1、1单元检测十二 概率、随机变量及其分布(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分别为 X， Y，则 log2XY1 的概率为( )A. B. C. D.1
2、6 536 112 12答案 C解析 由题意知 X， Y 应满足 Y2 X，所以满足题意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三种，所以概率为 .336 1122一袋中装有大小相同，编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( )A. B. C. D.132 164 332 364答案 D解析 从中有放回地取 2 次，所取号码的情况共有 8864(种)，其中编号和不小于 15 的有 3 种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共 3 种由古典概型概率公式可得所求概率为 P .3643已知 ABC
3、D 为长方形， AB2， BC1， O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( )A. B1 C. D1 4 4 8 8答案 B2解析 根据几何概型得，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率 P 1dD 圆 外 部 分 的 面 积矩 形 的 面 积 2 221. 44欧阳修卖油翁中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” 卖油翁的技艺让人叹为观止设铜钱是直径为 4cm 的圆，它中间有边长为 1cm 的正方形孔若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为( )A. B. C.
4、D.14 14 116 116答案 A解析 由题意得，所求的概率为 ，故选 A.12 22 145一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 09 中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率为( )A. B. C. D.25 310 15 110答案 C解析 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 09 中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率为：P .110 910 19 156.如图所示，在圆心角为 90的扇形 AOB 中，以
5、圆心 O 作为起点作射线 OC， OD，则使 AOC BOD45的概率为( )A. B.12 14C. D.18 116答案 C解析 设 AOC x， BOD y，把( x， y)看作坐标平面上的点，则试验的全部结果所构成的区域为 ( x， y)|0 x90,0 y90，若事件 A 表示 AOC BOD45，则其所构成的区域为A( x， y)|x y0)，若 在(80,120)内的概率为 0.7，则其速度超过 120 的概率为( )A0.05B0.1C0.15D0.2答案 C解析 由题意可得， 100，且 P(80 120)0.7，则 P( 80 或 120)1 P(80 120)10.70.
6、3. P( 120) P( 80 或 120)0.15.12则他速度超过 120 的概率为 0.15.9某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A0.4B0.6C0.75D0.8答案 D解析 设“某一天的空气质量为优良”为事件 A, “随后一天的空气质量为优良”为事件 B，则 P(A)0.75， P(AB)0.6， P(B|A) 0.8.PABPA 0.60.7510随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)2，则 D(2X3)等于( )4X 0 2 aP 16 p 1
7、3A.2B3C4D5答案 C解析 p1 ，16 13 12E(X)0 2 a 2，则 a3，16 12 13 D(X)(02) 2 (22) 2 (32) 2 1，16 12 13 D(2X3)2 2D(X)4.11(2018黑龙江省哈尔滨市第六中学考试)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况23下，比赛进行了三局的概率为( )A. B. C. D.13 25 23 45答案 B解析 由题意，甲获得冠军的概率为 ，23 23 23 13 23 13 23 23 2027其中比赛进行了 3 局的概率为
8、 ，23 13 23 13 23 23 827所求概率为 .827 2027 2512口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列 满足：ananError! 如果 Sn为数列 的前 n 项和，那么 S73 的概率为 ( )anAC 2 5 BC 2 557(23) (23) 27(23) (13)CC 2 5 DC 2 557(13) (13) 57(13) (23)答案 B解析 据题意可知 7 次中有 5 次摸到白球，2 次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选 B.第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案
9、填在题中横线上)13若某人在打靶时连续射击 2 次，则事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是_答案 两次都未中靶14若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为 m，第二次掷得的点数为 n，则点 P(m， n)落在圆5x2 y216 内的概率是_(骰子为正方体，且六个面分别标有数字 1,2，6)答案 29解析 由题意得，基本事件总数为 36，点 P 落在圆内包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共 8 个，由古典概型概率公式可得所求概率为 .836 2915设随机变量 的分布列为 P( k) ， k 1,2,3， c 为常数，则
10、 P(0.5 2.5)ckk 1_.答案 89解析 随机变量 的分布列为 P( k) ， k 1,2,3，ckk 1 1，c2 c6 c12即 1，解得 c ，6c 2c c12 43 P(0.5 2.5) P( 1) P( 2) .c2 c6 46 43 8916某篮球运动员投中篮球的概率为 ，则该运动员“投篮 3 次至多投中 1 次”的概率是23_(结果用分数表示)答案 727解析 “投篮 3 次至多投中 1 次”包括只投中一次，和全部没有投中，故“投篮 3 次至多投中 1 次”的概率是 C 2 C 3 .23 (13) 23 3 (13) 727三、解答题(本题共 4 小题，共 50 分
