1、考研数学一-线性代数线性方程组(一)及答案解析(总分：117.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：19.00)1.齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是(A) A 的任意两个列向量线性相关(B) A 的任意两个列向量线性无关(C) A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合(D) A 中任一列向量都是其余列向量的线性组合（分数：1.00）A.B.C.D.2.设齐次线性方程组 Ax=0，其中 Amn的秩 r(A) =n-3， 1， 2， 3为方程组的 3 个线性无关的解向量，则方程组 Ax=0 的基础解系为(A) 1， 2+ 3 (B) 1- 2， 2- 3，
2、3- 1(C) 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3 (D) 1- 2+ 3， 1+ 2- 3，-2 1（分数：1.00）A.B.C.D.3.设 A 为，m5 矩阵，矩阵曰满足 AB=0，且 r(A) +r(B) =5，其中（分数：1.00）A.B.C.D.4.设矩阵 （分数：1.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，r(A) =m，且方程组 Ax=0 只有零解，则下列结论正确的是(A) 方程组 （分数：1.00）A.B.C.D.6.设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有 2 个线性无关的解，则(A) A*x=0 的解均是 Ax=0 的解(B)
3、Ax=0 的解均是 A*x=0 的解(C) A*x=0 与 Ax=0 无非零公共解(D) A*x=0 与 Ax=0 仪有两个非零公共解（分数：1.00）A.B.C.D.7.设四元齐次线性方程组 （分数：1.00）A.B.C.D.8.设向量组 1， 2， 3是齐次线性方程组 Amnx=0 的基础解系，则 a 1+ 2，b 2+ 3，c 3+ 1也是Amnx=0 的基础解系的充分必要条件是(A) a=b=c=0 (B) a=b=c=1(C) abc-1 (D) abc=-1（分数：1.00）A.B.C.D.9.设 A 为 n 阶方阵，若 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解， 1， 2， r是导出组
4、 Ax=0 的基础解系，则下列结论正确的是(A) r()r (B) r()r(C) r(， 1， 2， r)=r (D) r(， 1， 2， r)=r+1（分数：1.00）A.B.C.D.10.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量线性无关，则下列结论错误的是(A) ATx=0 只有零解 (B) A TAx=0 必有无穷多解(C) 有唯一解 (D) （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且 r(A)=n，r(B)=m，则对于任意 m 维向量 b，ABx=b(A) 总有零解 (B) 总有唯一解(C) 总有无穷多解 (D) 是否有解与 m，n 的大小
5、关系有关（分数：1.00）A.B.C.D.12.设非齐次线性方程组 Ax=b，其中 A 是 mn 矩阵，则 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是(A) r()=n (B) r()=n(C) r()=m (D) r()=n 且 b 为 A 的列向量组的线性组合（分数：1.00）A.B.C.D.13.设 A 为，mn 矩阵，b0，且 mn，则线性方程组 Ax=b(A) 有唯一解 (B) 有无穷多解(C) 无解 (D) 可能无解（分数：1.00）A.B.C.D.14.设 A 为 mn 矩阵，r(A)=m，b0，则线性方程组 Ax=b(A) 可能无解 (B) 一定无解(C) 可能有解 (D) 一定有解（
6、分数：1.00）A.B.C.D.15.设 A 是 mn 矩阵，r(A) =n-2， 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个线性无关的解向量，k1，k 2为任意常数，则此方程组的通解是(A) k1( 1- 2)+k2( 2+ 3)+ 1 (B) k 1( 1- 3)+k2( 1+ 2)+ 1(C) k1( 2- 3)+k2( 1+ 3)+ 2 (D) k 1( 1- 2)+k2( 2- 3)+ 2（分数：1.00）A.B.C.D.16.设 1， 2， 3， 1+a 2-2 3均是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有解(A) 1=2 1+n 2+ 3
7、 (B) 2=2 1+3 2-2a 3(C) 3=a 1+2 2- 3 (D) 4=3 1-2a 2+ 3（分数：1.00）A.B.C.D.17.设 A 是 ms 矩阵，曰是 sn 矩阵，则方程组 ABx=0 与方程组 Bx=0 是同解方程组的充分条件是(A) r()=n (B) r()=s (C) r()=s (D) r()=n（分数：1.00）A.B.C.D.18.已知非齐次线性方程组（分数：1.00）A.B.C.D.19.设 1=( 1， 2， 3)T， 2=(b1，b 2，b 3)T， 3=(c1，c 2，c 3)T，则 3 条直线aix+biy+ci=0( （分数：1.00）A.B.
