1、- 1 -江西省新余市 2017-2018 学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 ，集合 ，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解答：=2,+)， ，= R，故 A B=A.故选 D.2.函数 f（x）=2 x+x-2 的零点所在区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数零点的存在性定理可得函数零点所在的区间【详解】解： 函数 ， ，（1） ，根据函数零点的存在性定理可得函数零点所在的区间为 ，故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点的存在性定理的应用,属于基础题 3. 给定映射 f：(x，y)
2、(x+2y，2x-y)，在映射 f 下(4，3)的原象为（ ）A. (2，1) B. (4，3) C. (3，4) D. (10，5)【答案】A【解析】试题分析：（x，y）在映射 f 的作用下的象是（x+2y，2x-y）设（4，3）的原象（a，b）- 2 -则 a+2b=4，2a-b=3故 a=2，b=1故（4，3）的原象为（2，1）故选 A考点：本试题主要考查了考查的知识点是映射的概念的运用。 点评：根据已知中映射的对应法则，设出原象的坐标，并构造出相应的方程（组）是解答本题的关键.4.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下面四个命题中不正确的是（ ）A. 若 则 B. 若 ，则C.
3、 若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】由 a、 b 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，知：在 A 中,若 a b,a ,b ,则由线面平行的判定定理得 b ，故 A 正确；在 B 中，若 a b， a ， b ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 B 正确；在 C 中,若 a ， ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 C 正确；在 D 中,若 a , ,则 a 或 a ，故 D 错误。故选：D.5.函数 f(x)x a满足 f(2)4，那么函数 g(x)|log a(x1)|的图象大致为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】- 3 -从函数图像特征逐一分析。【详解】函数 g(
4、x)|log a(x1)的定义域为：| ，从而排除 D。由 g(x)|log a(x1)| 0，排除 B。时， ，排除 A。故选 C。【点睛】由题意得出 ，根据图形特征一一排除答案即可，注意看出图形的区别是关键。6.过原点且倾斜角为 60的直线被圆 所截得的弦长为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】A【解析】由题意可得，直线方程为： ，即 ，圆的标准方程为： ，圆心到直线的距离： ，则弦长为： .本题选择 A 选项.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则 ；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： .7.下列四个不等式中，错误的个数是(
5、 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】根据函数的单调性可得正确、错误，由 ，故正确，因此选 B.考点：实数的大小比较- 4 -【点睛】本题考查实数的大小比较，涉及数形结合思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、具有一定的综合性，属于中档题型.首先利用函数的单调性判断得正确、错误，再借助实数 可得 ，本题难点就是借助实数 巧妙解题.8. 如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6 cm，OC2 cm，则原图形是( )A. 正方形 B. 矩形C. 菱形 D. 一般的平行四边形【答案】C【解析】本题考查斜二测画法的逆用解：根据
6、斜二测的画法可得 ,还原出的图如下，其中 (平行于 轴的长度不变).（平行于 轴的长度扩为 2 倍）.由于 ,且 ，所以 为平行四边形，又,所以 为菱形.故答案为 C.9.已知点 A 的坐标为（-4，4） ，直线 l 的方程为 x+y-2=0，则点 A 关于 l 的对称点 A的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B- 5 -【解析】【分析】设点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出 、 的值,可得答案【详解】解： 设点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，则由 ，求得 ， ，故点 ，故选： 【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂
7、直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，属于基础题10.设 表示 ， 中较小的一个，则 的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在同一坐标系中将两个图像都画出来，发现两个图交于点 ，根据所给定义，截取交点两侧下方的图像得到一个先增后减的图像，最大值为 0.最小值到负无穷。故值域就是 。故答案选：A。11.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 100 - 6 -B. 108 C. 84 D. 92 【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是长方体去掉一个三棱锥的组合体，求出该几何体的体积即可【详解】解：根据几何体的三视图知，