11、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是 ， .1325 12(1)现 3 人各投篮 1 次，求 3 人至少一人投进的概率；(2)用 表示乙投篮 4 次的进球数，求随机变量 的分布列及均值 E( )和方差 D( )解 (1)记“甲投篮 1 次投进”为事件 A， “乙投篮 1 次投进”为事件 B， “丙投篮 1 次投进”为事件C， “至少一人投进”为事件 D.P(D)1 P( )P( )P( ) .A B C456(2)随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4，且 B ，(4，25)所以， P( k)C k 4 k (k0,1,2,3,4
12、)，k4(25)(35)故随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4P 81625 216625 216625 96625 16625E( )0 1 2 3 4 ，81625 216625 216625 96625 16625 85D( ) .242518(12 分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用 x 表示(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少 1，求 x 的值及乙组同学投篮命中次数的方差；(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于 10 的同学中，各随机选取 1 名，求这 2 名同学的投
13、篮命中次数之和为 16 的概率解 (1)依题意得 1，解得 x6， 乙 ，x 82 9 105 7 8 9 1125 x 415s2 Error!15Error! 1.76.(2)记甲组投篮命中次数低于 10 次的同学为 A1， A2， A3，他们的命中次数分别为 9,8,7.乙组投篮命中次数低于 10 次的同学为 B1， B2， B3， B4，他们的命中次数分别为 6,8,8,9.依题意，不同的选取方法有：( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A1， B4)，( A2， B1)，( A2， B2)，(A2， B3)，( A2， B4)，( A3， B1)，( A3，
14、 B2)，( A3， B3)，( A3， B4)，共 12 种设“这两名同学的投篮命中次数之和为 16”为事件 C，其中恰含有( A2， B2)，( A2， B3)，( A3， B4)，共 3 种 P(C) .312 1419(13 分)(2018武汉重点中学模拟)某校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机7时间(每月用手机时间总和)的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在0,30)，第二类的时间区间在30,60)，第三类的时间区间在60,720(单位：小时)，并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导现对该校二年级 1014 名学生进行调查，恰有 14 人属
15、于第三类，这 14 名学生被学校带去政治学习由剩下的 1000 名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图.(1)求这 1000 名学生每月用手机时间的平均数；(2)利用分层抽样的方法从 1000 名选出 10 名学生代表，若从该 10 名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；(3)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续 10 个月，每个月从这 1000 名学生中随机抽取 1 名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设 X 为获奖学生人数，求 X 的均值 E(X)与方差 D(X)解 (1)平均数为50.01010150.030
16、10250.04010350.01010450.00610550.0041023.4(小时)(2)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取 10 名学生，其中 8 名为第一类学生，2 名为第二类学生，则从该 10 名学生代表中抽取 2 名学生且这两名学生不属于同一类的概率为 .C18C12C210 1645(3)由题可知，这 1000 名学生中第一类学生占 80%，则每月从 1000 名学生中随机抽取 1 名学生，是第一类学生的概率为 0.8，则连续 10 个月抽取，获奖人数 X B(10,0.8)，其均值 E(X) np100.88，方差 D(X) np(1 p)100.80.21.6.20(
17、13 分)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了 50 人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入(单位：百元)15，25)25，35)35，45)45，55)55，65) 65，75频数 5 10 15 10 5 58赞成人数 4 8 12 5 2 1(1)由以上统计数据填下面 22 列联表并问是否有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于 55百元的人数月收入低于 55百元的人数合计赞成 a_ c_不赞成 b_ d_合计(2)若对在15,25)，25,35)的被调查的人中各随机选取 2 人进行追踪调
18、查，记选中的 4 人中不赞成“楼市限购令”的人数为 ，求随机变量 的分布列及均值附： K2 .nad bc2a bc da cb dP(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解 (1)22 列联表如下：月收入不低于55 百元的人数月收入低于 55百元的人数合计赞成 a3 c29 32不赞成 b7 d11 18合计 10 40 50因为 K26.2726.635，所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异(2) 的所有可能取值为 0,1,2,3，P( 0) ，C24C25 C28C210 610 2845 84225P( 1) C14C25 C28C210 C24C25 C18C12C210 ，410 2845 610 1645 104225P( 2) C24C25 C2C210 C14C25 C18C12C2109 ，610 145 410 1645 35225P( 3) ，C14C25 C2C210 410 145 2225所以 的分布列是 0 1 2 3P 84225 104225 35225 2225所以 的均值E( )01 2 3 .104225 35225 2225 4510
