1、考研数学（数学二）模拟试卷 422 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f() （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶而非等价无穷小D.等价无穷小3.设 f()是以 3 为周期的可导的奇函数，且 f(1)1，则 I （分数：2.00）A.4B.4C.D.4.设 f() （分数：2.00）A.有界，不可积B.可积，有间断点C.连续，有不可导点D.可导5.设 （分数：2.00）A.I 2 1I 1 B.I 2 I 1 1C.1I 2 I
2、 1 D.1I 1 I 2 6.设 f()，g()均有二阶连续导数且满足 f(0)0，f(0)0，g(0)0，则函数 u(，y)f() 1 y g(t)dt 在点(0，0)处取极小值的一个充分条件是（分数：2.00）A.f(0)0，g()0(01)B.f(0)0，g()0(01)C.f(0)0，g()0(01)D.f(0)0，g()0(01)7.已知累次积分，I （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 54 矩阵，r(A)4，则下列命题中错误的为（分数：2.00）A.A0 只有零解B.AA T 0 有非零解C.对任何 5 维向量 ，A 都有解D.对任何 4 维向量 ，A T 都有无穷
3、多解9.设 A （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.数列极限 I （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程(3y2)dyyd 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f()(1 2 )e sin ，则 f(0) 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设动点 P(，y)在曲线 9y4 2 上运动，且坐标轴的单位长是 1cm如果 P 点横坐标的速率是30cms，则当 P 点经过点(3，4)时，从原点到 P 点间距离 r 的变化率是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 1 (
4、1，2，1) T ， 2 (1，3，2) T ， 3 (4，11，6) T 矩阵 A 满足 A 1 (0，2) T ，A 2 (5，2) T ，A 3 (3，7) T ，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f()在 0 的某邻域内有定义，且满足 0，求极限 （分数：2.00）_18.设 D 是曲线 y2 2 与 轴围成的平面图形，直线 yk 把 D 分成为 D 1 和 D 2 两部分(如图)，满足 D 1 的面积 S 1 与 D 2 的面积 S 2 之比 S 1
5、：S 2 1：7 ()求常数 k 的值及直线 yk 与曲线 y2 2 的交点 ()求平面图形 D 1 的周长以及 D 1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：2.00）_19.设函数 f()在(0，)内可导，f()0， ，且 （分数：2.00）_20.计算二重积分 （分数：2.00）_21.设 zz(，y)是由 9 2 54y90y 2 6yzz 2 180 确定的函数， ()求 zz(，y)一阶偏导数与驻点； ()求 zz(，y)的极值点和极值（分数：2.00）_22.设 Oy 平面第一象限中有曲线 ：yy()，过点 A(0， 1)，y()0又 M(，y)为 上任意一点，满足：弧段
6、的长度与点 M 处 的切线在 轴上的截距之差为 （分数：2.00）_23.设 f()在0，2上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且 f(0)f(2)0，f(1)2求证：至少存在一点 (0，2)使得 f()4（分数：2.00）_24.设 4 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，方程组 A 的通解为 (1，2，2，1) T c(1，2，4，0) T ，c 任意 记 B( 3 ， 2 ， 1 ， 4 )求方程组 B 1 2 的通解（分数：2.00）_25.设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 E，并且 r(AE)kn 求二次型 T A 的规范形 证明 BEAA 2 A 3 A 4 是
