1、工程硕士(GCT)数学-39 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.下列命题中，正确的是( )。A方程 x2=2X 有一个实数根 B方程 x2-6=0 有两个相等的实数根C方程 2x2=3x+2=0 没有实数根 D方程 x2+6x-1=0 有两个相等的实数根（分数：4.00）A.B.C.D.2.设方程 x2+x-1=0 的两个实数根分别为 x1，x 2则 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.3.设方程 2x2-(k+1)x+k+3=0 的两根之差为 1，则 k 的值是( )。A9 和-3 B9 和 3 C-9 和 3 D-9 和-3（分数：4.00）A.B.C.
2、D.4.若 zC，且 ，则|x+1-i|的最大值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.5.如果 （分数：4.00）A.B.C.D.6.5 个人抓 1 个有物之阄，则第二个人抓到的概率为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知数列 an的前 n 项和为 Sn=3+2n，则这个数列是( )。A等差数列 B等比数列C既非等差数列，又非等比数列 D既是等差数列，又是等比数列（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 ， 满足 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.已知三角形三边的长为 2，x，9，若 x 为奇数，则此三角形的周长是( )。A15 B17 C26 D20（分数
3、：4.00）A.B.C.D.10.把一个半径为 R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为 1:2，则其中较小球的半径为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.11.已知 m，n 是夹角为 60的两个单位向量，则 a=2m+n 和 b=-3m+2n 的夹角是( )。A30 B60 C120 D150（分数：4.00）A.B.C.D.12.椭圆 的焦点在。轴上，则其离心率的取值范围是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.参数方程 (02)表示( )。A双曲线的一支，这支过点 B抛物线的一部分，这部分过点C双曲线的一支，这支过点 D抛物线的一部分，这部分过点 （
4、分数：4.00）A.B.C.D.14.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.15.已知数列通项为 （分数：4.00）A.B.C.D.16.设函数 x=f(y)的反函数 y=f-1(x)及 ff-1(x)，f“f -1(x)均存在，且 ff-1(x)0，则 ( )。（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 y“(0)=( )，则 x3+y3+e-xy=0。（分数：4.00）A.B.C.D.18. 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.19.下列等式中，正确的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.20.设函数 f(x)连续，则下列变上限定积分定义的
5、函数中必为偶函数的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.21.已知（分数：4.00）A.B.C.D.22.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 ，则 A 的伴随矩阵 A*的逆矩阵为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.23.设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，有以下 5 个命题：(1)(A+B)2=A2+2AB+B2(2)(A-B)(A+B)=A2-B2(3)(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)(4)A2A5=A5A2(5)(A-E)(Ak+Ak-1+A+E)=Ak+1-E则上述命题中，正确的共有( )。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（分数：4.00）A.B.C.D.24.已
6、知向量 s=(0，-2，1，-2) T，则齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.25.A 与对角形矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-39 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.下列命题中，正确的是( )。A方程 x2=2X 有一个实数根 B方程 x2-6=0 有两个相等的实数根C方程 2x2=3x+2=0 没有实数根 D方程 x2+6x-1=0 有两个相等的实数根（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 中方程 x2=2x 的解为 x1=0，x 2=2，与方程只有一个实数根矛盾，不正确；B 中方程 x2-6=0，解得2.设方
7、程 x2+x-1=0 的两个实数根分别为 x1，x 2则 的值为( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 提示：3.设方程 2x2-(k+1)x+k+3=0 的两根之差为 1，则 k 的值是( )。A9 和-3 B9 和 3 C-9 和 3 D-9 和-3（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 x 1-x2=1(x1x 2)，又 ，即(x 1+x2)2-4x1x2=14.若 zC，且 ，则|x+1-i|的最大值为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 故|z+1-i |的最大值为5.如果 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 两项中分子和分母中
