1、2011年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：16.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：1，分数：2.00)1.设准确值 ，它们的近似值分别是 x 1 =126223, x 2 =126202，已知 x 1 和 x 2 具有 6位有效数字，考察下面两种算法： 1)x 1 * -x 2 * x 1 -x 2 =00021； 2)x 1 * -x 2 * = （分数：2.00）_二、证明题(总题数：1，分数：2.00)2.给定方程 COSxx=0，用 Newton迭代法求方程在0，1中的根，精确到 5位有效数字，并证明对任意初值 x 0 0，1，Newt
2、on 迭代收敛（分数：2.00）_三、综合题(总题数：6，分数：12.00)3.设 A=a ij 是 n阶非奇异矩阵，且 a ii 0，i=1，2，n，b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是 n维向量，x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 1)写出解线性方程组 Ax=b的 GaussSeidel迭代格式； 2)如果矩阵 A满足 （分数：2.00）_4.求一个 4次多项式 H(x)，满足 H(0)=f(0)，H“(0)=f“(0)，H“(1)=f“(1)，H(4)=f(4)，H“(4)=f“(4)（分数：2.00）_5.已知数据 1)求一个 3次多项式 p 3 (x)，使得 p 3 (
3、x j )=y j ，j=1，2，3，4； 2)求一个 2次多项式 P 2 (x)=a+bx+cx 2 ，使得 （分数：2.00）_6.1)设求积公式 Af(x 0 )+Bf(x 1 )A是两点 Gauss公式，求 A，B，x 0 ，x 1 2)记 h=(ba)n，x k =a+kh，k=0，1，n，设求积公式 是对应于公式(A)的复化求积公式，试求 A k ，B k ，y k ，z k ，k=0，1，n-1 3)如果 f(x)C 4 a，b，求极限 （分数：2.00）_7.给定初值问题 （分数：2.00）_8.给定椭圆边值问题 其中 =(x，y)001，0y1)， （分数：2.00）_201
4、1年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：16.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：1，分数：2.00)1.设准确值 ，它们的近似值分别是 x 1 =126223, x 2 =126202，已知 x 1 和 x 2 具有 6位有效数字，考察下面两种算法： 1)x 1 * -x 2 * x 1 -x 2 =00021； 2)x 1 * -x 2 * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)根据题意，可知e(x 1 ) 10 -4 ，e(x 2 ) 10 -4 ，e(x 1 -x 2 )e(x 1 )-e(x 2 )e(x 1 )+e(x 2 )
5、10 -4 + 10 -4 =10 -4 )解析：二、证明题(总题数：1，分数：2.00)2.给定方程 COSxx=0，用 Newton迭代法求方程在0，1中的根，精确到 5位有效数字，并证明对任意初值 x 0 0，1，Newton 迭代收敛（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Newton 迭代格式为 x k+1 =x k )解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)3.设 A=a ij 是 n阶非奇异矩阵，且 a ii 0，i=1，2，n，b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是 n维向量，x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 1)写出解线性方程组 Ax=b的 Gauss
6、Seidel迭代格式； 2)如果矩阵 A满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)GaussSeidel 迭代格式为 2)分两步证明 (i)如果 A严格对角占优，则 A非奇异用反证法若 A不可逆，则存在非零向量 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T R n ，使得Ax=0，即有 a ij x j =0， i=1，2，n记 )解析：4.求一个 4次多项式 H(x)，满足 H(0)=f(0)，H“(0)=f“(0)，H“(1)=f“(1)，H(4)=f(4)，H“(4)=f“(4)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 p(x)为 3次多项式，满足 p(0)=f(0)，P“(0
7、)=f“(0)，p(4)=f(4)，P“(4)=f“(4)，则 p(x)=f(0)+f0，0x+f0，0，4x 2 +f0，0，4，4x 2 (x-4)记 R(x)=H(x)-p(x)，则 R(x)是 4次多项式，由插值条件得 R(0)=0，R“(0)=0，R(4)=0，R“(4)=0，因此 R(x)=Ax 2 (x-4) 2 ，A 为常数，从而 H(x)=p(x)+Ax)解析：5.已知数据 1)求一个 3次多项式 p 3 (x)，使得 p 3 (x j )=y j ，j=1，2，3，4； 2)求一个 2次多项式 P 2 (x)=a+bx+cx 2 ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确
8、答案：1)方法 1：用 Lagrange插值多项式，有 方法 2：用 Newton插值多项式，有 p 3 (x)=f(-1)+f-1，0(x+1)+f-1，0，1(x+1)x+f-1，0，1，2(x+1)x(x-1) 列表求差商： 所以 p 3 (x)=1-(x+1)+ x(x 2 -1) 2)记 )解析：6.1)设求积公式 Af(x 0 )+Bf(x 1 )A是两点 Gauss公式，求 A，B，x 0 ，x 1 2)记 h=(ba)n，x k =a+kh，k=0，1，n，设求积公式 是对应于公式(A)的复化求积公式，试求 A k ，B k ，y k ，z k ，k=0，1，n-1 3)如果
9、f(x)C 4 a，b，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由-1，1上的两点 Gauss公式 可得a，b上的两点 Gauss公式 因此 2)根据题意，有 所以 3)由 Gauss公式的截断误差得 所以 )解析：7.给定初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)改进的 Euler公式为 y i+1 =y i + f(x i ，y i )+f(x i+1 ,y i +hf(x i ，y i ) 2)局部截断误差 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )- f(x i ,y(x i )- )解析：8.给定椭圆边值问题 其中 =(x，y)001，0y1)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)五点差分格式为 截断误差为 )解析：
