1、- 1 -函数的最大值与最小值(一)一、教学 目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.二、教学重点：求函数的最值 及求实际问题的最值.教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把 实际问题“数学化” ，即建立数学模型.三、教学过程：（一）复习引入1、问题 1：观察函数 f(x)在区间 a， b上的图象，找出函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最小值2、问 题 2：观察函数 f(x)在区间 a， b上 的图象，找出函数在此区间上的极大值、极小值和最大值、最
2、小值（ 见教材 P30 面图 1314 与15）3、思考： 极值与最值有何 关系？ 最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？ 4、求函数 y 43x在区间0, 3上的最大值与 最小值（二）讲授新课1、函数的最大值与最小值一般地，设 y f(x)是定义在 a， b上的函数，在 a， b上 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。2、求 y f(x)在 a， b上的最大值与最小值，可分为两步进行： 求 y f(x)在( a， b)内的极值； 将 y f(x)的各极值与 f(a)， f(b)比较，其
3、中最大 的一个为最大值，最小的一个为最小值例 1求函数 y x42 x25 在区间2, 2上的最大值与最小值解： y4 x34 x4 x(x1)( x1)令 y0，即 4 x(x1)( x1)0，解得 x1，0，1当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表：故 当 x2 时 ，函数有最大值 13，当 x1 时，函数有最小值 4练习例 2求函数 y 536423x在区间-2, 上的最大值与最小值13 2极 小 值 4y 0 ( 1, 0) 1( 2, 1)x 极 小 值 50(0, 1) 13极 小 值 4y 0 2(1, )1x极 小 值 y xbx2y=f(x)Oax1- 2 -例 3.
4、求函数 4,0,2)(xxf 的最大值和最小值.例 4. 求函数 2,1)ln2的最大值和最小值.（三）课堂小结已知函数解析式，确定可导函数在区间 a, b上最值的方法；（四）课后作业14 生活中的优化问题（一）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大 值和最小值.-面积、容积最大（最小）问题教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与 最小值教学过程：例 1 在边长为 60cm 的正方形铁皮 的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖
5、的方底箱子，箱底 边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为 xcm，则箱 高 ，260xh箱子容积 V2)(32(0 x60)2360)(xx,026)(令解得 (不合题意，舍去) ,4x并求得 .016)4(V由题意知，当 x 过小(接 近 0)或过大(接近 60)时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值答：当 x40 cm 时，箱子容积最大，最 大容积是 16 000cm3在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f (x)0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以 知道这就是最大（小）值 这里所说 的也适用于开区间或者无穷区间求最
6、大（最小）值应用题的一般方法： 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式； 确定函数的定义域，并求出极值点； 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点练习1把长为 60 cm 的铁丝围成矩形， 长、宽、高各为多少时，面积最大？2把长为 100 cm 的铁丝分成两段，各围 成正方形 ，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？6060- 3 -变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？练习 2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的
7、最大容积例 2教材 P34 面的例 1。课后作业1. 阅读 教科书 P.342. 习案作业十一3. 14 生活中的优化问题（二）4. 教学目标：掌握 利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小 值.-用材最省的问 题-5. 教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤6. 教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值7. 教学过程：8. 例 1 圆柱形金属饮料 罐的容 积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？9. 解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则 表面积 S2 Rh2 R21
8、0. ,2RV由 ,2V得11.则 22)(S.2R12. ,04)(2VR令 ,3V解 得 13.从而 2h233,23 即 h2 R14.因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材 料最省15.16.17.18.例 2 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C1004 q，价格 p 与产量 q 的19.函数关系式为 .8125p求产量 q 为何值时，利润 L 最大20.分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润hR- 4 -21.解： 2815)2
9、(qqpR收 入22. )40()815(2CL利 润 )20(102q23. ， 即令 40q 求得唯一的极值点 q8424.因 为 L 只有一个 极值，所以它是最大值25.答：产量为 84 时，利润 L 最大26.练习 1.某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出(200 x)件，应如何定价才能使利润最大？27.28.例 3教材 P34 面的例 229.课后作业4we14 生活中的优化问题（三）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小 值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-用材最省的问题-教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法
10、求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的 理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值 与最小值教学过程：例 1 。教材 P35 面的例 3例 2某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a 元（3 a5）的管理费，预计当每件 产品的售价为 x 元（ 9 a11）时，一年的销售量 为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值 Q(a).例 3请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的
11、正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1为 xm，则 4x由题设可得正六棱锥底面边长为： 2228)(3， （单位： m）故底面正六边形的面积为： 462)x= )8(32x， （单 位 ： 2）帐篷的体 积为： )8(3V2x）（ 1)(3)16(33x求导得 1 x）（ 。OO1- 5 -令 0V）（ x，解得 2x（不合题意，舍去） ， 2x，当 21时， 0）（ ， ）（ xV为增函数；当 4时， ）（ ， ）（ 为减函数。当 时， ）（ 最大。答：当 OO1为 m时，帐篷的体积最大，最大体积为 316m。例 4水库的需水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系为：.1205)413(04()2 tttetVt， ，（1）该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期，以 i-1ti 表示第 i 月份（ i=1，2，12） ，问一年内哪几个月 份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e=2.7 计算）.课后 作业