8、x 的指数之比是6.5 个人抓 1 个有物之阄，则第二个人抓到的概率为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 Ai=第 i 个人抓到有物之阄)(i=1，2，3，4，5)，有根据事件相同对应概率相等，有又因为 ，所以有7.已知数列 an的前 n 项和为 Sn=3+2n，则这个数列是( )。A等差数列 B等比数列C既非等差数列，又非等比数列 D既是等差数列，又是等比数列（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据已知条件，有 a1=S1=3+21=5当 n2 时，a n=Sn-Sn-1=(3+2n)-(3+2n-1)=2n-1把 n=1 代入 an=2n-1中，得 a1
9、=21-1=1，与 a1=S1=5 不相符。8.设 ， 满足 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.已知三角形三边的长为 2，x，9，若 x 为奇数，则此三角形的周长是( )。A15 B17 C26 D20（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 三线段 a，b，c 能构成三角形的条件是 a-cba+c (或 b-cab+c，a-bca+b)，由x 为奇数，则可求出 x 的值。因 2+9=11，9-2=7，又根据二角彤的二边关糸足理，得 7x11。又因 x 为奇数，故 x=9，三角形的周长为 2+x+9=2+9+9=20，故选 D。10.把一个半径为 R 的实
10、心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为 1:2，则其中较小球的半径为( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设较小球的半径为 r，则11.已知 m，n 是夹角为 60的两个单位向量，则 a=2m+n 和 b=-3m+2n 的夹角是( )。A30 B60 C120 D150（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 不妨设 m=(1，0)， ，则因此，12.椭圆 的焦点在。轴上，则其离心率的取值范围是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 焦点在 x 轴上 ，故有13.参数方程 (02)表示( )。A双曲线的一支，这支过点 B抛物线的一部分
11、，这部分过点C双曲线的一支，这支过点 D抛物线的一部分，这部分过点 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 ，所以曲线方程为14.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由连续性定义， ，由已知条件 ，故分子 f(x)-2 也必须趋向 0，故有15.已知数列通项为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 16.设函数 x=f(y)的反函数 y=f-1(x)及 ff-1(x)，f“f -1(x)均存在，且 ff-1(x)0，则 ( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因 ff-1(x)0，由反函数的导数公式有17.设 y
12、“(0)=( )，则 x3+y3+e-xy=0。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由隐函数求导有3x2+3y2y-e-xy(y+xy)=0令 x=0，得 y(0)=-1， 。对上式再求导得6x+6y(y)2+3y2y“+e-xy(y+xy)2-e-xy(2y+xy“)=0将 代入，得18. 的值为( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 在 内，x 2是偶函数， 为奇函数，所以有19.下列等式中，正确的是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由微分与积分的互逆运算关系可知，C 是正确的。20.设函数 f(x)连续，则下列变上限定积分定义的函数中必为
13、偶函数的是( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 当 f(x)为奇函数时，21.已知（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 22.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 ，则 A 的伴随矩阵 A*的逆矩阵为( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 ，而(A -1)-1=A，因此由有23.设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，有以下 5 个命题：(1)(A+B)2=A2+2AB+B2(2)(A-B)(A+B)=A2-B2(3)(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)(4)A2A5=A5A2(5)(A-E)(Ak+Ak-1+A+E)=Ak+1-E则上述命题中，正确
14、的共有( )。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 矩阵的乘法没有交换律，所以命题(1)，(2)均错误。(A+B)2=A2+AB+BA+B2(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2(A-E)(A+E)=A2-E2=(A+E)(A-E)故命题(3)正确。乘法有结合律，故命题(4)也正确。利用分配律可知命题(5)也正确，故应选 C。24.已知向量 s=(0，-2，1，-2) T，则齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 n-r(A)=4-2=2，所以基础解系由 2 个线性无关的向量组成，故排除 D。由于 1=(1，-1，1，0，) T不满足第 2 个方程，不是方程组的解，故排除 A。由25.A 与对角形矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对角形矩阵 A的特征值为 a1，a 2，a n，故 A 的特征值为 a1，a 2，a n。根据|A |=a 1a2an，|A |是否等于 0，由 a1，a 2，a n中有无 0 而确定，因此 A、B 都不正确。A 的特征值有无重根取决于 a1，a 2，a n有无重值，故 C 不正确。故 D 为正确答案。