8、C.D.二、填空题(总题数：14，分数：18.00)20.设 B 是 3 阶非零矩阵，已知 B 的每一列向量都是方程组（分数：2.00）填空项 1:_21.设线性方程组 （分数：1.00）填空项 1:_22.设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中线性无关的解向量个数是 n，则 A= 1（分数：1.00）填空项 1:_23.设 （分数：1.00）填空项 1:_24.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_25.设一个齐次线性方程组的基础解系数为 （分数：1.00）填空项 1:_26.设 A 为 23 矩阵，r(A) =2，已知非齐次线性方程组 Ax=b 有解 1， 2，且 = （分
9、数：1.00）填空项 1:_27.若任意一个 n 维向量都是齐次线性方程组（分数：1.00）填空项 1:_28.设 1， 2， 3是非齐次线性方程绀 Ax=b 的解，= 1+a 2-3 3，则 是 Ax=b 的解的充分必要条件为 a=_， 是齐次线性方程组 Ax=0 的解的充分必要条件为 a=_（分数：2.00）填空项 1:_29.线性方程组 （分数：1.00）填空项 1:_30.已知非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为（分数：3.00）填空项 1:_31.设线性方程组则方程组满足条件 （分数：1.00）填空项 1:_32.设一个非齐次线性方程组的全部解为（分数：1.00）填
10、空项 1:_33.已知 n 阶方阵 A=(aij)nn又 1， 2， n是 A 的列向量组，|A|=0，伴随矩阵 A*0，则齐次线性方程组 A*x=0 的通解为_（分数：1.00）三、解答题(总题数：16，分数：80.00)34.设齐次线性方程组的系数矩阵 A=(aij)nn的秩为 n-1，试证：此方程组的一般解(全部解)为（分数：5.00）_35.设 （分数：5.00）_（分数：5.00）(1).已知 A33x=b 有通解 k1 1+k2 2+，证明 1， 2， 线性无关；（分数：2.50）_(2).设 A33x=b 有通解*，计算 A（分数：2.50）_36.设 1=(1，-2，1，0，0
11、) T， 2=(1，-2，0，1，0) T， 3=(0，0，1，-1，0) T， 4=(1，-2，3，-2，0) T是线性方程组（分数：5.00）_37.已知齐次方程组（分数：5.00）_38.设 1=(1，-2，1，0，0) T， 2=(2，-4，1，1，0) T， 3=(-4，4，1，0，-1) T是齐次线性方程组的一个基础解系，求此齐次线性方程组（分数：5.00）_39.求以 1=(1，-1，1，0) T， 2=(1，1，0，1) T， 3=(2，0，1，1) T为解向量的齐次线性方程组（分数：5.00）_40.设 A 和 B 均是 mn 矩阵，r(A) +r(B) =n，若 BBT=E
12、 且 B 的行向量是齐次方程组 Ax=0 的解，P 是 m 阶可逆矩阵，证明：矩阵 PB 的行向量是 Ax=0 的基础解系（分数：5.00）_41. 取何值时，线性方程组（分数：5.00）_42.设线性方程组（分数：5.00）_43.设线性方程组（分数：5.00）_44.设线性方程组（分数：5.00）_45.已知 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 的秩为 3，又 1， 2， 3是它的 3 个解向量，其中 1+ 2=(1，1，0，2) T， 2+ 3=(1，0，1，3) T，试求 Ax=b 的通解（分数：5.00）_46.设 （分数：5.00）_47.已知 4 阶矩阵 A=( 1
13、， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx=3 1+5 2- 3的通解有非零公共解，求 a 的值及其所有公共解（分数：5.00）_48.已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=(1，2，5，7) T， 2=(3，-1，1，7) T， 3=(-2，3，4，20) T，齐次线性方程组()的基础解系为 1=(1，4，7，1) T， 2=(1，-3，-4，2) T，求方程组()与()的公共解（分数：5.00）_考研数学一-线性代数线性方程组(一)答案解析
14、(总分：117.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：19.00)1.齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是(A) A 的任意两个列向量线性相关(B) A 的任意两个列向量线性无关(C) A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合(D) A 中任一列向量都是其余列向量的线性组合（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 设齐次线性方程组的系数矩阵 A 为 mn 矩阵，则方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是r(A)n，即 A 的列向量线性相关选项(A)是 A 的列向量线性相关的充分条件，不是必要条件；选项(B)本身就是错误结论；选项(D)也是错误结论因为