8、该几何体是长为 6、宽为 3、高为 6 的长方体，去掉一个底面直角边长为 4 和 3，高为 4 的三棱锥； 该几何体的体积是故选： 【点睛】本题考查了根据三视图还原空间几何体，从而求得体积，是基础题12.若直角坐标平面内的两个不同的点 M、N 满足条件M、N 都在函数 y=f（x）的图象上；M、N 关于原点对称则称点对M，N为函数 y=f（x）的一对“友好点对” （注：点对M，N与N，M为同一“友好点对” ） 已知函数 f（x）= ，此函数的“友好点对”有（ ）A. 0 对 B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对【答案】C【解析】【分析】根据题意：“友好点对”可知，欲求 的“友好点对” ，只
9、须作出函数 关于原点对称的图象，看它与函数 交点个数即可【详解】解：根据题意：当 时， ，则 ，则函数的图象关于原点对称的函数是 由题意知，作出函数的图象及函数 的图象如下图所示：- 7 -由图可得两个函数图象共有两个交点，即 的“友好点对”有：2 对故选： 【点睛】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.空间直角坐标系中，设 A（1，2，3） ，B（1，0，2） ，点 M 和点 A 关于 y 轴对称，则|BM|_【答案】3【解析】【分析】利用对称性先
10、求出点 ，再利用两点间距离公式能求出 的值 【详解】解： 空间直角坐标系中， 设 ， 2 ， ， ， 0 ， ，点 和点 关于 轴对称， ， 2 ， ， 故答案为： 3 【点睛】本题考查空间中点点对称及两点间距离的求法，是基础题14.知函数 f（x）=x 2-2kx-3 在4，+）上是单调增函数，则实数 k 的取值范围是_【答案】(，4【解析】对称轴为 x k，则 k4.15.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，不等式 的解集用区间表示为_【答案】【解析】根据题意， 是定义在 上的奇函数，则有 ，- 8 -当 时， 为减函数，则当 时， 也为减函数，综合可得 在上为减函数，若 ，则有 ，解
11、可得 ，即不等式 的解集为 .故答案为： .点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数 在区间上单调递增，则时，有 ，事实上，若 ,则 ，这与 矛盾，类似地，若 在区间上单调递减，则当 时有 ；据此可以解不等式.16.如图所示，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ，则下列结论中正确的是_ 平面 ；平面 平面 ；三棱锥 的体积为定值；存在某个位置使得异面直线 与 成角 .【答案】【解析】- 9 -由正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E、F，且 EF= ，知：在中，由 EFBD，且 EF平面 ABCD，BD 平面 ABCD，得 EF平面 AB
12、CD，故正确；在中，连接 BD，由 ACBD，ACDD 1，可知 AC面 BDD1B1，而 BE面 BDD1B1，BF面 BDD1B1，AC平面 BEF，AC平面 ACF，面 ACF平面 BEF，故正确；在中，三棱锥 EABF 的体积与三棱锥 ABEF 的体积相等，三棱锥 ABEF 的底面积和高都是定值，故三棱锥 EABF 的体积为定值，故正确；在中，令上底面中心为 O，当 E 与 D1重合时，此时点 F 与 O 重合，则两异面直线所成的角是OBC 1，可求解OBC 1=300，故存在某个位置使得异面直线 AE 与 BF 成角 30，故正确故答案为：.点睛：这个题目考查的是立体几何的线面关系的
13、判断，线线角的求法，特殊椎体的体积的求法；证明线面平行时，一般先通过构建平行四边形，或者三角形中位线，找线线平行；对于异面直线的问题，一般是平移到同一平面，再求线线角问题。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知全集 ，集合 .()求集合 ；()设集合 ，若 ，求实数 的取值范围.【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：化简集合 、 ， ， ， （ ） ，；（ ） , ，则求出 .试题解析：（） ，又 ，. （） ，- 10 -.18.已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线 l的方程（1）l与 l 平行且过点（-1，3） ；（2）l与 l 垂
14、直且在两坐标轴上的截距相等【答案】 （1）3x+4y-9=0； （2）4x-3y=0.【解析】【分析】（1）根据平行直线的斜率相等，用点斜式求出直线方程；（2）根据两直线垂直求出对应的斜率，再利用截距相等求出对应的截距，从而写出所求的直线方程【详解】 （1）直线 l：3x+4y-12=0，其斜率为 ，ll， ，直线 ，即为 3x+4y-9=0；（2）ll，l的 ，设 l在 y 轴上的截距为 b，则 l的方程为 ，故它在 x 轴上的截距为 ，在两坐标轴上的截距相等， ，解得 b=0， ，即 4x-3y=0【点睛】本题考查了利用平行或垂直关系求直线方程的应用问题，是基础题19.如图，四棱锥 C 的
