 ，因为 ，所以在 上单调递减，在 上单调递增；如图中实线所示；，由 的图象可得：时， 的图象，如图中虚线所示；则函数 共有 个零点；14由函数图象的对称
12、性可得，当 时，函数 零点个数仍为 个，故选 C.18已知定义在 e，+）上的函数 f（ x）满足 f（ x）+ xlnxf（ x）0 且 f（2018）0，其中f（ x）是函数 的导函数， e 是自然对数的底数，则不等式 f（ x）0 的解集为（ ）A e，2018） B2018，+） C （ e，+） D e， e+1）【答案】A【解析】定义在 e，+）上的函数 f（ x）满足 f（ x）+ xlnxf（ x）0，设 g（ x） f（ x） lnx， g（ x） f（ x） lnx 0 在 e，+）恒成立， g（ x）在 e，+）单调递减， f（2018）0 g（2018） f（2018）
13、 ln20180，要求 f（ x）0， lnx0，只需 g（ x）0 即可. g（ x）0 g（2018） ， x2018， e x2018，故选： A19若曲线 与 存在公共切线，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C1520设函数 ，其中 ，若仅存在两个正整数 使得 ，则 的取值范围是（ ）A BC D【答案】B【解析】令 f（ x）0，得 x（2 lnx1） ax a，令 h（ x） x（2 lnx1） ， g（ x） ax a a（ x1） ，则 h（ x）2 lnx+1，令 h（ x）0，解得： x ，故 x（0， ）时， h（ x）0， h（ x）递减，x（ ，+）时， h（ x）0， h（ x）递增，故 h（ x） min h（ ） ， h（1）10，若仅存在两个正整数 使得 ，即保证有两个正整数解，由题意得： ，解得：4 ln22 a3 ln3 ，故选： B16
