1、第 二 章,数列,章末整合提升,知 识 结 构,数 列,数列的概念与简单表示法,数 列,两个基本数列,等差数列,等比数列,数 列,专 题 突 破,专题一 求数列的通项公式,数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和，所以求数列的通项往往是解题的突破口和关键点,例题 1,分析 观察法是求数列的通项公式的常用方法，先观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式,规律总结 一般地，已知数列的前几项求数列的通项公式，可用观察归纳法求解观察时要注意符号规律，增减规律，必要时
2、先统一其大小关系或分子分母的变化规律整理成相同的结构形式横向看各项之间的关系，纵向看各项与其项数n之间的关系，从而归纳得出结论,例题 2,规律总结 已知Sn或an与Sn之间的关系式求通项an，一般用anSnSn1(n2)求解,已知数列an中，a11，且an1an3nn，求数列an的通项公式 解析 由an1an3nn， 得anan13n1(n1)， an1an23n2(n2)， a3a2322，a2a131.,例题 3,规律总结 因为an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，所以形如an1anf(n)型递推关系式求通项an.设bnf(n)，若bn可求和，则用累加法求解 若f
3、(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和,例题 4,例题 5,(2)an13an2， an113(an1) 又a1120， 数列an1是首项为2，公比为3的等比数列 an123n1.an23n11.,专题二 数列求和问题,数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的题型，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式某些既不是等差数列，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法,已知等差数列an中，a26，a515，若bna2n，则数列bn的前5项和等于
4、( )A30 B45 C90 D186,例题 6,C,规律总结 若数列an为等差(或等比)数列或可转化为等差(或等比)数列，则用公式法求和,例题 7,规律总结 如果一个数列的通项公式能拆成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么可用分组求和法求解,例题 8,设数列an为1,2x,3x2,4x3，nxn1，(x0)求此数列前n项的和 分析 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错位相减法 解析 Sn12x3x24x3nxn1， xSnx2x23x3(n1)xn1nxn， 由，得(1x)Sn1xx2xn1nxn，,例题 9,规律总结 若an为等差数列，bn
5、为等比数列，cnanbn则求cn前n项和用错位相减法求解,例题10,专题三 等差(等比)数列的判定或证明,分析 (1)“证明数列an1an是等比数列”这一问题本身就指出了“条件式”的变形方向，即化为an1anp(anan1)的形式求an的通项公式，由an1an可想到试用逐差“累加法” (2)由(1)的结论可求bn，由于b1(bn1)(bn1)，联想到裂项求和法，可找到解题途径,例题11,规律总结 已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差(或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比)数列定义，结合anSnSn1(n2)对条件式变形构造新数列求解,专题四 以数阵
6、为背景的数列问题,所谓数阵是指将某些数按一定的规律排成若干行和列，形成图形，也称之为数表 常见数阵形式有正方形、三角形、长方形、圆、多边形、花瓣形、十字形等,将所有奇数按如图所示排成一数阵，第n行最右边的数是_.,例题12,n2n1,规律总结 解答数阵问题时，关键是分析构成数阵的各数的变化特点，如等差、等比(奇数、偶数、乘方等)正负、和差等找出其规律，然后利用等差、等比等数列知识求解,专题五 数列中的数学思想,在数列的应用问题中，常常渗透函数思想、方程思想、分类讨论思想、转化化归思想等,等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比q为_.,例题13,例题14,规律总结 1.函数思想：等差数列的通项an是n的一次函数，前n项和是n的二次函数；等比数列的通项和前n项和都是n的指数型函数、实际解决问题，有时借助于函数的知识可更方便解决 2方程思想 等差(比)数列的通项公式与前n项和公式中含有a1，n，d(q)，an，Sn这五个基本量，已知其中任意三个，通过解方程可以求出其余两个,4构造转化思想 给出an与Sn的关系式或递推关系式研究数列时，常常要通过变形构造新列转化为等差(等比)数列求解,
