1、1考点测试 51 圆与方程高考概览高 考 在 本 考 点 中 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 、 解 答 题 ， 分 值 为 5分 或 12分 ， 中 等 难 度考纲研读1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题4初步了解用代数方法处理几何问题的思想一、基础小题1圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A x2( y2) 21 B x2( y2) 21C( x1) 2( y3) 21 D x2( y3) 21答案 A解
2、析 设圆心坐标为(0， b)，则由题意知 1，解得 b2，故圆的0 12 b 22方程为 x2( y2) 21故选 A2若点 P(1，1)为圆 C：( x3) 2 y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为( )A2 x y30 B x2 y10C x2 y30 D2 x y10答案 D解析 圆心 C(3，0)， kPC ，则 kMN2，所以弦 MN 所在直线的方程为12y12( x1)，即 2x y10故选 D3圆 O1： x2 y22 x0 与圆 O2： x2 y24 y0 的位置关系是( )A相离 B相交 C外切 D内切答案 B解析 圆 O1： x2 y22 x0 的圆心为
3、 O1(1，0)，半径 r11；圆 O2： x2 y24 y0的圆心为 O2(0，2)，半径 r22由于 10，所以原点在圆外故选 B7若圆 x2 y2 a2与圆 x2 y2 ay60 的公共弦长为 2 ，则 a 的值为( )3A2 B2 C1 D1答案 B解析 设圆 x2 y2 a2的圆心为 O，半径 r| a|，将 x2 y2 a2与 x2 y2 ay60联立，可得 a2 ay60，即公共弦所在的直线方程为 a2 ay60，原点 O 到直线a2 ay60 的距离为 ，根据勾股定理可得 a23 2，解得 a2故选 B|6a a| (6a a)8过点 M(1，2)的直线 l 与圆 C：( x3
4、) 2( y4) 225 交于 A， B 两点， C 为圆心，当 ACB 最小时，直线 l 的方程是_3答案 x y30解析 由题意知，当 ACB 最小时，圆心 C(3，4)到直线 l 的距离达到最大，此时直线l 与直线 CM 垂直，又直线 CM 的斜率为 1，所以直线 l 的斜率为 1，因此所求4 23 1 11的直线 l 的方程是 y2( x1)，即 x y30二、高考小题9(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP 面积的取值范围是( )A2，6 B4，8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2答案 A解
5、析 直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点， A(2，0)， B(0，2)，则| AB|2 2点 P 在圆( x2) 2 y22 上，圆心为(2，0)，圆心到直线 x y20 的距离 d12 ，故点 P 到直线 x y20 的距离 d2的范围为 ，3 ，则 S|2 0 2|2 2 2 2ABP |AB|d2 d22，6，故选 A12 210(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos ，sin )到直线x my20 的距离当 ， m 变化时， d 的最大值为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 cos 2 sin 2 1， P 点的轨迹是以原点为
6、圆心的单位圆，又x my20 表示过点(2，0)且斜率不为 0 的直线，如图，可得点(1，0)到直线 x2 的距离即为 d 的最大值故选 C11(2018全国卷)直线 y x1 与圆 x2 y22 y30 交于 A， B 两点，则|AB|_答案 2 2解析 根据题意，圆的方程可化为 x2( y1) 24，所以圆的圆心为(0，1)，且半4径是 2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离 d ，所以|0 1 1|12 12 2|AB|2 2 4 2 212(2018江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l： y2 x 上的第一象限内的点， B(5，0)，以 AB 为直径的圆
7、 C 与直线 l 交于另一点 D若 0，则点 A 的横坐AB CD 标为_答案 3解析 解法一：设 A(a，2 a)， a0，则 C ， a，圆 C 的方程为 x 2( y a)a 52 a 522 a2，由Error!得Error!a 524 (5 a，2 a) ，2 a 2 a24 a0， a3 或AB CD a 32 a2 2a 152a1，又 a0， a3，点 A 的横坐标为 3解法二：由题意易得 BAD45设直线 DB 的倾斜角为 ，则tan ，tan ABOtan( 45)3， kABtan ABO3 AB 的方程12为 y3( x5)，由Error!得 xA313(2016全国卷
8、)已知直线 l： mx y3 m 0 与圆 x2 y212 交于 A， B 两3点，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点若| AB|2 ，则| CD|_3答案 4解析 由题意可知直线 l 过定点(3， )，该定点在圆 x2 y212 上，不妨设点3A(3， )，由于| AB|2 ， r2 ，所以圆心到直线 AB 的距离为3 3 3d 3，又由点到直线的距离公式可得 d 3，解得 m ，所232 32|3m 3|m2 1 33以直线 l 的斜率 k m ，即直线 l 的倾斜角为 30335如图，过点 C 作 CH BD，垂足为 H，所以| CH|2 ，在 Rt CHD
