1、16.3 等比数列及其前n项和考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.等比数列及其性质 理解2017课标全国,3;2016课标全国,15;2015课标,4选择题填空题解答题2.等比数列前n项和公式理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;了解等比数列与指数函数的关系掌握 2017江苏,9;2014课标,17选择题填空题解答题分析解读 1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点
2、.五年高考考点一 等比数列及其性质1.(2017课标全国,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏答案 B2.(2016天津,5,5分)设a n是首项为正数的等比数列,公比为q,则“qa1a2an的最大正整数n的值为 . 答案 12考点二 等比数列前n项和公式1.(2013课标全国,3,5分)等比数列a n的前n项和为S n,已知S 3=a2+10a1,a5=9,则a 1=( )A
3、. B.-C. D.-答案 C2.(2017江苏,9,5分)等比数列a n的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S 3=,S6=,则a 8= . 答案 323.(2015安徽,14,5分)已知数列a n是递增的等比数列,a 1+a4=9,a2a3=8,则数列a n的前n项和等于 . 答案 2 n-14.(2016四川,19,12分)已知数列a n的首项为1,S n为数列a n的前n项和,S n+1=qSn+1,其中q0,nN *.(1)若2a 2,a3,a2+2成等差数列,求数列a n的通项公式;(2)设双曲线x 2-=1的离心率为e n,且e 2=,证明:e 1+e2+en.解析 (1)由
4、已知,S n+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到a n+2=qan+1,n1.又由S 2=qS1+1得到a 2=qa1,故a n+1=qan对所有n1都成立.所以,数列a n是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=qn-1.由2a 2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.所以a n=2n-1(nN *).(2)由(1)可知,a n=qn-1.所以双曲线x 2-=1的离心率e n=.由e 2=,解得q=.因为1+q 2(k-1)q2(k-1),所以q k-1(kN *).于是e 1+
5、e2+en1+q+qn-1=,故e 1+e2+en.疑难突破 由(1)可得e n=,因为不等式左边是e 1+e2+en,直接求和不行,利用放缩法得e n=qn-1,从而得e 1+e2+enq0+q1+qn-1,化简即可. 评析 3本题涉及的知识点比较多,由递推思想推出数列a n是等比数列,由等差中项求出q,由放缩法证明不等式成立.综合性较强.5.(2014课标,17,12分)已知数列a n满足a 1=1,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求a n的通项公式;(2)证明+1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即a n=3n-1
6、,所以a n=(2)因为a nbn=log3an,所以b 1=,当n1时,b n=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T 1=b1=;当n1时,Tn=b1+b2+b3+bn=+13-1+23-2+(n-1)31-n,所以3T n=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得2Tn=+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=+-(n-1)31-n=-,所以T n=-.经检验,n=1时也适合.综上可得T n=-.9.(2015江苏,20,16分)设a 1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(1)证明:,依次构成等比数列;(2)是否存在
7、a 1,d,使得a 1,依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a 1,d及正整数n,k,使得,依次构成等比数列?并说明理由.解析 (1)证明:因为=2 d(n=1,2,3)是同一个常数,所以,依次构成等比数列.(2)令a 1+d=a,则a 1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0).假设存在a 1,d,使得a 1,依次构成等比数列,则a 4=(a-d)(a+d)3,且(a+d) 6=a2(a+2d)4.4令t=,则1=(1-t)(1+t) 3,且(1+t) 6=(1+2t)4,化简得t 3+2t2-2=0(*),且t 2=t+1.将t 2=t+1代入(
8、*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a 1,d,使得a 1,依次构成等比数列.(3)假设存在a 1,d及正整数n,k,使得,依次构成等比数列,则(a 1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),且(a 1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k).分别在两个等式的两边同除以及,并令t=,则(1+2t) n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t) n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+
9、2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化简得2kln(1+2t)-ln(1+t)=n2ln(1+t)-ln(1+2t),且3kln(1+3t)-ln(1+t)=n3ln(1+t)-ln(1+3t).再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(*).令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),则g(t)=.令(t)=(1+3t) 2ln(1+3t)-3(1+2t
10、)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则(t)=6(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t).令 1(t)=(t),则 1(t)=63ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t).令 2(t)= 1(t),则 2(t)=0.由g(0)=(0)= 1(0)= 2(0)=0, 2(t)0,知 2(t), 1(t),(t),g(t)在和(0,+)上均单调.故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(*)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a 1,d及正整数n,k,使得,依次构成等比数列.10.(2013天津,19,14分)已知首项为的
