1、1限时检测提速练(十一) 大题考法立体几何的综合问题A组1(2018潍坊二模)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB BC， AA1 DA1， ABC120(1)证明： AD BA1；(2)若 AD DA14， BA12 ，求多面体 BCDA1B1C1D1的体积6(1)证明：取 AD中点 O，连接 OB， OA1 AA1 DA1， AD OA1在 ABCD中， ABC120， BAD60又 AB BC，则 AB AD， ABD是正三角形， AD OB， OA1平面 OBA1， OB平面 OBA1， OA1 OB O， AD平面 OBA1， AD A1B(2)解：由题设知 A1AD
2、与 BAD都是边长为 4的正三角形 A1O OB2 3 A1B2 ， A1O2 OB2 A1B2， A1O OB，6 A1O AD， A1O平面 ABCD， A1O是平行六面体 ABCDA1B1C1D1的高，又 SABCD ADOB42 8 ，3 3 V VABCDA1B1C1D1 SABCDA1O8 2 48，3 3V1 VA1ABD S ABDA1O 2 42 8，13 13 12 3 3 VBCDA1B1C1D1 V V140，即几何体 BCDA1B1C1D1的体积为 402(2018宣城二调)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面ABC， AB AC2， BAC120，
3、 AA13， D， D1分别是 BC， B1C1上的中点， P是线段 AD2上的一点(不包括端点)(1)在平面 ABC内，试作出过点 P与平面 A1BC平行的直线 l，并证明直线 l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线 l交 AC于点 Q，求三棱锥 A1QC1D的体积解：(1)在平面 ABC内作直线 l BC，则直线 l与平面 A1BC平行，即图中的直线PQ.AB AC2, D是 BC上的中点，则 AD BC，即 l AD，又侧棱 AA1底面 ABC，则 l AA1， AD AA1 A，故直线 l平面 ADD1A1(2)VA1QC1D VDA1QC1 S A1QC1h，13因为平面 A1A
4、CC1平面 ABC，过 D作线段 DE AC于 E，则 DE平面 AA1C1C，即 DE为 DA1QC1的高，由 AB AC2， CAB120，得 DE ，32则 VDA1QC1 S A1QC1h 23 13 13 12 32 323(2018石嘴山二模)如图所示，在三棱锥 PABC中， PC平面 ABC， PC3， D， E分别为线段 AB， BC上的点，且 CD DE ， CE2 EB22(1)求证： DE平面 PCD；(2)求点 B到平面 PDE的距离3(1)证明：由 PC平面 ABC， DE平面 ABC，故 PC DE由 CE2， CD DE ，得 CDE为等腰直角三角形，故 CD D
5、E2又 PC CD C，故 DE平面 PCD(2)解：由(1)知， CDE为等腰直角三角形， DCE ，4过 D作 DF垂直 CE于 F，易知 DF CF EF1，又 DE平面 PCD，所以 DE PD， PD ，PC2 CD2 11设点 B到平面 PDE的距离为 h，即为三棱锥 BPDE的高，由 VBPDE VPBDE得 S PDEh S BDEPC，13 13即 PDDEh BEDFPC，13 12 13 12即 h113，所以 h ，11 232222所以点 B到平面 PDE的距离为 322224(2018蚌埠二模)如图，四棱锥 PABCD的底面是直角梯形，AD BC， AD3 BC6，
6、 PB6 ，点 M在线段 AD上，且 MD4， AD AB， PA平面 ABCD2(1)求证：平面 PCM平面 PAD；(2)当四棱锥 PABCD的体积最大时，求四棱锥 PABCD的表面积(1)证明：由 AD6， DM4 可得 AM2，易得四边形 ABCM是矩形， CM AD，又 PA平面 ABCD， CM平面 ABCD， PA CM，又 PM AD M， PM， AD平面 PAD， CM平面 PAD，又 CM平面 PCM，平面 PCM平面 PAD4(2)解：四棱锥 PABCD的体积为 V (AD BC)ABPA ABPA，13 12 43要使四棱锥 PABCD的体积取最大值，只需 ABPA取
7、得最大值由条件可得 PA2 AB2 PB272，722 PAAB，即 PAAB36，当且仅当 PA AB6 时， PAAB取得最大值 36PC2 ， PD6 ， CD2 ，19 2 13cos CPD ，则 sin CPD ，PC2 PD2 CD22PCPD 2219 1119 S PCD PCPDsin CPD6 ，12 22则四棱锥 PABCD的表面积为 (62)126 2 26 6 6(10 )(1266) 12 2 22 22 2B组1(2018日照二模)如图，在菱形 ABCD中， BAD ，其对角线 AC与 BD相交于点3O，四边形 OAEF为矩形，平面 OAEF平面 ABCD， A