7、正定矩阵，并求B（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 422 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f() （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.同阶而非等价无穷小D.等价无穷小解析：解析：这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得 其中用了下面的等价无穷小因子替换：0 时 ln(1sin 2 2 )sin 2 2 4 ， tan(1cos) 2 (1cos) 2 3.设 f()是以 3 为周期的可导的奇函
8、数，且 f(1)1，则 I （分数：2.00）A.4B.4C. D.解析：解析：注意 f()也以 3 为周期且为偶函数，f(1)f(2)f(2)，利用导数可求得极限4.设 f() （分数：2.00）A.有界，不可积B.可积，有间断点C.连续，有不可导点 D.可导解析：解析：不必求出 F() 这里 f()在0，2上有界，除 1 外连续，1 是 f()的跳跃间断点由可积性的充分条件 f()在0，2上可积，再由基本定理5.设 （分数：2.00）A.I 2 1I 1 B.I 2 I 1 1 C.1I 2 I 1 D.1I 1 I 2 解析：解析：将 1 也写成区间0， 上的一个定积分 1 从而为比较
9、I 1 ，I 2 ，1 的大小，只要比较 的大小由于当 0 时，sin， ，所以 I 2 I 1 再比较当0 ， 的大小即 sin 与 的大小 由下图可知 6.设 f()，g()均有二阶连续导数且满足 f(0)0，f(0)0，g(0)0，则函数 u(，y)f() 1 y g(t)dt 在点(0，0)处取极小值的一个充分条件是（分数：2.00）A.f(0)0，g()0(01)B.f(0)0，g()0(01) C.f(0)0，g()0(01)D.f(0)0，g()0(01)解析：解析：利用极值点的充分判别法 由 uf() 1 y g(t)dy 得 若 g()0(01) g()在0，1 g()g(0
10、)0(01) 1 0 g(t)dt0，又 f(0)0 时 7.已知累次积分，I （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oy 直角坐标系下的累次积分的问题 先将 I 表示成I f(，y)d由 D 的极坐标表示 ，0racos， 即 r 2 2 y 2 arcosa， 可知 D： ，如下图 若是先 y 后 的积分顺序，则 D：0a， ， 于是 I 8.设 A 是 54 矩阵，r(A)4，则下列命题中错误的为（分数：2.00）A.A0 只有零解B.AA T 0 有非零解C.对任何 5 维向量 ，A 都有解 D.对任何 4 维向量 ，A T 都有无穷多解解析
11、：解析：选项 A 对，因为 r(A)未知数个数 4 选项 B 对，因为 AA T 是 5 阶矩阵，而 r(AA T )5 选项 C 错，因为存在 5 维向量 不可用 A 的列向量组表示，使得 AX 无解 选项 D 对，因为r(A T )方程个数 4，对任何 4 维向量 ，r(A T )不会大于 49.设 A （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：首先可排除 A，因为 r(A)2，而 A 矩阵的秩为 1，所以它与 A 不合同 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手 求出EA(3
12、)(3)，A 的特征值为 0，3，3 显然(C)中矩阵的特征值也是 0，3，3，因此它和 A 相似，可排除 剩下选项 B、D 两个矩阵中，只要看一个D 中矩阵的特征值容易求出，为 0，1，1，因此它和 A 合同而不相似二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.数列极限 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：属.0 型的数列极限，转化为 型的函数极限后再用洛必达法则，即有11.微分方程(3y2)dyyd 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 y 3 C，其中 C 是任意常数）解析：解析：题设的方程是齐次微分方程 ，
13、 令 yu 或 yu，可把方程化为关于 ，u 或y，u 的可分离变量的方程求解方程又可改写成 3 的形式，这是以 为未知函数，以 y 为自变量的一阶线性微分方程 令 yu，代入方程后整理化简并积分可得 0，lny 3 (u1)C 1 去对数即得通解 y 3 (u1)C 12.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y）解析：解析：13.设 f()(1 2 )e sin ，则 f(0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：f()u()v()， u()1 2 ，则 u(0)1，u(0)1，u(0)2 v()e sin ，v(0)1，v