15、线性相关的向量中不是任一向城都可以由其余向量线性表出的故应选(C)2.设齐次线性方程组 Ax=0，其中 Amn的秩 r(A) =n-3， 1， 2， 3为方程组的 3 个线性无关的解向量，则方程组 Ax=0 的基础解系为(A) 1， 2+ 3 (B) 1- 2， 2- 3， 3- 1(C) 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3 (D) 1- 2+ 3， 1+ 2- 3，-2 1（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因矩阵 Amn的秩 r(A)=n-3，所以方程组 Ax=0 的基础解系应含有 3 个线性无关的解向量，所以可先排除(A)又选项(B)，(C)，(D)都是方程组 Ax=0 的解，
16、但(B)，(D)中的向量组线性相关，故不是方程组的基础解系实际上，对于(B)，有( 1- 2)+( 2- 3)+( 3- 1)=0，对于(D)，有( 1- 2+ 3)+( 1+ 2- 3)-2 1=O，对于(C)，向量组 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3线性无关故应选(C)3.设 A 为，m5 矩阵，矩阵曰满足 AB=0，且 r(A) +r(B) =5，其中（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由 AB=0 可知，B 的每一列向量 i(1i4)都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，又 r(B)=5-r(A)，所以 Ax=0 的基础解系中含有解向量的个数为 r(B)，对 B 施以初等行变
17、换由此得 r(B)=2故选项中可作为 Ax=0 基础解系的是(B)，应选(B)4.设矩阵 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由于齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系含有 2 个线性无关的解向量，所以r(A)=4-2=2而由此可知 t0若 t=0，则 r(A)=3，那么方程组的基础解系只有一个解向量当 t0 时，继续对 A 施行初等行变换，有5.设 A 为 mn 矩阵，r(A) =m，且方程组 Ax=0 只有零解，则下列结论正确的是(A) 方程组 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 有关齐次线性方程组 Amnx=0 解的情况，应熟记当 r(A)=n 时方程组有唯一零解，
18、当 r(A)n 时方程组有非零解由方程组 Ax=0 只有零解及 r(A)=m 可知 m=n，所以系数矩阵 A 是满秩方阵，于是 x=A-1 是方程组 Ax=的唯一解故应选(A)6.设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有 2 个线性无关的解，则(A) A*x=0 的解均是 Ax=0 的解(B) Ax=0 的解均是 A*x=0 的解(C) A*x=0 与 Ax=0 无非零公共解(D) A*x=0 与 Ax=0 仪有两个非零公共解（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由于齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，所以 Ax=0 的基础解系所含的线
19、性无关解向量的个数为 n-r(A)2，则 A*=0，任意非零列向量均是 A*x=0 的解故选(B)但 A*x=0 的解不一定是Ax=0 的解，由此可知(A)不对由于 Ax=0 有无穷多个非零解，与 A*x=0 的公共解也有无穷多个非零解，所以(C)，(D)也不对7.设四元齐次线性方程组 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 方程组的系数矩阵为8.设向量组 1， 2， 3是齐次线性方程组 Amnx=0 的基础解系，则 a 1+ 2，b 2+ 3，c 3+ 1也是Amnx=0 的基础解系的充分必要条件是(A) a=b=c=0 (B) a=b=c=1(C) abc-1 (D) abc=-1
20、（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 已知 1， 2， 3是 Amnx=b 的基础解系，表明 1， 2， 3是方程组 Amnx=6 的线性无关解向量，且 n-r(A)=3由齐次方程组解的性质知，a 1+ 2，b 2+ 3，c 3+ 1也是 Amnx=b 的解向量且向量个数也是 3(=n-r(A)个，故a 1+ 2，b 2+ 3，c 3+ 1是 Ax=0 的基础解系a 1+ 2，b 2+ 3，c 3+ 1线性无关因记 ，则 a 1+ 2，b 2+ 3，c 3+ 1线性无关9.设 A 为 n 阶方阵，若 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解， 1， 2， r是导出组 Ax=0 的基础解系，
