1、1考点强化练 6 一元二次方程及其应用基础达标一、选择题1.关于 x 的方程 ax2-3x+3=0 是一元二次方程,则 a 的取值范围是( )A.a0 B.a0C.a=1 D.a0答案 B2.(2018 四川宜宾)一元二次方程 x2-2x=0 的两根分别为 x1和 x2,则 x1x2为( )A.-2 B.1 C.2 D.0答案 D3.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x-(m-2)=0 有实数根,则 m 的取值范围是( )A.m1 B.m3,x2=2-,故有两个正根,且有一根大于 3.故选 D.8.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯 55 次,则参加酒会的人数为( )A.9 B
2、.10 C.11 D.12答案 C解析 设参加酒会的人数为 x,根据题意得: x(x-1)=55,整理得: x2-x-110=0,解得: x1=11,x2=-10(不合题意,舍去) .故参加酒会的人数为 11 人 .二、填空题9.方程 3x(x-1)=2(x-1)的根是 . 3答案 x1=1,x2=10.关于 x 的一元二次方程( k-1)x2+6x+k2-k=0 的一个根是 0,则 k 的值是 . 答案 011.若方程 x2-4x+1=0 的两根是 x1,x2,则 x1(1+x2)+x2的值为 . 答案 5解析 根据题意得 x1+x2=4,x1x2=1,所以 x1(1+x2)+x2=x1+x
3、1x2+x2=x1+x2+x1x2=4+1=5.12.经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元,设该药品平均每次降价的百分率为 x,根据题意可列方程是 . 答案 50(1-x)2=32三、解答题13.解方程:(1)(x-1)2+2x(x-1)=0;(2)x2-6x-6=0;(3)6 000(1-x)2=4 860;(4)(10+x)(50-x)=800.解 (1)(x-1)2+2x(x-1)=0,(x-1)(x-1+2x)=0,(x-1)(3x-1)=0,x 1=1,x2=.(2)x2-6x=6,x2-6x+9=15,(x-3)2=15,x-3=,x 1=3+,x2=3
4、-.(3)6 000(1-x)2=4 860,(1-x)2=0.81,1-x=0.9,x 1=1.9,x2=0.1.(4)(10+x)(50-x)=800,x2-40x+300=0,(x-10)(x-30)=0,x 1=10,x2=30.14.4如图,一块长 5 m、宽 4 m 的地毯,为了美观,设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的 .(1)求配色条纹的宽度;(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价 200 元,其余部分每平方米的造价为 100 元,求地毯的总造价 .解 (1)设配色条纹的宽度为 x m,依题意得 2x5+2x(4-2x)=
5、54.解得 x1=(不符合题意,舍去),x2=.答:配色条纹的宽度为 m .(2)配色条纹部分造价为 54200=850(元),其余部分造价为 1- 54100=1 575(元) .则总造价为 850+1 575=2 425(元) .所以地毯的总造价是 2 425 元 .导学号 1381403215.如图,某工人师傅要在一个面积为 15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面,且要使大正方形的边长比小正方形的边长大 1 m.求裁剪后剩下的阴影部分的面积 .解 设大正方形的边长为 x m,则小正方形的边长为( x-1) m.根据题意,得 x(2x-1)=15,整理得:2 x2-
6、x-15=0,解得 x1=3,x2=-(不合题意舍去) .故小正方形的边长为 3-1=2(m),裁剪后剩下的阴影部分的面积 =15-22-32=2(m2).能力提升一、选择题1.设 x1,x2是一元二次方程 x2-2x-3=0 的两根,则 =( )A.6 B.8 C.10 D.12答案 C5解析 一元二次方程 x2-2x-3=0 的两根是 x1,x2,x 1+x2=2,x1x2=-3,= (x1+x2)2-2x1x2=22-2(-3)=10.2.关于 x 的一元二次方程: x2-4x-m2=0 有两个实数根 x1,x2,则 m2 =( )A. B.- C.4 D.-4答案 D解析 x 2-4x
7、-m2=0 有两个实数根 x1,x2,m 2 =m2=m2=-4.3.若关于 x 的一元二次方程( k-1)x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( )A.k5答案 B解析 关于 x 的一元二次方程( k-1)x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根,解得 k5,且 k1 .二、解答题4.(2018 辽宁沈阳)某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是 361 万元 .假设该公司 2,3,4 月每个月生产成本的下降率都相同 .(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测 4 月份该公司的生产成本 .解 (1)设每
8、个月生产成本的下降率为 x,根据题意得:400(1 -x)2=361,6解得: x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去) .答:每个月生产成本的下降率为 5%.(2)361(1-5%)=342.95(万元) .答:预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元 .导学号 138140335.如图所示, A,B,C,D 是矩形的四个顶点, AB=16 cm,AD=6 cm,动点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,点 P以 3 cm/s 的速度向点 B 移动,一直到达点 B 为止,点 Q 以 2 cm/s 的速度向点 D 移动 .(1)P,Q 两点从出发开始到几秒时,四边形
9、PBCQ 的面积为 33 cm2?(2)P,Q 两点从出发开始到几秒时,点 P 和点 Q 的距离第一次是 10 cm?解 (1)设 P,Q 两点从出发开始到 x s 时,四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2.根据题意,得 PB=AB-AP=(16-3x) cm,CQ=2x cm,故(2 x+16-3x)6=33,解得 x=5.(2)设 P,Q 两点从出发开始到 y s 时,点 P 和点 Q 的距离第一次是 10 cm.如图所示,过点 Q 作 QM AB 于点 M,则 BM=CQ=2y cm,故 PM=(16-5y) cm.在 Rt PMQ 中,有PM2+QM2=PQ2, (16-5y)2+62=102.y 1=,y2=.7 所求的是距离第一次为 10 cm 时所用的时间, y=.
