1、12.2.2 反证法1掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点2学会写出命题的否定，并以此作条件推出矛盾结论，即学习用反证法证明简单题目反证法一般地，由证明 p q 转向证明：_ ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定_为假，推出_为真的方法，叫做反证法1反证法适宜证明“存在性，唯一性，带有至少有一个或至多有一个等字样”的一些数学问题2应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真常见的主要矛盾
2、有：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；与临时假设矛盾；与公认的事实或自相矛盾等【做一做 11】应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )结论的相反判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论A BC D【做一做 12】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A假设三角形的内角中至少有一个钝角B假设三角形的内角中至少有两个钝角C假设三角形的内角中没有一个钝角D假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角如何理解反证法？剖析：反证法证题的特征：通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证反证法的原理是“否定之否定等于肯定”
3、反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，即证明命题的逆否命题成立否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法要注意用反证法解题， “否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反面为“” ；“”的反面为“” ；“”的反面为“” ；“”的反面为“” ；“”的反面为“” ；“”的反面为“”或“”及“” 反证法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定” ，
4、2其中：第一个否定是指“否定结论” ；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设” 反证法属“间接解题方法” ，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设” 反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性题型一 命题的结论是否定型【例题 1】已知函数 f(x) ax (a1)x 2x 1(1)证明函数 f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根分析：应用增函数定义证明第一问；第二问的结论是否定型的，适于应用反证法反思：在解题过程中，提出假设，分类讨论等都是在合理地增设条件，为解题提供帮助题型二 命题的结论涉及至
5、多、至少及存在型【例题 2】已知 a， b， c 都是小于 1 的正数，求证：(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 中至少有一个不大于 .14分析：命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时，应用直接方法证明时难度很大，根据正难则反的思想，应用反证法证明本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有” ，然后由假设入手，应用均值不等式证明反思：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是 A，或者非 A，即在同一讨论过程中， A 和非 A 有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现题型三 唯一性命题的证明【例题 3】求证：过直线
6、外一点只有一条直线与它平行分析：本题属唯一性的证明问题，用反证法证明已知： A a， A b， b a，求证： b 唯一题型四 易错辨析易错点：运用反证法时，第一步否定结论易错因为有些结论的对立面不易确定，从而导致错误【例题 4】用反证法证明命题“ a， b 为整数，若 ab 不是偶数，则 a， b 都不是偶数”时，应假设_错解： a， b 不都是偶数1 反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾这个矛盾可以是( )与已知矛盾；与假设矛盾；与定义、定理、公理、法则矛盾；与事实矛盾A BC D2 命题“在 ABC 中，若 A B，则 a b”的结论的否定应该是( )A a b B a b C a
7、b D a b3“M 不是 N 的子集”的充分必要条件是( )A若 x M 则 x NB若 x N 则 x MC存在 x1 M x1 N，又存在 x2 M x2 ND存在 x0 M x0 N4 设实数 a， b， c 满足 a b c1，则 a， b， c 中至少有一个数不小于_5 用反证法证明命题“若 a2 b20，则 a， b 全为 0(a， b 为实数)”时，应假设_3答案；基础知识梳理q r t q q【做一做 11】C【做一做 12】B “至多有一个”的反面为“至少有两个” 典型例题领悟【例题 1】证明：(1)任取 x1， x2 (1，)，不妨设 x1 x2，则x2 x10， ax2
8、 x11，且 ax10， ax2 ax1 ax1(ax2 x11)0.又 x110， x210， x2 2x2 1 x1 2x1 1 x2 2 x1 1 x1 2 x2 1 x1 1 x2 1 0.3 x2 x1 x1 1 x2 1 f(x2) f(x1) ax2 ax1 0.x2 2x2 1 x1 2x1 1故函数 f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在 x00( x01)，满足 f(x0)0，则ax0 ，且 0 ax01，x0 2x0 10 1，即 x02，与假设 x00 矛盾，故方程 f(x)0 没有负根x0 2x0 1 12【例题 2】证明：假设(1 a)b ，(1 b)c ，(1
9、 c)a .14 14 14 a， b， c 都是小于 1 的正数， ， ， ， 1 a b12 1 b c 12 1 c a 12从而 . 1 a b 1 b c 1 c a32但是 1 a b 1 b c 1 c a 1 a b2 1 b c2 ， 1 c a2 3 a b c a b c2 32与上式矛盾假设不成立，即原命题成立【例题 3】证明：假设过点 A 还有一条直线 b a.根据平行公理， b a， b b，与 b b A 矛盾假设不成立，原命题成立【例题 4】错因分析： a， b 不都是偶数包括的情况是： a 是偶数， b 是奇数； a 是奇数； b 是偶数； a， b 都不是偶
10、数显然，否定的结论并不是结论的对立面，所以不正确，题目中4“a， b 都不是偶数”指“ a， b 都是奇数” 正解： a， b 不都是奇数随堂练习巩固1D2B “大于”的否定是“不大于” ，即“小于”或“等于” 3D 按定义，若 M 是 N 的子集，则集合 M 的任一个元素都是集合 N 的元素所以，要使 M 不是 N 的子集，只需存在 x0 M 但 x0 N.选 D.4 假设 a， b， c 都小于 ，则 a b c1.13 13故 a， b， c 中至少有一个不小于 .135 a， b 不全为 0(a， b 为实数) “ a， b 全为 0”即“ a0 且 b0” ，它的否定为“a0 或 b0” ，即“ a， b 不全为 0”