15、底面是正方形，PA平面 ABCD，PA=2，PDA=45，点 E、F 分别为棱AB、PD 的中点- 11 -（1）求证：AF平面 PEC（2）求证：平面 PCD平面 PEC；（3）求三棱锥 C-BEP 的体积【答案】 （）见解析（）见解析（）【解析】19、证明: （）取 PC 的中点 G，连结 FG、EG，FG 为CDP 的中位线，FG CD， 1 分四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点，AB CD，FG AE，四边形 AEGF 是平行四边形，AFEG，又 EG 平面 PCE，AF 平面 PCE， 3 分AF平面 PCE； 4 分- 12 -（） PA底面 ABCD，PAAD，PAC
16、D，又 ADCD，PA AD=A，CD平面 ADP， 又 AF 平面 ADP，CDAF， 6 分直角三角形 PAD 中，PDA=45，PAD 为等腰直角三角形，PAAD=2， 7 分F 是 PD 的中点，AFPD，又 CD PD=D，AF平面 PCD， 8 分AFEG，EG平面 PCD， 9 分又 EG 平面 PCE，平面 PCE平面 PCD； 10 分（）三棱锥 CBEP 即为三棱锥 PBCE， 11 分PA 是三棱锥 PBCE 的高，RtBCE 中，BE=1，BC=2，三棱锥 CBEP 的体积V 三棱锥 CBEP =V 三棱锥 PBCE= 14 分20.片森林原来面积为 a，计划每年砍伐森
17、林面积是上一年末森林面积的 p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是 10 年，已知到今年末为止，森林剩余面积为原来面积的 ，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的 （1）求每年砍伐面积的百分比 p%；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今年以后至多还能再砍伐多少年？- 13 -【答案】 （1）p%=1- ； （2）该森林已砍伐了 5 年； （3）以后最多还能再砍伐 15 年.【解析】【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比 ，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，结合等比数列可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；（2）根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的
18、可列出关于 的等式， 解之即可；（3）根据题意，求出砍伐 年后剩余面积，由题意，建立关于 的不等关系， 求出 即可；【详解】 （1）由题意可得，a（1-p%） 10= ，解得 p%=1- ，每年砍伐面积的百分比 p%=1- ；（2）设经过 m 年剩余面积为原来的 ，则 a（1-p%） m= a，（1-p%） m= = ， 由（1）可得，1-p%= ，即 ， = ，解得 m=5， 故到今年至末为止，该森林已砍伐了 5 年 （3）设今后至多还能再砍伐 n 年，则 ，化简可得， ，n15 故今年以后最多还能再砍伐 15 年【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化，
19、其- 14 -中关键是建立数学模型21.已知 .（1）当 时，判断 在 的单调性，并用定义证明；（2）若 对 恒成立，求 的取值范围；（3）讨论 的零点的个数.【答案】 （1）减函数,证明详见解析; （2） ;（3）详见解析【解析】试题分析：（1）当 时，利用函数单调性的定义即可判断 在 的单调性，并用定义证明（2）利用参数分离法将不等式 恒成立，转化为 ，求出 的最大值即可；（3）将函数零点个数转化为方程 解的个数，再转化为直线 与的图象的交点个数，运用数形结合思想求解.试题解析：（1）当 ，且 时， 为减函数.证明：设 ，则 ,又 ，所以 ，所以 ,所以 ，所以 ，故当 ，且时， 为减函数
20、.（2）由 得 ，变形为 ,即 ,而，当 ，即 时， ,所以 .（3）由 可得 ，变形为 ，令,作出 的图象及直线 ，由图象可得：当 或时， 有 个零点.当 或 或 时， 有 个零点；当 或- 15 -时， 有 个零点.点晴：本题考查函数与单调性.确定零点的个数问题，可利用数形结合的办法判断交点个数，方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理注意利用数形结合的数学思想方法.22.已知圆 满足：圆心在第一象限，截 轴所得弦长为 2；被 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 ；圆心
21、到直线 的距离为 .（）求圆 的方程；（）若点 是直线 上的动点，过点 分别做圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：直线 过定点.【答案】 （） （）证明见解析【解析】试题分析：（）设出圆 的圆心坐标，可得到圆 截 轴所得劣弧对的圆心角为 ，由垂径定理得到圆截 轴的弦长，找出 及 的关系式， ，联立得到 的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出 到直线 的距离，让其等于 ，从而得到 的又一关系式，可求出 的值，得到圆心 的坐标，然后利用 求出圆的半径 r，根据圆心和半径写出圆的方程即可（）设点 以 为圆心， 为半径的圆的方程为又（ 由得 ，即（ 可得直线 PQ 过定点 试题解析：（）设圆 的圆心为 （ ， ） ，半径为 ，则点 到 轴， 轴的距离分别为 ， .由题设知圆 截 轴所得劣弧对的圆心角为 ，知圆 截 轴所得的弦长为 ，故 ，又圆 被 轴所截得的弦长为 2，所以有 ，从而得 .又因为 到直线 的距离为 ，所以 ，- 16 -即有 ，由此有 或 .解方程组得 或 （舍）于是 ，所求圆的方程是（）设点 的坐标为 ，以点 为圆心，以 为半径圆 的方程为 ，联立圆 和圆 的方程：得直线 的方程为：即 ，直线 过定点 .【点睛】本小题主要考查轨迹的问题、圆的相交弦问题，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题- 17 -
