1、专题四 解析几何 第10讲 直线与圆,第10讲 直线与圆 1.已知l1=3x-y+1=0,直线l2过点(1,0),且l1的倾斜角是l2的倾斜角的2倍,则直线l2 的方程为 .,答案 3x+4y-3=0,解析 设直线l1的倾斜角是,则tan =3,直线l2的倾斜角是2,斜率k=tan 2= =- .所以直线l2的方程为y=- (x-1),即3x+4y-3=0.,2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心分别为A(14,92),B(17,76),C(19,84)的三 个圆的半径相同,直线l过点B,且位于l同侧的三个圆各部分的面积之和等于 另一侧三个圆各部分的面积之和,则直线l的斜率的取值集合为 .,答
2、案 -24,解析 由题意可得直线经过AC的中点时满足条件,而AC的中点坐标是 ,又直线l经过点B(17,76),则直线l的斜率k= =-24,故直线l的斜率 的取值集合是-24.,3.若三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4不能围成三角形,则实数m的取 值集合是 .,答案,解析 三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于 同一点.若l1l2,则m=4;若l1l3,则m=- ;若l2l3,则m的值不存在;若三条直线 相交于同一点,则m=-1或 .故实数m的取值集合是 .,4.由直线y=x-3上的点向圆(x+2)2+(y-3)2=1引切线,则切线长
3、的最小值为 .,答案,解析 设圆(x+2)2+(y-3)2=1的圆心为C,半径为r,则由直线y=x-3上的点P向圆(x +2)2+(y-3)2=1引切线,则切线长为 = ,当CP与直线y=x-3垂直 时,CP取得最小值,即|CP|min= =4 ,故切线长的最小值为 =.,5.已知圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0(a为常数)与直线y=x相交于A,B两点.若ACB= ,则实数a= .,答案 -5,解析 圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0(a为常数)的标准方程是(x-a)2+(y-1)2=a2-1(a21), 设圆C的半径为r,圆C与直线y=x相交于A,B两点,若ACB= ,则圆心C到直
4、线 AB的距离d= r,即 = ,化简,得a2+4a-5=0.解得a=1(舍去)或a=-5. 故实数a=-5.,题型一 直线与圆的方程,例1 (1)(2018江苏南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆M:x2+y2-6x-4y+ 8=0与x轴的两个交点分别为A,B,其中点A在B的右侧,以AB为直径的圆记为圆 N,过点A作直线l与圆M,圆N分别交于C,D两点.若D为线段AC的中点,则直线l 的方程为 . (2)(2018江苏南通高三调研)在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不 等式组 ,表示的平面区域内,则面积最大的圆C的标准方为 .,答案 (1)x+2y-4=0 (2)(x-1)2
5、+y2=4,解析 (1)如图,因为D是线段AC的中点,所以MDAD,又BDAD,所以M,D,B 三点共线.设D(x,y),显然D在以AM为直径的圆上,所以(x-4)(x-3)+y(y-2)=0.又 D在以AB为直径的圆上,所以(x-2)(x-4)+y2=0.由-得直线l的方程为x+2y-4=0.,(2)不等式组表示的平面区域是以点(-3,0),(3,-2 ),(3,2 )为顶点的等边三角 形,符合题意的面积最大的圆是该三角形的内切圆,则圆心为(1,0),半径r= 4 =2.故该圆的标准方程是(x-1)2+y2=4.,【方法归纳】 (1)求直线方程主要有以下两种方法:直接法:根据已知条 件,选择
6、适当的直线方程形式,直接求出直线方程;待定系数法:先设出直线 方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入,求出直线方程. (2)求圆的方程一般有以下两种方法:几何法:通过研究圆的性质、直线与 圆的位置关系、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程;代数法: 先设出圆的方程,再由已知条件求出待定系数,从而求得圆的方程.另外,圆心 到切线的距离等于半径,该结论在解题过程中会经常用到,需牢记. (3)边长为a的正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合,都是正三角形,的中心,内切圆的半径r= a,外接圆的半径R= a.,1-1 (2017江苏镇江高三期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相