21、则下列结论正确的是(A) r()r (B) r()r(C) r(， 1， 2， r)=r (D) r(， 1， 2， r)=r+1（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 依题意， 1， 2， r是导出组 Ax=0 的基础斛系，即 1， 2， r线性无关，且 r(A)=n-r又知 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，若(C)成立，则 可以由 1， 2， r线性表出， 和 1， 2， r线性相关于是 A=0，与 A=b 矛盾由 r(A)=n-r，显然无法判断 r(A)r 或 r(A)r所以不选(A)和(B)由排除法可知，应选(D)10.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量线性无关，则下
22、列结论错误的是(A) ATx=0 只有零解 (B) A TAx=0 必有无穷多解(C) 有唯一解 (D) （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 依题设，A 的秩为 4，或说 A 行满秩，也说 AT列满秩显然，A Tx=0 只有零解，所以(A)正确ATA 是 5 阶方阵，又知 r(ATA)=r(A)=4，则|A TA|=0，A TAx=0 有无穷多解，所以(B)正确对于方程组 ATx=b，b 是 5 维列向量，依题设 AT列满秩意味着 AT的 4 个列向量线性无关，就存在 5 维向量b，使得 AT的 4 个列向量和 b 是线性无关的，就是说这佯的线性方程组是无解的所以(C)是错误的故应
23、选(C)至于选项(D)，因为 A 的秩为 4，即 A 有 4 个列向量线性无关，所以在方程组 Ax=b 中，向量 b 是 4 维列向量，那么任意向量 b 和 A 的 4 个线性无关列向量一起就构成 5 个四维向量，显然它们线性相关，b 可以由A 的 4 个线性无关列向量线性表出，就是 Ax=b 有解又它的导出组是五元方程组 Ax=0，系数矩阵的秩为4，Ax=0 有非零解，所以 Ax=b 有无穷多解(D)正确11.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且 r(A)=n，r(B)=m，则对于任意 m 维向量 b，ABx=b(A) 总有零解 (B) 总有唯一解(C) 总有无穷多解 (D) 是否
24、有解与 m，n 的大小关系有关（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 依题设 r(A)=n，有 mn，又依题设 r(B)=m，有 nm，于是 n=m，A 和 B 都是满秩方阵所以对任意 m 维向量 b，非齐次线性方程组 ABx=b 总有唯一解，且其解为x=(AB)-1b故选(B)12.设非齐次线性方程组 Ax=b，其中 A 是 mn 矩阵，则 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是(A) r()=n (B) r()=n(C) r()=m (D) r()=n 且 b 为 A 的列向量组的线性组合（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 这里系数矩阵 A 不是方阵，不能用克拉默法则由题设
25、 Ax=b 有解，即 b 可以由 A 的列向量组线性表出，或 b 为 A 的列向量组的线性组合，再由解唯一，Ax=b 的导出组 Ax=0 只有零解，得知 A 列满秩，所以(D)正确r(A)=n，不能推断 A 的秩是多少若有 r(A)=n，则方程组有解且唯一；若 r(A)=n-1，则方程组无解，所以(A)不正确r(A)=n，不能推断增广矩阵 A 的秩是多少，荇有 r(A)=n，则方程组有解且唯一；若 r(A)=n+1，则方程组无解，所以(B)不正确r(A)=m，不能推断 A 的秩是多少，若有 r(A)=m，则方程组有解若还有 m=n，则解唯一；若 mn，则有无穷多解；若 r(A)=m-1，则方程
26、绀无解，所以(C)不正确综上分析，应选(D)13.设 A 为，mn 矩阵，b0，且 mn，则线性方程组 Ax=b(A) 有唯一解 (B) 有无穷多解(C) 无解 (D) 可能无解（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 非齐次线性方程组解的情况：当 r(A)r( )时方程组无解；当 r(A)=r( )=n 时方程组有唯一解；当 r(A)=r( )n 时方程组有无穷多解因为根据题设有可能 r(A)r(14.设 A 为 mn 矩阵，r(A)=m，b0，则线性方程组 Ax=b(A) 可能无解 (B) 一定无解(C) 可能有解 (D) 一定有解（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程
27、组 Ax=b 有解的充分必要条件为 r(A)=r(A，b)，本题可据此判别因为 r(A)=m，矩阵(A，b)是 m(n+1)矩阵，由m=r(A)r(A，b)m，可知 r(A，b)=m，因此方程组 Ax=b 必有解故应选(D)15.设 A 是 mn 矩阵，r(A) =n-2， 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个线性无关的解向量，k1，k 2为任意常数，则此方程组的通解是(A) k1( 1- 2)+k2( 2+ 3)+ 1 (B) k 1( 1- 3)+k2( 1+ 2)+ 1(C) k1( 2- 3)+k2( 1+ 3)+ 2 (D) k 1( 1- 2)+k2( 2- 3)
