1、1专题 04 函数性质与应用 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.函数的单调性及最值理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.函数的奇偶性 了解函数奇偶性的含义,会判断简单的函数的奇偶性3.函数的周期性 了解函数周期性的含义选择题、填空题、 分析解读1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定义或导数判断或证明函数的单调性等.2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的重视.3.本节内容在高考中分值为 5分左右,属于中档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1 【2018
2、 年理数全国卷 II】已知 是定义域为 的奇函数，满足 若，则 A. B. 0 C. 2 D. 502【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，所以,因此，因为，所以 ， ，从而，选 C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解2 【2018 年江苏卷】函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为_【答案】点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现
3、的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 3.【2018 年理新课标 I卷】已知函数 ，则 的最小值是_【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得 ，从而确定出函数的单调区间，减 区间 为 ，增区间为 ，确定出函数的最小值点，从而求得3代入求得函数的最小值.详解： ，所以当 时函数单调减，当 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ，函数的增区间为，所以当 时，函数 取得最小值，此时 ，所以 ，故答案是 .点睛：该题考查的是有关应用导数研究函
4、数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.2017年高考全景展示1.【2017 天津，理 6】已知奇函数 ()fx在 R上是增函数， ()gxf.若 2(log5.1)a， 0.8(2)bg，(3)cg，则 a， b， c的大小关系为（ ）（A） （B） a（C） bac（D） bca【答案】 C 【解析】因为 ()fx是奇函数且在 R上是增函数，所以在 0x时， ()0fx，从而 ()g是 上的偶函数，且在 0,)上是增函数，
5、22lo5.1(lg.)a，0.8，又 48，则 2lo5.13，所以即 0.82log5.13，.2()(l.)(3g，所以 bac，故选 C【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.2.【2017 课标 3，理 15】设函数 10()2xf， ， ， 则满足 1()2fx的 x的取值范围是_.4【答案】 1,4写成分段函数的形式： 132,012,xxgxff ，函数 gx 在区间
6、1,0,2 三段区间内均单调递增，且： 0 011,4 ，据此 x的取值范围是： 1,4 .【考点】 分段函数；分类讨论的思想【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3.【2017 山东，理 15】若函数 xef（ 2.718 是自然对数的底数）在 fx的定义域上单调递增，则称函数 fx具有 M性质. 下列函数中所有具有
7、 M性质的函数的序号为 . 2f 3xf 3fx 2fx5【答案】 2xxef，令 2xge，则 22 10xxxgee，在 R上单调递增，故 2f具有 性质【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性.【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可2.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数 f( x)；(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式
8、f( x)0 或 f( x)0 的解集(4)由 f( x)0( f( x)0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间3.由函数 f(x)在( a， b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 f( x)0(或 f( x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到4.【2017 浙江，17】已知 R，函数 axf|4|)(在区间1，4上的最大值是 5，则 a的取值范围是_ 【答案】 9(,2【解析】6试题分析： 41,5xx，分类讨论：当 5a时， 42faax，函数的最大值 924,，舍去；当 时， 5fxx，此时命题成立；当 5a时， max4,a
9、a ，则：4或： 5，解得： 92或 综上可得，实数 a的取值范围是 9,2【考点】基本不等式、函数最值【名师点睛】本题利用基本不等式，由 41,5xx，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：当 5a； 4； a，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论5.【2017 江苏，11】已知函数 31()2exfx, 其中 e是自然对数的底数. 若 2(1)()0faf ,则实数 a的取值范围是 .【答案】 1,2 【解析】因为 31()2e()xfxf，所以函数 ()fx是奇函数，因为 2)e0xfx，所以数 在 R上单调递增，又 1)0(f
10、a，即 2()(1aff，所以 21a，即 210a，解得 2，故实数 的取值范围为 ,.【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 ()()fgxfh的形式，然后根据函数的单调性去掉“ f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内2016年高考全景展示71.【2016 年高考北京理数】已知 x， yR，且 0xy，则（ ）A. 10xyB.sin0 C. 1()2D.ln0xy【答案】C考点： 函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减)函数的和仍为增
11、(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.【2016 高考新课标 2理数】已知函数 ()fxR满足 ()2()fxf，若函数 1xy与()yfx图像的交点为 12(,),(),mxyy则 1()iiiy（ ）（A）0 （B） （C） 2 （D） 4m【答案】C【解析】试题分析：由于 2fxf，不妨设 1fx，与函数 1xy的交点为1,2,0，故 121y，故选 C.考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数 ()fx， D，满足 x，恒有 ()()faxfb，那么函
12、数的图象有对称轴 2abx；如果函数 ， ，满足 ，恒有 x，那么函数的图象有对称中心.83. 【2016 高考山东理数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0时， 3()1fx ；当 1x 时，()(fxf；当 12x 时， 1()2ff .则 f(6)= （ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等
13、.4.【2016 年高考四川理数】已知函数 ()fx是定义在 R上的周期为 2的奇函数，当 0 x1 时，()4xf，则 5()(12ff= .【答案】-2【解析】试题分析：因为函数 ()fx是定义在 R上周期为 2的奇函数，所以(1)(,12(1)ff f，所以 ()1f，即 ()0f，25)()42ffff，所以 52ff.考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把 5()2f和 (1f，利用奇偶性与周期性化为 (0,1)上的函数值即可5.【2015 高考新课标 1，理 13】若函数 f(x)= 2ln)ax为偶函数，则 a= 【答案
14、】1【解析】由题知 2ln()yxa是奇函数，所以 22l()ln()x =92ln()ln0axa，解得 =1.【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在 x=0处有意义，常用 f(x)=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.6.【2016 高考天津理数】已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递增.若实数 a足1(2)(2)aff，则 a的取值范围是_.【答案】 3,考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数” 向“形”的转化
