1、11.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.如图所示,下列几何体中是棱柱的有( C )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个解析:由棱柱的结构特征可知,均为棱柱,不是棱柱.2.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( D )(A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥解析:如图,作 PO底面于 O,连接 OB、OC,则BOC 为等边三角形,一定有 PBOB=BC,即正六棱锥的侧棱大于底面边长,因此,侧棱和底面边长相等的正六棱锥不存在.3.在正方体 ABCD ABCD中,过对角线 BD的一个平面交 AA于 E,交 CC于 F,则以下结论中错误的是( B )(A)四边形
2、 BFDE 一定是平行四边形(B)四边形 BFDE 有可能是正方形(C)四边形 BFDE 有可能是菱形(D)四边形 BFDE 在底面投影一定是正方形解析:平面 BFDE 与相互平行的平面 BCCB及 ADDA的交线BFDE,同理 BEDF,故 A正确.特别当 E,F分别为棱 AA,CC中点时,2BE=ED=BF=FD,则四边形为菱形,其在底面 ABCD内的投影为正方形 ABCD,所以选 B.4.如图所示,正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长都是 2,E、F 分别是 AB、A 1C1的中点,则 EF的长是( C )(A)2 (B)(C) (D)解析:取 AC的中点 G,连接 EG,FG,则易得
3、 FG=2,EG=1,且 EGFG,故 EF= .5.正四棱锥的高是 ,侧棱长为 ,则它的斜高为 . 解析:在正四棱锥 S-ABCD中,如图,M 为 BC中点,则 SM为其斜高,在 RtSOB 中,SO= ,SB= ,所以 OB= =2,所以 BA=2 ,在 RtSOM 中,SO= ,3OM= AB= ,所以 SM= = .答案:6.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1容器中灌进一些水,将容器底面一边 BC置于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜程度的不同,水形成如图(1)(2)(3)的三种形状(阴影部分).请你说出这三种形状的名称,并指出其底面.解:(1)长方体,底面为矩形 A
4、BFE,DCGH.(2)直四棱柱,底面为梯形 ABFE,DCGH.(3)直三棱柱,底面为直角三角形 EBF,HCG.7.一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为 49,则此棱锥的侧棱被分为上、下两部分之比为( B )(A)49 (B)21 (C)23 (D)2解析:设上、下两部分的长分别为 a,b,则有( )2= ,即 = ,所以 =21,应选 B.8.正三棱台的上、下底面边长及高分别为 1,2,2,则它的斜高是. 解析:如图,在直角梯形 O1ODD1中,O1D1= ,OD= 2= ,O1O=2,所以 D1D=4= .答案:9.在正方体上任意选择 4个顶点,它们可能是如下各种
5、几何体的 4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号). 矩形;不是矩形的平行四边形;有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;每个面都是等边三角形的四面体;每个面都是直角三角形的四面体.解析:在如图正方体 ABCD A1B1C1D1中,若所取四点共面,则只能是正方体的表面或对角面.即正方形或长方形,所以正确,错误.棱锥 A BDA1符合,所以正确;棱锥 A1 BDC1符合,所以正确;棱锥 A A1B1C1符合,所以正确.答案:10.如图,四边形 ABCD为平行四边形,EFAB,且 EFAB,试说明这个简单组合体的结构特征.解:方案一:如图(1)所示,此几何体可由一个三棱
6、柱和一个四棱锥拼接而成.方案二:如图(2)所示,此几何体可由一个三棱锥和一个四棱锥拼接而成.方案三:如图(3)所示,此几何体可由一个三棱柱和两个四棱锥拼接而成.511.如图所示,正三棱柱 ABC A1B1C1中,AB=3,AA 1=4,M为 AA1的中点,P 是 BC上一点,且由 P沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M的最短路线长为 ,设这条最短路线与 CC1的交点为 N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;(2)求 PC和 NC的长.解:(1)正三棱柱 ABC A1B1C1的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4的矩形,如图所示,其对角线长为 = .(2)由 P沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M的最短路线,即侧面展开图中的线段 MP,设 PC的长为 x,则在 RtAMP 中,AM=2,MP= ,所以 AP2=PM2-AM2=25,即(x+3) 2=25,所以 x=2,即 PC=2.因为 = = ,又 MA=2,所以 NC= .