7、切于原点,且 过点A(0,-6),则圆C的标准方程为 .,答案 (x+3)2+(y+3)2=18,解析 设已知圆的圆心为D(-5,-5).由圆C与圆D相切于点O,得圆心C在直线 OD:y=x上.又圆C过点A,则圆心C在线段OA的中垂线y=-3上,则C(-3,-3),半径r= OC=3 ,所以圆C的标准方程是(x+3)2+(y+3)2=18.,1-2 (2018徐州铜山中学高三期中)已知P是圆O:x2+y2=4上的动点,点A(4,0), 若直线y=kx+1上总存在点Q,使点Q恰是线段AP的中点,则实数k的取值范围是 .,答案,题型二 直线与圆的位置关系及其应用,例2 (1)(2018徐州高三考前
8、模拟)已知圆C:(x-2)2+y2=2,直线l:y=k(x+2)与x轴 交于点A,过l上一点P作圆C的切线,切点为T,若|PA|= |PT|,则实数k的取值范 围是 . (2)(2018南京师大附中高三模拟)已知直线x-y+b=0与圆x2+y2=9交于不同的两 点A,B.若O是坐标原点,且| + | | |,则实数b的取值范围是 .,答案 (1) (2)(-3 ,- ,3 ),解析 (1)直线l:y=k(x+2)与x轴交于点A(-2,0).设P(x,y),则|PT|2=|PC|2-|CT|2=(x-2) 2+y2-2.由|PA|= |PT|,得|PA|2=2|PT|2,即(x+2)2+y2=2
9、(x-2)2+y2-2,化简得(x-6)2+y2 =36.又直线l上存在点P,所以直线l与圆(x-6)2+y2=36有公共点,则 6,解 得- k . (2)由直线x-y+b=0与圆x2+y2=9交于不同的两点A,B,得 3,|b|3 .又由O是 坐标原点,取AB的中点C,连接OC,则OCAB,| + |=2| | | |= | |,则2|OC|29-|OC|2.所以|OC|= .解得|b| .所以 |b|3 ,故实,数b的取值范围是(-3 ,- ,3 ).,【方法归纳】 直线与圆的位置关系是通过圆心到直线的距离d与圆的半径 r的大小关系来判定的,直线与圆的相交弦问题,一般利用半径长,弦心距与
10、相 交弦长的一半构成的直角三角形来处理.,2-1 (2018盐城高三模拟)定义:点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的有向距离为 .已知点A(-1,0),B(1,0),直线m过点P(3,0),若圆x2+(y-18)2=81上存在 一点C,使得A,B,C三点到直线m的有向距离之和为0,则直线l的斜率的取值范 围为 .,答案,解析 设直线m的斜率为k,则m:kx-y-3k=0.设C(x,y),则由A,B,C三点到直线m的 有向距离之和为0,得 + + =0,化简得,kx-y-9k=0.又圆x2+(y -18)2=81上存在一点C,则直线kx-y-9k=0与圆有公共点.所以 9.解得 k-
11、 .,题型三 圆与圆的位置关系及其应用,例3 (1)(2018盐城中学高三阶段性检测)已知圆O:x2+y2=5,A,B为圆O上的两 个动点,且AB=2,M为弦|AB|的中点,C(2 ,a),D(2 ,a+2).当A,B在圆O上运动 时,始终有CMD为锐角,则实数a的取值范围为 . (2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+(y-2 )2=1和两点A(a,2-a),B(-a,a -2),且a1.若圆C上存在两个不同的点P,Q,使得APB=AQB=90,则实数a 的取值范围为 .,答案 (1)(-,-2)(0,+) (2)(1+ ,1+ ),解析 (1)由圆O的方程及|AB|=2,得
12、|OM|=2,即点M的轨迹方程是x2+y2=4,当 CMD为锐角时,点M在以CD为直径的圆外,以CD为直径的圆的标准方程是(x- 2 )2+(y-a-1)2=1,所以圆x2+y2=4上的点都在圆(x-2 )2+(y-a-1)2=1外,即两圆外 离,所以圆心距 2+1=3,解得a0. (2)满足APB=AQB=90的点P和Q在以AB为直径的圆上,即在圆O:x2+y2=a2 +(a-2)2上,又在圆C上存在两个不同的点P,Q,则圆C与圆O相交.所以 -11,所以1+ a1+ .,【方法归纳】 (1)圆上的点除直径两端点外,与直径两端点的连线成直角, 圆内的点与直径两端点的连线成钝角,圆外的点与直径
13、两端点的连线成锐角. (2)求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件不同,常采用以下方法:直接法: 直接根据题目提供的条件列出方程;定义法:根据圆、直线等定义列方程; 几何法:利用圆的几何性质列方程;代入法:找到要求的点与已知点的关 系,代入已知点满足的关系式等.,3-1 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x+1)2+y2=2,点A(2,0).若圆C上存在点 M,满足|MA|2+|MO|210,则点M的纵坐标的取值范围是 .,答案,解析 设M(x,y),则|MA|2+|MO|2=(x-2)2+y2+x2+y210,化简得(x-1)2+y24,则点M 的纵坐标即圆C在圆(x-1)2+y2=4内部(含边界)的圆弧上点的纵坐标.将圆C的 方程代入(x-1)2+y24,解得x- ,- y .,