28、+ 2（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 r(A)=n-2，对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系仅含有 2 个解向量，那么 1- 2， 2- 3均是 Ax=0 的解设c1( 1- 2)+c2( 2- 3)=0，由于 1， 2， 3线性无关，只有 c1=c2=0，所以， 1- 2， 2- 3线性无关，故它们是 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=b 的通解是(D)，故应选(D)16.设 1， 2， 3， 1+a 2-2 3均是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有解(A) 1=2 1+n 2+ 3 (B) 2=2 1+3 2-2a 3(C) 3
29、=a 1+2 2- 3 (D) 4=3 1-2a 2+ 3（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设条件 A i=b(i=1，2，3)，及A( 1+a 2-2 3)=b+ab-2b=b(1+a-2)=b(b0)，得 a=2当 a=2 时，将选项逐个左乘 A，看是否满足 A i=0(i=1，2，3，4)因A 1=A(2 1+2 2+ 3)=5b0，A 2=A(-2 1+3 2-4 3)=-3b0，A 3=A(2 1+2 2- 3)=3b0，A 4=A(3 1-4 2+ 3)=0，故 4是对应齐次方程组 Ax=0 的解选(D)17.设 A 是 ms 矩阵，曰是 sn 矩阵，则方程组 A
30、Bx=0 与方程组 Bx=0 是同解方程组的充分条件是(A) r()=n (B) r()=s (C) r()=s (D) r()=n（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由于方程组 Bx=0 的解是方程组 ABx=0 的解，如果 r(A)=s，则方程组 Ay=0 仅有零解所以当 ABx=0 时，只有 Bx=0，即 ABx=0 的解也是 Bx=0 的解，那么齐次线性方程组 ABx=0 与 Bx=0 同解故应选(B)18.已知非齐次线性方程组（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由已知，方程组()、()合在一起所得方程组必有解，对合并后方程组的增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形
31、矩阵19.设 1=( 1， 2， 3)T， 2=(b1，b 2，b 3)T， 3=(c1，c 2，c 3)T，则 3 条直线aix+biy+ci=0( （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 这是平面上 3 条直线的问题，这里的方程组是依题意 3 条直线交于一点，就是该方程组有唯一解，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于 2，即二、填空题(总题数：14，分数：18.00)20.设 B 是 3 阶非零矩阵，已知 B 的每一列向量都是方程组（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1，1）解析：解析 非零矩阵 B 的列向量是方程组的解，等价于齐次线性方程组有非零解这是 3 个未知数 3
32、个方程的方程组，它有非零解则其系数矩阵 A 的行列式|A|=0，由此可解出参数 t求矩阵 B 至少有多少列线性无关，等价于求矩阵 B 的秩的上限依题意，有 AB=0，根据矩阵的秩的性质，有 r(A)+r(B)n 此时问题就转化为求矩阵 A 的秩记方程组的系数矩阵为依题意方程组 Ax=0 有非零解，所以解得 t=1又依题意有 AB=0，于是 r(A)+r(B)3当 t=1 时，21.设线性方程组 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 三元非齐次线性方程组有无穷多解，其系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于 3方法 1对增广矩阵作初等行变换化成阶梯形显然，若 a=1，方程组无
33、解，故 a-10将第 2 行，第 3 行各除 1-a，得当 a=-2 时，上述矩阵化为此时方程组有无穷多解方法 2 由解得 a=-2 及 a=1当 a=-2 时，系数矩阵系数矩阵的秩为 2，增广矩阵增广矩阵的秩也为 2，故方程组有无穷多解当 a=1 时，系数矩阵为系数矩阵的秩为 1，增广矩阵为22.设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中线性无关的解向量个数是 n，则 A= 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由题设条件，Ax=0 的基础解系中所含线性无关解向量的个数为 n，于是 n=n-r(A)，得 r(A)=0，故 A=023.设 （分数：1.00）
34、填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由题设条件，Ax=0 的解空间的维数为 2，所以 4-r(A)=2，得 r(A)=2又由 r(A)=2，可知a=124.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，1，0) T）解析：解析 对方程组的系数矩阵施以初等行变换，有由此得与原方程组(E-A)x=0 同解的方程组25.设一个齐次线性方程组的基础解系数为 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 设所求的齐次线性方程组为x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=0，将基础解系 1， 2代入，得到齐次线性方程组求出基础解系，对其增广矩阵施以初等行变换得到基础解系