8、B AE2(1)求证：平面 DEF平面 BDF；(2)若点 H在线段 BF上，且 BF3 HF，求三棱锥 HDEF的体积(1)证明： ABCD为菱形， AO BD四边形 OAEF为矩形， AO FO， EF AO， EF BD， EF FO，又 BD FO O， EF平面 BDF又 EF平面 DEF，平面 DEF平面 BDF(2)解：连接 EH， DH， EB，则由(1)可知 EF平面 BDF，5又 BDF中， BD OF2， EF AO ，3故三棱锥 EBDF的体积为 22 ，13 12 3 233又 BF3 HF，所以 VEBDF VBDEF3 VHDEF ，233故 VHDEF 2392
9、(2018株洲检测)如图，四棱锥 EABCD中，平面 ABCD是平行四边形， M， N分别为 BC， DE的中点(1)证明： CN平面 AME；(2)若 ABE是等边三角形，平面 ABE平面 BCE， CE BE， BE CE2，求三棱锥NAME的体积(1)证明：取 AE中点 F，连接 MF， FN因为 AED中， F， N分别为 EA， ED的中点，所以 FN綊 AD12又因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 BC綊 AD又 M是 BC中点，所以 MC綊 AD，所以 FN綊 MC12所以四边形 FMCN为平行四边形，所以 CN MF，又 CN平面 AEM， MF平面 AEM，所以 CN平面
10、 AEM(2)解：取 BE中点 H，连接 AH，则 AH BE，因为平面 ABE平面 BCE，平面 ABE平面 BCE BE， AH平面 ABE，所以 AH平面 BCE6又由(1)知 CN平面 AEM，所以 VNAEM VCAEM VAMEC又因为 M为 BC中点，所以 VAMEC S MECAH S BECAH 22 13 13 12 13 12 12 3 33所以三棱锥 NAEM的体积为 333(2018资阳二模)如图，三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均为 2， AA1面 ABC， E， F分别为棱 A1B1， BC的中点(1)求证：直线 BE平面 A1FC1；(2)平面 A1FC1与直
11、线 AB交于点 M，指出点 M的位置，说明理由，并求三棱锥 BEFM的体积(1)证明：取 A1C1的中点 G，连接 EG， FG，于是 EG綊 B1C1，又 BF綊 B1C1，12 12所以 BF綊 EG所以四边形 BFGE是平行四边形所以 BE FG，而 BE面 A1FC1， FG面 A1FC1，所以直线 BE平面 A1FC1(2)解： M为棱 AB的中点理由如下：因为 AC A1C1， AC面 A1FC1， A1C1面 A1FC1，所以直线 AC平面 A1FC1，又面 A1FC1平面 ABC FM，所以 AC FM.又 F为棱 BC的中点所以 M为棱 AB的中点三角形 BFM的面积7S B
12、FM S ABC ，14 14 (1222sin 60) 34所以三棱锥 BEFM的体积 VBEFM VEBFM 2 13 34 364(2018商丘二模)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1底面ABC， AC AB， AC AB AA12， AA1B160， E， F分別为棱 A1B1， BC的中点(1)求三棱柱 ABCA1B1C1的体积；(2)在直线 AA1上是否存在一点 P，使得 CP平面 AEF？若存在，求出 AP的长；若不存在，说明理由解：(1)三棱柱 ABCA1B1C1中， A1B1 AB因为 AB AA12，所以 A1B1 AA12又因为 AA1B160，连接
13、 AB1，所以 AA1B1是边长为 2的正三角形因为 E是棱 A1B1的中点，所以 AE A1B1，且 AE ，3又 AB A1B1，所以 AE AB，又侧面 ABB1A1底面 ABC，且侧面 ABB1A1底面 ABC AB，又 AE侧面 ABB1A1，所以 AE底面 ABC，所以三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V S ABCAE ABACAE 22 2 12 12 3 3(2)在直线 AA1上存在点 P，使得 CP平面 AEF证明如下：连接 BE并延长，与 AA1的延长线相交，设交点为 P，连接 CP8因为 A1B1 AB，故 PEPB PA1PA A1EAB由于 E为棱 A1B1的中点，所以 ，故有 PE EB，A1EAB 12又 F为棱 BC的中点，故 EF为 BCP的中位线，所以 EF CP又 EF平面 AEF， CP平面 AEF，所以 CP平面 AEF故在直线 AA1上存在点 P，使得 CP平面 AEF此时， PA1 AA12.所以 AP2 AA14
