1、1专题 38 数列 等比数列 1【考点讲解】1、具本目标：等比数列（1） 理解等比数列的概念.（2） 掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4） 了解等比数列与指数函数的关系.二、知识概述：1、等比数列的概念（1）如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用 q表示 ( 0)（2）等比数列的通项公式为 1na，通项公式还可以写成 1nnaq，它与指数函数 xya有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列（3）如果 ,aGb 成
2、等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项，且 2Gab， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列 n中， （4）等比数列的前 n项和的公式为 或 , 等比数列中没有“0”的项。用等比数列求和公式解题时，注意 1q与 两个不同的条件2、等比数列的性质（1）在等比数列 na中， nk（ *,N）（2）在等比数列 中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若（ ） ，则 （3）在等比数列 na中，依次 k个项之和仍组成一个等比数列，即 kS是前 项之和，则 kS， 2k，232kS， (1)mkkS，也是等比数列（4）对于正项等比数
3、列 na，取 lgnba，则 nb即为等差数列。所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比 【模拟考场】1若数列 na是等比数列，则下列数列中： 1na1nnan一定是等比数列1 2 3 4的有（ ）个A4 B 3 C2 D1【答案】B2.设等比数列 na的公比 2q，前 n项和为 nS，则 42a（ ）A. 2 B. 4 C. 15D. 17【解析】 .【答案】C3项数都是 的等差数列 na与等比数列 nb的首项均为 (0),a且它们的末项相等，则中间项的大小为（ ）A. 2nabB. 2nabC. 2nD. 2nb【解析】设由故 故3即当 2,nba即 n是常数列时， 2,nab当 n为
4、非常数列时 2.nab【答案】C4等比数列 n，前 项和为 nS，已知 321S， 431S，则公比 q的值为（ ）A 2 B 3 C 6 D 12【解析】 ，两式相减得： 43a 43aq【答案】B5在数列 na和 b中， 12a，且对任意正整数 n， ， nb是 a与 1n的等差中项，则nb的前 n项的和为 【答案】 12()3n6有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是 .【解析】所有正方体的向上的面面积之和
5、为底面正方体的一个面。所以，底层正方体的表面积为 24；第层正方体的棱长 2，每个面的面积为 )21(4；第层正方体的棱长为 2)(，每个面的面积为 )1(4；，第 n层正方体的棱长为 1)2(n，每个面的面积为1)2(4n；4若该塔形为 n层，则它的表面积为 24+4 )21(4 2)( 1)(4n40 5)2(n因为该塔形的表面积超过 39，所以该塔形中正方体的个数至少是 6.【答案】67.已知 ，设 a、 b、 c成等差数列，且公差不为零.求证： x、 y、 z成等比数列8.已知数列 na满足 651，若对于任意 ，二次方程 都有根 ,，且满足 。（1）求证： 21na是等比数列；（2）求数列 na的通项公式；（3）求数列 na的前 n项和 nS。【解析】证明：（1） 代入 得所以， （定值）.所以， 21na是以 3为首项， 1为公比的等比数列。5（2）因为， 21na是公比为 3等比数列，且首项为所以， ，得（3）9已知 ， ，数列 na满足 12， （1）求数列 na的通项公式；（2）设 ，求数列 nb的最大项和最小项（2） ， 当 1n时， b取到最大值 0，又当 时，13()4n的值分别为 只有 96与 12最接近，故当 3n时， b取到最小值 189256。 6