9、中， HCD30，3所以| CD| 423cos3014(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中， A(12，0)， B(0，6)，点 P 在圆O： x2 y250 上若 20，则点 P 的横坐标的取值范围是_PA PB 答案 5 ，12解析 因为点 P 在圆 O： x2 y250 上，所以设 P 点坐标为( x， )解 法 一 ： 50 x2(5 x5 )2 2因为 A(12，0)， B(0，6)，所以 (12 x， )或 (12 x， )， ( x，6 )或PA 50 x2 PA 50 x2 PB 50 x2( x，6 )PB 50 x2因为 20，先取 P(x， )进行计算，PA
10、 PB 50 x2所以(12 x)( x)( )(6 )20，即 2x5 50 x2 50 x2 50 x2当 2x50，即 x 时，上式恒成立；52当 2x50，即 x 时，(2 x5) 250 x2，52解得5 x1，故 x1同理可得 P(x， )时， x550 x2又5 x5 ，所以5 x12 2 2故点 P 的横坐标的取值范围为5 ，12设 P(x， y)，解 法 二 ：则 (12 x， y)，PA 6( x，6 y)PB 20，PA PB (12 x)( x)( y)(6 y)20，即 2x y50如图，作圆 O： x2 y250，直线 2x y50 与 O 交于 E， F 两点，
11、P 在圆 O 上且满足 2x y50，点 P 在 上EDF由Error! 得 F 点的横坐标为 1又 D 点的横坐标为5 ，2 P 点的横坐标的取值范围为5 ，12三、模拟小题15(2018合肥质检)设圆 x2 y22 x2 y20 的圆心为 C，直线 l 过(0，3)与圆C 交于 A， B 两点，若| AB|2 ，则直线 l 的方程为( )3A3 x4 y120 或 4x3 y90B3 x4 y120 或 x0C4 x3 y90 或 x0D3 x4 y120 或 4x3 y90答案 B解析 当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程为 x0 时，弦长为 2 ，符合题意；3当直线 l 的斜率
12、存在时，可设直线 l 的方程为 y kx3，由弦长为 2 ，半径为 2 可知，3圆心到该直线的距离为 1，从而有 1，解得 k ，综上，直线 l 的方程为 x0|k 2|k2 1 34或 3x4 y120，故选 B16(2018湖南长沙模拟)已知 O： x2 y21， A(0，2)， B(a，2)，从点 A 观察点 B，要使视线不被 O 挡住，则实数 a 的取值范围是( )A(，2)(2，)B， ，433 433C， ，233 233D ，433 433答案 B解析 点 B 在直线 y2 上，过点 A(0，2)作圆的切线，设切线的斜率为 k，由点斜7式得切线方程为 y kx2，即 kx y20
13、，由圆心到切线的距离等于半径，得1，解得 k ，切线方程为 y x2，和直线 y2 的交点坐标为| 2|k2 1 3 3 ，2， ，2，433 433要使视线不被 O 挡住，则实数 a 的取值范围是， ，故选 B433 43317(2018广东茂名模拟)若圆 x2 y24 x4 y100 上至少有三个不同点到直线l： ax by0 的距离为 2 ，则直线 l 的斜率的取值范围是( )2A2 ，1 B2 ，2 3 3 3C ， D0，)33 3答案 B解析 圆 x2 y24 x4 y100 可化为( x2) 2( y2) 218，则圆心坐标为(2，2)，半径为 3 2由圆 x2 y24 x4 y
14、100 上至少有三个不同点到直线 l： ax by0 的距离为 2可得，圆心到直线 l： ax by0 的距离 d3 2 ，即 ，则2 2 2 2|2a 2b|a2 b2 2a2 b24 ab0 ，若 a0，则 b0，不符合题意，故 a0 且 b0，则可化为1 2 0，由于直线 l 的斜率 k ，所以 1 2 0 可化为 1 2 0，解得ba 4ba ab ba 4ba 1k 4kk2 ，2 ，故选 B3 318(2018天津河西一模)若 A 为圆 C1： x2 y21 上的动点， B 为圆 C2：( x3)2( y4) 24 上的动点，则线段 AB 长度的最大值是_答案 8解析 圆 C1：
15、x2 y21 的圆心为 C1(0，0)，半径 r11，圆 C2：( x3) 2( y4)24 的圆心为 C2(3，4)，半径 r22，| C1C2|5又 A 为圆 C1上的动点， B 为圆 C2上的动点，线段 AB 长度的最大值是| C1C2| r1 r2512819(2018湖北八市联考)已知 aR，直线 l1： x2 y a2 和直线l2：2 x y2 a1 分别与圆 E：( x a)2( y1) 29 相交于点 A， C 和点 B， D，则四边形ABCD 的面积是_答案 18解析 依题意，圆 E 的圆心坐标为 E(a，1)，发现 E l1， E l2，即直线 l1， l2都过圆心，故|
16、AC| BD|6又 k1k21，即 l1 l2故所求面积为 62181220(2018衡阳二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1： x2 y29，圆8O2： x2( y6) 216，在圆 O2内存在一定点 M，过点 M 的直线 l 被圆 O1，圆 O2截得的弦分别为 AB， CD，且 ，则定点 M 的坐标为_|AB|CD| 34答案 0，187解析 当直线 l 的斜率不存在时，设 l： x x0，3 x03则|AB|2 ，| CD|2 ，从而有 2，解得 x00，即定点 M 在圆心 O1与9 x20 16 x209 x2016 x20 34O2连线上，且 yM2，10，即 M(0，