14、(0)cose sin 0 1， v(0)(sine sin e sin cos 2 ) 0 1 又 f()u()v()u()v() f()u()v()2u()v()u()v() 于是 f(0)2121111514.设动点 P(，y)在曲线 9y4 2 上运动，且坐标轴的单位长是 1cm如果 P 点横坐标的速率是30cms，则当 P 点经过点(3，4)时，从原点到 P 点间距离 r 的变化率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：82(cms)）解析：解析：这是相关变化率的问题，y 以及原点到 P 点的距离 r 都是时间 t 的函数，已知9y4 2 ，3，y4， 30，求
15、 在等式 9y4 2 和 r 两边对 t 求导，得 用 3，y4， d30 代入以上两式，即可解出 15.已知 1 (1，2，1) T ， 2 (1，3，2) T ， 3 (4，11，6) T 矩阵 A 满足 A 1 (0，2) T ，A 2 (5，2) T ，A 3 (3，7) T ，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用条件可建立一个关于 A 的矩阵方程： 用初等变换法解此矩阵方程：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f()在 0 的某邻域内有定义，
16、且满足 0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g() ，则 g()0 为求出 ，我们先导出 与 g()的关系由 )解析：18.设 D 是曲线 y2 2 与 轴围成的平面图形，直线 yk 把 D 分成为 D 1 和 D 2 两部分(如图)，满足 D 1 的面积 S 1 与 D 2 的面积 S 2 之比 S 1 ：S 2 1：7 ()求常数 k 的值及直线 yk 与曲线 y2 2 的交点 ()求平面图形 D 1 的周长以及 D 1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由方程组 ，可解得直线 yk 与曲线 y，2 2 有两个交点(0，
17、0)和(2k，k(2k)，其中 0k2 于是 S 1 0 2-k (2 2 k)d (2k) 3 又 S 1 S 2 0 2 (2 2 )d ， 由题设 S 1 ：S 2 ：1：7，知 于是k1，相应的交点是(1，1) ()注意这时 D 1 的边界由 y 上 01 的线段与曲线y2 2 上 01 的弧构成，从而 D 1 的周长 于是 D 1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V )解析：19.设函数 f()在(0，)内可导，f()0， ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()题设中等式左端的极限为 1 型，先转化成 由导数的定义及复合函数求导法得 积分得 lnf() lnsin
18、2 ln 2 C 1 ，即 f() ，(0，) 由 得 C1 因此 f() () n 记 F() 在(0，) n F(n)是单调上升的又 )解析：20.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： cos 2 siny 2 sin(y)d cos 2 siny 2 d sin(y)d，将 D 中的 与 y 交换， 所以 I 1 cos 2 siny 2 d 中，将被积函数中的 与 y 交换，该积分的值亦不变于是有 由于 sin 是 的奇函数，siny 是 y 的奇函数，且 D既对称于 y 轴，又对称于 轴，所以 )解析：21.设 zz(，y)是由 9 2 54y90y 2 6yzz
19、 2 180 确定的函数， ()求 zz(，y)一阶偏导数与驻点； ()求 zz(，y)的极值点和极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18d54(yddy)180ydy6zdy6ydz 一 2zdz0， 即(1854y)d(180y546z)dy(6y2z)dz0 从而 为求隐函数 zz(，y)的驻点，应解方程组 可化简为 3y，由可得z30y93y，代入可解得两个驻点 3，y1，z3 与 z3，y1，z3 ()zz(，y)的极值点必是它的驻点为判定 zz(，y)在两个驻点处是否取得极值， 还需求zz(，y)在这两点的二阶偏导数 注意
20、，在驻点 P(3，1，3)，Q(3，1，3)处， 0 由(3yz) 927 则在驻点 P，Q 处 再由(3yz) =90y273z 在驻点 P，Q 处 (3yz) 90 于是可得出在 P 点处 3yz6， 因 ACB 2 0，且 A 0，故在点(3，1)处 zz(，y)取得极小值 z(3， 1)3 在 Q 点处3yz6 因 ACB 2 0，且 A )解析：22.设 Oy 平面第一象限中有曲线 ：yy()，过点 A(0， 1)，y()0又 M(，y)为 上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 的切线在 轴上的截距之差为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求出 在点 M(，y)处
