1、19.6 抛物线及其性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.抛物线的定义及其标准方程 掌握2017课标全国,16;2016课标全国,10;2016四川,8;2016浙江,9;2015陕西,14;2014湖南,15;2013广东,20选择题解答题 2.抛物线的几何性质 掌握2017课标全国,10;2016天津,14;2015浙江,5;2014上海,3;2013北京,7选择题解答题 3.直线与抛物线的位置关系掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握 2017北京,18;2016江苏,22;2014大纲全国,21;2014课标,10 选择题解答题 分析解读 1.熟
2、练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.五年高考考点一 抛物线的定义及其标准方程1.(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2 B.4C.6 D.8答案 B2.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物
3、线y 2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B.C. D.1答案 C3.(2017课标全国,16,5分)已知F是抛物线C:y 2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= . 答案 64.(2016浙江,9,4分)若抛物线y 2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 . 答案 9教师用书专用(58)5.(2015陕西,14,5分)若抛物线y 2=2px(p0)的准线经过双曲线x 2-y2=1的一个焦点,则p= . 答案 26.(2014湖南,15,5分)如图,正方形
4、ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则= . 2答案 1+7.(2013广东,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x 0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.解析 (1)依题意,设抛物线C的方程为x 2=4cy,由题意易知=,且结合c0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x 2=4y.(2)抛物线C的方程为x 2=4y,即y=x
5、 2,求导得y=x.设A(x 1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x 1,x2,所以切线PA的方程为y-y 1=(x-x1),即y=x-+y 1,即x 1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x 2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x 0,y0),所以x 1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x 1,y1),(x2,y2)为方程x 0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x 0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|BF|=(y 1+1)(y2+1)=y
6、1y2+(y1+y2)+1,联立方程消去x整理得y 2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|BF|=y 1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x 0,y0)在直线l上,所以x 0=y0+2,所以+-2y 0+1=2+2y0+5=2+.所以当y 0=-时,|AF|BF|取得最小值,且最小值为.8.(2013湖南,21,13分)过抛物线E:x 2=2py(p0)的焦点F作斜率分别为k 1,k2的两条不同直线l 1,l2,且k 1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l 2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N
7、(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 10,k20,证明:0,k20,k1k 2,所以00,所以点M到直线l的距离d=.故当k 1=-时,d取最小值.由题设知=,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x 2=16y.考点二 抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y 2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是( )A. B.C. D.答案 A2.(2013四川,6,5分)抛物线y 2=4x的焦点到双曲线x 2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.答案 B3.(2
8、016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值为 . 答案 教师用书专用(45)4.(2013北京,7,5分)直线l过抛物线C:x 2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.答案 C5.(2013江西,14,5分)抛物线x 2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p= . 答案 6考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C
9、:y 2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为( )A. B. C. D.答案 D2.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y 2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.答案 D3.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y 2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.4
10、解析 (1)由抛物线C:y 2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y 2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线C的交点为M(x 1,y1),N(x2,y2).由得4k 2x2+(4k-4)x+1=0.则x 1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x 1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y 1+-2x1=0,所以y 1+=2x1.故A为线段BM的中点.教师用书专用(45)4.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知
11、直线l:x-y-2=0,抛物线C:y 2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.解析 (1)抛物线C:y 2=2px(p0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y 2=8x.(2)设P(x 1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x 0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.由消去x得y 2+2py-2pb=0.(
12、*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y 1y 2,从而=(2p) 2-4(-2pb)0,化简得p+2b0.方程(*)的两根为y 1,2=-p,从而y 0=-p.因为M(x 0,y0)在直线l上,所以x 0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四
13、点在同一圆上,求l的方程.解析 (1)设Q(x 0,4),代入y 2=2px得x 0=.所以|PQ|=,|QF|=+x 0=+.5由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y 2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y 2=4x得y 2-4my-4=0.设A(x 1,y1),B(x2,y2),则y 1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m 2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m 2+3.将上式代入y 2=4x,并整理得y 2+y-4(2m2+3)=
14、0.设M(x 3,y3),N(x4,y4),则y 3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB| 2+|DE|2=|MN|2,即4(m 2+1)2+=.化简得m 2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 抛物线的定义及其标准方程1.(2018陕西西安一模,3)若抛物线y 2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为( )A.-2