35、则所求齐次线性方程组为26.设 A 为 23 矩阵，r(A) =2，已知非齐次线性方程组 Ax=b 有解 1， 2，且 = （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(k 为任意常数) ）解析：解析 求齐次线性方程组的通解，关键是求出基础解系应含向量的个数，并且求出一个基础解由于系数矩阵为 23 矩阵，故未知量个数 n=3，又因 r(A)=2，故基础解系含向量的个数为 n-r(A)=3-2=1因 1， 2都是方程组 Ax=b 的解，由 仍是方程组 Ax=b 的解于是 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，且 是非零向量，故 线性无关，所以 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，从
36、而对应的齐次线性方程组的通解为27.若任意一个 n 维向量都是齐次线性方程组（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 根据已知任一 n 维向量都是齐次线性方程组的解向量，所以方程组有 n 个线性无关的解向量，即方程组的基础解系中含有 n 个线性无关的解向量于是 n=n-r(A)，得 r(A)=028.设 1， 2， 3是非齐次线性方程绀 Ax=b 的解，= 1+a 2-3 3，则 是 Ax=b 的解的充分必要条件为 a=_， 是齐次线性方程组 Ax=0 的解的充分必要条件为 a=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3，2）解析：解析 由于 1， 2， 3是非齐次
37、线性方程组 Ax=b 的解，则 = 1+a 2-3 3是 Ax=b 的解的充分必要条件是 1+a-3=1，故得 a=3又由于 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，故 1= 2- 1， 2= 3- 2是对应齐次方程组Ax=0 的解，所以k1 1+k2 2=k1( 2- 1)+k2( 3- 2)=-k1 1+(k1-k2) 2+k2 3= 1+a 2-3 3=是齐次方程组 Ax=0 的解的充分必婴条件是 k1=-1，k 2=-3故得 a=k1-k2=-1+3=229.线性方程组 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：a 1+a2=a3+a4）解析：解析 写出方程组的增广矩阵，
38、并施以初等行变换30.已知非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，1，-1）解析：解析 当 A 为 mn 矩阵时，Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为 r(A)=r(A，b)n，此时 Ax=0 的基础解系含 n-r(A)个解向量，而 Ax=b 无斛的充分必要条件为 r(A)r(A，b)因为 n=5，且当 -1 时，r(A)=4；r(A，b)=4，当 =-1 时 r(A)=3，r(A，b)=4，所以分别填入：-1，1；=-131.设线性方程组则方程组满足条件 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ， ）解析：解析 写出方
39、程组的增广矩阵，并施以初等行变换由此得到方程组的全部解，其中 k1，k 2是任意常数条件 等价于 x1=x2，或 x1=-x2若 x1=x2，由方程组的全部解可知 2+k1-k2=1+3k1，得到 k2=1-2k1，代入全部解得到，其中 k1是任意常数若 x1=-x2，有 2+k1-k2=-1-3k1，得到 k2=3+4k1，代入全部解得到32.设一个非齐次线性方程组的全部解为（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：9x 1+5x2-3x3=-5）解析：解析 设所求的非齐次线性方程组为 x1a1+x2a2+x3a3=b，由题设可知是其导出组的基础解系，将其代入对应的齐次线性方程组，得到于
40、是此齐次线性方程组的参数解a1=-9k，a 2=-5k，a 3=3k，其中 k 为任意常数由题设，33.已知 n 阶方阵 A=(aij)nn又 1， 2， n是 A 的列向量组，|A|=0，伴随矩阵 A*0，则齐次线性方程组 A*x=0 的通解为_（分数：1.00）解析：解析 本题是综合题，要用到矩阵的秩、伴随矩阵的秩以及齐次线性方程组解的结构等知识因为|A|=0，A *0，所以 r(A)=n-1，因此 r(A*)=1，向量组 1， 2， n的秩 r( 1， 2， n)=n-1由此又可知线性方程组 A*x=0 的基础解系含 n-1 个解， 1， 2， n的极大线性无关组含 n-1个向量，而A*A=A*( 1， 2， n)=(A* 1，A * 2，A * n)=|A|E=0，即 A* j=0(j=1，n)，亦即 1， 2， n都是