21、的切线方程 Yy()y()(X)， 其中(X，Y)是切线上点的坐标在切线方程中令 Y0，得 轴上的截距 又弧段 的长度为 ，按题意得 这是 y()满足的积分、微分方程 ()两边对 求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及式中令 0 得 y(0) 1，y(0)1 因此得 y()满足的二阶微分方程的初值问题 问题与是等价的 ()下面求解这是不显含 的二阶方程，作变换 Py，并以 y 为自变量得 由 y 1 时 将上面两式相减 再积分得 C， 其中 C)解析：23.设 f()在0，2上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且 f(0)f(2)0，f(1)2求证：至少存在一点 (0，2)使得 f()4（分
22、数：2.00）_正确答案：(正确答案：转化为证明某函数的二阶导数在(0，2) 零点设 g()4令 F()f()g()则 (0，2)，使 f()4 F()0 注意 g()2 2 c 1 c 2 ，于是 F(0)f(0)g(0)c 2 F(1)f(1)g(1)4c 1 c 2 F(2)f(2)g(2)82c 1 c 2 为使 F(0)F(1)F(2)，取 c 1 4，c 2 0，F()f()g()f()(2 2 4) 满足 F(0)F(1)F(2)0由于函数 F()在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间0，1与1，2上分别对函数 F()应用罗尔定理，从而知分别存在 1 (0，1)与
23、2 (1，2)使得 F( 1 )F( 2 )0，由题设知 F()在区间 1 ， 2 上也满足罗尔定理的条件，再在区间 1 ， 2 上对导函数 F()应用罗尔定理，又知存在 ( 1 ， 2 ) )解析：24.设 4 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，方程组 A 的通解为 (1，2，2，1) T c(1，2，4，0) T ，c 任意 记 B( 3 ， 2 ， 1 ， 4 )求方程组 B 1 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先从 AX 的通解为(1，2，2，1) T c(1，2，4，0) T 可得到下列讯息：A0 的基础解系包含 1 个解，即 4r(A)1， 得 r
24、(A)3即 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3 (1，2，2，1) T 是 A 解，即 1 2 2 2 3 4 (1，2，4，0) T 是 A0 解，即 1 2 2 4 3 0 1 ， 2 ， 3 线性相关，r( 1 ， 2 ， 3 )2 显然 B(0，1，1，0) T 1 2 ，即(0，1，1，0) T 是 B 1 2 的一个解 由，B( 1 ， 2 ， 1 ， 4 )( 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 2 2 3 )，于是 r(B)r( 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 2 2 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )2 则 B0 的基础解系包含解的个数为 4r(B)2 个 1 2 2 4 4
25、 0 说明(4，2，1，0) T 是 B0 的解；又从 B( 3 ， 2 ， 1 ， 1 2 2 2 3 )容易得到 B(2，2，1，1) T 0，说明(2，2，1，1) T 也是 B0 的解于是(4，2，1，0) T 和(2，2，1，1) T 构成 B0的基础解系 B 1 2 的通解为： (0，1，1，0) T c 1 (4，2，1，0) T c 2 (2，2，1，1) T ，c 1 ，c 2 任意)解析：25.设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A 2 E，并且 r(AE)kn 求二次型 T A 的规范形 证明 BEAA 2 A 3 A 4 是正定矩阵，并求B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 2 E，A 的特征值 应满足 2 1，即只能是 1 和1于是 AE的特征值只能是 2 和 0AE 也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵，的秩等于 r(AE)k于是AE 的特征值是 2(k 重)和 0(nk 重)，从而 A 的特征值是 1(k 重)和1(nk 重)A 的正，负关系惯性指数分别为 k 和 nk， T A 的规范形为 y 1 2 y 2 2 y k 2 y k+1 2 y n 2 B 是实对称矩阵由 A 2 E，有 B3E2A，B 的特征值为 5(k 重)和 1(nk 重)都是正数因此 B 是正定矩阵)解析：