15、B.2 C.-4 D.4答案 D2.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y 2=2px(p0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 D3.(2017皖北协作区3月联考,3)已知抛物线C:x 2=2py(p0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C的方程为( )A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y答案 C4.(2017河南百校联盟质检,4)已知抛物线C:y 2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为54,且|AF|2,则点A到原点的距离为( )A.3 B.4 C.4 D.4答
16、案 B5.(2017河南新乡二模,14)已知点A(1,y 1),B(9,y2)是抛物线y 2=2px(p0)上的两点,y 2y10,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则+y 2的值为 . 答案 10考点二 抛物线的几何性质6.(2018青海西宁模拟,8)抛物线y 2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足|=|,B是抛物线的准线与x轴的交点,则=( )A.-4 B.4C.0 D.-4或46答案 C7.(2018贵州贵阳一模,8)过点M作圆x 2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线E:y 2=2px(p0)的焦点,l与抛物线E交于A、B两点,则AB的中点到抛物线E的准线的距离为
17、( )A. B.3C. D.4答案 D8.(2017江西红色七校一联,7)已知抛物线y=x 2和y=-x2+5所围成的封闭曲线如图所示,给定点A(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A对称,则实数a的取值范围是( )A.(1,3) B.(2,4)C. D.答案 D9.(2017江西九校联考,14)已知过抛物线y 2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|= . 答案 2考点三 直线与抛物线的位置关系10.(2018河南安阳模拟,7)已知点A(-1,-2)在抛物线C:y 2=2px(p0)的准线上,记C的焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与抛物
18、线交于M,N两点,则线段MN的长为( )A.4 B.2 C.2 D.1答案 A11.(2018四川南充模拟,7)如图,过抛物线x 2=2py(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=4+2,则p=( )A.1 B.2 C. D.3答案 B12.(2017广东汕头一模,11)过抛物线C:x 2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线的斜率为1,则|AF|=( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A13.(人教A选21,二,2-4A,5,变式)过抛物线y 2=2px(p0)的焦点F的一条直线与双曲线x 2-=1的
19、一条渐近线平行,并交抛物线于A、B两点,若|AF|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为( )A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=x答案 AB组 20162018年模拟提升题组(满分:40分 时间:40分钟)7一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018河南开封一模,10)抛物线M:y 2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PAPF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:2.24)( )A. B. C. D.答案 D2.(2017山西五校3月联考,11)已知抛物线C:y 2=2px(p0)上一点(5,m)到焦点的距离为6
20、,P、Q分别为抛物线C与圆M:(x-6) 2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为( )A.2- B.2-1 C.1- D.-1答案 A二、填空题(每小题5分,共15分)3.(2017河北唐山调研,15)已知抛物线x 2=4y与圆C:(x-1) 2+(y-2)2=r2(r0)有公共点P,若抛物线在P点处的切线与圆C也相切,则r= . 答案 4.(2017河南商丘模拟,16)如图所示,已知抛物线y 2=2px(p0)的焦点恰好是椭圆+=1(ab0)的右焦点F,且两曲线交点的连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为 . 答案 -15.(2017湖北孝感模拟,16)已知抛物
21、线x 2=4py(p0)的焦点为F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若+(+)=-1-5p 2,则p的值为 . 答案 三、解答题(共15分)6.(2018辽宁大连模拟,20)如图,已知过抛物线E:x 2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l 1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),FAD=FDA,经过点C作抛物线E的切线为l 2.(1)求证:l 1l 2;(2)求三角形ABC面积的最小值.解析 (1)证明:抛物线E:x 2=4y的焦点为F(0,1),且直线AF的斜率一定存在,故设AF的方程为y=kx+1.设
22、A(x 1,y1),C(x2,y2)(不妨设x 20),由得x 2-4kx-4=0x1+x2=4k,x1x2=-4,FAD=FDA,|AF|=|DF|,y 1+=yD-1,y D=y1+2.直线l 1的斜率k 1=,x 1x2=-4,k 1=x2,又y=x,过C(x 2,y2)的切线斜率k 2=x2.即k 1=k2,l 1l 2.(2)由(1)得直线l 1的斜率为x 2,故直线l 1的方程为y=x 2x+2,联立得x 2-2x2x-8=0,8x 1+xB=2x2,x1xB=-(+8).|AB|=2,点C到直线l 1的距离d=,三角形ABC的面积S=|AB|d=(x 2-x1)3.由(1)可得x
23、 2-x1=4,当k=0时,(x 2-x1)min=4,当k=0时,三角形ABC的面积S=(x 2-x1)3取到最小值,S min=43=16.C组 20162018年模拟方法题组方法1 求抛物线的标准方程的方法1.(2018广西钦州模拟,6)已知抛物线C:y 2=2px(p0)的焦点为F,点M(x 0,2)是抛物线C上一点,圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A,若=2,则p等于( )A.1 B.2 C.2 D.4答案 B2.(2017江西赣州二模,4)抛物线C:y 2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p
24、的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B3.(2017福建福州模拟,14)函数y=a x-1(a0且a1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是 . 答案 y 2=x方法2 抛物线定义的应用策略4.(2018湖南长沙模拟,7)已知点A(3,0),过抛物线y 2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,若|PB|=|PA|,则点P的横坐标为( )A.1 B. C.2 D.答案 C5.(2018浙江温州模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=( )A.4 B.4或-4 C.-2 D.-2或2答案 D
25、6.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x 2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为 . 答案 7.(2017福建四地六校4月模拟,15)已知抛物线C:y 2=4x的焦点为F,直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=6,若AB的垂直平分线交x轴于P点,则P点的坐标为 . 答案 (4,0)8.(2016陕西西安模拟,13)如图,点F是抛物线y 2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是 . 答案 (8,12)9方法3 解决直线与抛物线位置
26、关系问题的方法9.(2018广东汕头一模,9)过抛物线C:x 2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,过点C(2,0)的直线与抛物线y 2=4x相交于A、B两点,设A(x 1,y1),B(x2,y2).(1)求证:y 1y2为定值;(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线的方程和弦长,如果不存在,说明理由.解析 (1)证明:设直线AB的方程为my=x-2.由得y 2-4my-8=0,y 1y2=-8,为定值.(2)存在.设存在直线x=a满足条件.设AC的中点为E,则E,|AC|=,因此以AC为直径的圆的半径r=|AC|=,点E到直线x=a的距离d=,所以所截弦长为2=2=.当1-a=0,即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.