17、yM)， yM2，10；当直线 l 的斜率存在时，设l： y kx b则| AB|2 ，| CD|2 ，从而有 2，9 |b|1 k22 16 |b 6|1 k229 b21 k216 b 621 k2 34解得 b 或 b18直线 l 过定点(0， b)，且点 M 在圆 O2内，故 b ，即 M0， 187 187 187一、高考大题1(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l与 C 交于 A， B 两点，| AB|8(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1，0)， l 的方
18、程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20 16 k2160，故 x1 x2 2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) 4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)， k14k2 4k2因此 l 的方程为 y x1(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则9Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2(
19、y6) 21442(2017全国卷)已知抛物线 C： y22 x，过点(2，0)的直线 l 交 C 于 A， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程解 (1)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， l： x my2，由Error! 可得 y22 my40，则 y1y24又 x1 ， x2 ，故 x1x2 4y212 y22 y1y224因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 1，所以 OA OB，y1x1 y2x2 44故坐标原点 O 在圆 M 上(2)由(1)可得 y
20、1 y22 m，x1 x2 m(y1 y2)42 m24，故圆心 M 的坐标为( m22， m)，圆 M 的半径 r m2 22 m2由于圆 M 过点 P(4，2)，因此 0，AP BP 故( x14)( x24)( y12)( y22)0，即 x1x24( x1 x2) y1y22( y1 y2)200由(1)可知 y1y24， x1x24，所以 2m2 m10，解得 m1 或 m 12当 m1 时，直线 l 的方程为 x y20，圆心 M 的坐标为(3，1)，圆 M 的半径为 ，10圆 M 的方程为( x3) 2( y1) 210当 m 时，直线 l 的方程为 2x y40，圆心 M 的坐
21、标为 ，圆 M 的半径12 (94， 12)为 ，854圆 M 的方程为 2 2 (x94) (y 12) 85163(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M： x2 y212 x14 y600 及其上一点 A(2，4)10(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且 BC OA，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 ，求实数 t 的取值TA TP TQ 范围解 圆 M 的标准方
22、程为( x6) 2( y7) 225，所以圆心 M(6，7)，半径为 5(1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6， y0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 00)因为圆 C 经过 A， B 两点，所以2 b2 2 b2，74 174 318 338即 b b2 b b2，解得 b4716 28916 172 3164 108964 334又易知 r2 2 4 2 ，74 174 12所以圆 C 的方程为 x2( y4) 2 12(2)当直线 l 的斜率不存在时，由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x ，此时直线 l 与 C122交于 P， Q 两点，不妨设 P 点在
23、Q 点的上方，则 P ， ， Q ， 或 P ， ， Q ， ，则 0，所以 OP OQ，满足22 22 22 22 22 22 22 22 OP OQ 题意当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0，设直线 l 的方程为 y kx m(k0， m0)，P(x1， y1)， Q(x2， y2)，将直线 l 的方程与圆 C1的方程联立，得Error!消去 y，整理得(1 k2)x22 kmx m210，则 4 k2m24(1 k2)(m21)4( k2 m21)0，即 1 k2m2，则 x1 x2 ， x1x2 ，2km1 k2 m2 11 k2所以 y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2 m2k2m2 11 k2 2k2m21 k2，m2 k21 k2又 OP OQ，所以 0，OP OQ 14即 x1x2 y1y2 0，m2 11 k2 m2 k21 k2故 2m21 k2，满足 0，符合题意因为直线 l： y kx m 与圆 C： x2( y4) 2 相切，12所以圆心 C(0，4)到直线 l 的距离 d ，|m 4|1 k2 22即 m28 m16 ，1 k22故 m28 m16 m2，解得 m2，故 1 k222 2，得 k 7故直线 l 的方程为 y x27综上，直线 l 的方程为 x 或 y x222 715