11、等比数列a n不是递减数列,其前n项和为S n(nN *),且S 3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)设T n=Sn-(nN *),求数列T n的最大项的值与最小项的值.解析 (1)设等比数列a n的公比为q,因为S 3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S 5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a 5=a3,于是q 2=.又a n不是递减数列且a 1=,所以q=-.故等比数列a n的通项公式为a n=(-1)n-1.(2)由(1)得S n=1-=当n为正奇数时,S n随n的增大而减小,所以1S n-S 2-=-=-.综上,对于
12、nN *,总有-S n-.所以数列T n最大项的值为,最小项的值为-.11.(2013湖北,18,12分)已知等比数列a n满足:|a 2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列a n的通项公式;(2)是否存在正整数m,使得+1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.解析 (1)设等比数列a n的公比为q,则由已知可得解得或5故a n=3n-1,或a n=-5(-1)n-1.(2)若a n=3n-1,则=,故是首项为,公比为的等比数列,从而=1C.a10,00,q1答案 A4.(2016福建厦门一中期中,4)已知数列a n为等比数列,且a 1a13+2=4,则tan(a 2a12
13、)的值为( )A. B.-C. D.-答案 A考点二 等比数列前n项和公式5.(2017河北衡水中学高三上学期第三次调研,4)等比数列a n的前n项和为S n,已知a 2a5=2a3,且a 4与2a 7的等差中项为,则S 5=( )A.29 B.31 C.33 D.36答案 B6.(2018江西新余第一中学四模,14)等比数列a n的前n项和为S n,Sn=b(-2)n-1-a,则= . 答案 -7.(2017江西吉安一中期中,15)已知正项等比数列a n满足log 2an+2-log2an=2,且a 3=8,则数列a n的前n项和S n= . 答案 2 n+1-2B组 20162018年模拟
14、提升题组(满分:50分 时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018湖北荆州一模,9)已知数列a n是公差不为0的等差数列,且a 1,a3,a7为等比数列b n的连续三项,则的值为( )A. B.4 C.2 D.6答案 A2.(2017河南洛阳期中,11)已知数列S n为等比数列a n的前n项和,S 8=2,S24=14,则S 2 016=( )A.2252-2 B.2253-2C.21 008-2 D.22 016-2答案 B3.(2017江西南昌摸底考试,11)设等比数列a n的公比为q,其前n项之积为T n,并且满足条件:a 11,a2 016a2 0171,0;(3
15、)T2 016是数列T n中的最大项;(4)使T n1成立的最大自然数等于4 031,其中正确的结论为( )A.(2)(3) B.(1)(3)C.(1)(4) D.(2)(4)答案 B4.(2016江西名校学术联盟调研三,7)已知等比数列a n的各项都为正数,其前n项和为S n,且a 1+a7=9,a4=2,则S 8=( )A.15(1+) B.15C.15(-1)或15 D.15(1+)或15答案 D二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2018广东广州第一次调研,14)在各项都为正数的等比数列a n中,若a 2 018=,则+的最小值为 . 答案 46.(2018湖北黄石第三中学阶段性检
16、测,15)下表给出一个“三角形数阵”:,已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为ai-j,则(1)a 8-3= ; (2)前20行中这个数共出现了 次. 答案 (1) (2)47.(2017江西仿真模拟,16)已知数列a n的前n项和为S n,且满足:a 1=1,a2=2,Sn+1=an+2-an+1(nN *),若不等式S nan恒成立,则实数的取值范围是 . 答案 1三、解答题(共15分)8.(2017湖南郴州第一次教学质量检测,19)已知数列a n的首项a 1=1,且a n+1=(nN *).(1)证明:数列是等比数列;(2)若
17、b n=-,求数列b n的前n项和S n.解析 (1)证明:a n+1=,=+,-=.又a 1=1,-=,数列是以为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知,-=,即=+.b n=-=.于是S n=+,Sn=+,7-得,S n=+-=-=1-,则S n=2-=2-,数列b n的前n项和S n=2-.C组 20162018年模拟方法题组方法1 等比数列基本运算的解题技巧1.(2017福建漳州八校2月联考,3)等比数列a n的前n项和为S n,若S 3=2,S6=18,则等于( )A.-3 B.5 C.-31 D.33答案 D2.(2017山西运城康杰中学模拟(2),7)已知a n是各项均为正数的
18、等比数列(公比q1),b n=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,则a n=( )A.22n-3 B.25-2nC.22n-5 D.22n-3或2 5-2n答案 A方法2 等比数列的判定与证明3.(2016河南洛阳期中模拟,5)下列结论正确的是( )A.若数列a n的前n项和S n=n2+n+1,则a n为等差数列B.若数列a n的前n项和S n=2n-2,则a n为等比数列C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则,也可能构成等差数列D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则,一定构成等比数列答案 D4.(2018湖北八校第一次联考,17)已知数列a n满足a 1=1,a2=4,an+2=4an+1-4an.(1)求证:a n+1-2an为等比数列;(2)求数列a n的通项公式.解析 (1)证明:由a n+2=4an+1-4an得a n+2-2an+1=2an+1-4an=2(an+1-2an),=2,又a 2-2a1=20,a n+1-2an是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2an=2n-1(a2-2a1)=2n,-=,是首项为,公差为的等差数列,=,a n=n2n-1.
