1、考研数学一-高等数学(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.函数 y=f(x)在(-，+)上连续，其二阶导函数的图形如图所示，则 y=f(x)的拐点的个数是_ （分数：4.00）A.1B.2C.3D.42.设 f(x)在点 x=0 处满足 f“(0)=f“(0)=f (n) (0)=0，f (n+1) (0)0，则_（分数：4.00）A.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点C.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x
2、)的极小值点3.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.不是 f(x)的驻点B.是 f(x)的驻点但不是极值点C.是 f(x)的驻点且是极大值点D.是 f(x)的驻点且是极小值点4.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处_（分数：4.00）A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.是否取得极值不能确定5.设函数 f(x)有连续导数，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值D.不能判定 f(0)是否为极值6.设函数 f(x)
3、在区间1，+)内二阶可导，且满足条件 f(1)=f“(1)=0，x1 时，f“(x)0，则（分数：4.00）A.曲线是向下凸的B.曲线是向上凸的C.单调减少D.单调增加7.若 f(x)在区间a，+)内二阶可导，且 f(a)=A0，f“(a)0，f“(x)0(xa)，则方程 f(x)=0 在(a，+)内_（分数：4.00）A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根8.设 （分数：4.00）A.I2I3I1B.I1I2I3C.I3I1I2D.I3I2I19.函数 （分数：4.00）A.为正数B.为负数C.恒为零D.不是常数10.已知 （分数：4.00）A.2B.3C.5D.不
4、确定二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11. （分数：6.00）_12. （分数：6.00）_13.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0， （分数：6.00）_14.设 （分数：6.00）_设函数 f n (x)=x n+1 +x n +x 2 +x（分数：6.00）(1).求证：对每个正整数 n，方程 f n (x)=1 存在唯一的正根 x n ，（分数：3.00）_(2).求极限 （分数：3.00）_15.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+(x)， 其中 (x)是当 x0 时比
5、x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：6.00）_16.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y=x-1，求 （分数：6.00）_17.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：6.00）_18.设函数 f(x)在 xx 0 时有定义，且二阶导数存在问如何选择 a，b，c，可使下面函数有二阶导数存在： （分数：6.00）_设函数 f(x)和 g(x)都可导，且 F(x)=g(x)|f(x)|，求证：（分数：6.00）(1).当 f(x 0 )0 时，F(x)在点 x=x 0 处必
6、可导；（分数：3.00）_(2).当 f(x 0 )=0 时，F(x)在点 x=x 0 处可导的充分必要条件是 f“(x 0 )g(x 0 )=0（分数：3.00）_考研数学一-高等数学(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.函数 y=f(x)在(-，+)上连续，其二阶导函数的图形如图所示，则 y=f(x)的拐点的个数是_ （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 只须考察 f“(x)为零或不存在的点 f“(x 1 )-f“(x 4 )=0，在 x=x 1 ，x 4 两侧 f“(x)变号，故凹凸性相反，则(x 1
7、，f(x 1 )，(x 4 ，f(x 4 )是 y=f(x)的拐点 虽然 f“(x 3 )=0，但在 x=x 3 两侧 f“(x)0，不变号，因此(x 3 ，f(x 3 )不是 y=f(x)的拐点 x=0 处 f“(0)不存在，但 f(x)在 x=0 连续，在 x=0 两侧 f“(x)变号，因此(0，f(0)也是 y=f(x)的拐点 综上，y=f(x)共有 3 个拐点，选 C2.设 f(x)在点 x=0 处满足 f“(0)=f“(0)=f (n) (0)=0，f (n+1) (0)0，则_（分数：4.00）A.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B.当 n 为偶数时，x=0 是 f
8、(x)的极小值点C.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点 解析：解析 因为 ，所以在 x=0 的某去心邻域内，有 3.设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.不是 f(x)的驻点B.是 f(x)的驻点但不是极值点C.是 f(x)的驻点且是极大值点 D.是 f(x)的驻点且是极小值点解析：解析 由已知条件可得 即 f“(0)=0 又当 x0 时， 所以， 即 4.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处_（分数：4.00）A.必取极大值B.必取极
9、小值C.不可能取极值D.是否取得极值不能确定 解析：解析 取 f(x)=g(x)=-|x|，则 f(x)及 g(x)都在 x=0 处都取得极大值，但 F(x)=f(x)g(x)=x 2 在x=0 处取得极小值，故排除 A，C 取 f(x)=1-x 2 ，g(x)=-x 2 ，则 f(x)在 x=0 处取得极大值 1，g(x)在 x=0 处取得极大值 0，F(x)=f(x)g(x)=x 4 -x 2 在 x=0 处取得极大值 0，故排除 B 故应选 D5.设函数 f(x)有连续导数，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.f(0)不是 f(x)
10、的极值D.不能判定 f(0)是否为极值解析：解析 解法一： 令 F(x)=f(x)+f“(x)， 则 因此 又 f“(x)=F(x)-f(x)， 所以 f“(x)在 x=0 处可导，且 F“(0)=f“(0)+f“(0)=1 由 F(0)=f(0)+f“(0)=0 知，若 f(0)=0，则 f“(0)=0，从而 f“(0)=10 故 f(0)是 f(x)的极小值 故应选 B 解法二： 由已知得 因为 f(x)连续可导，且 f(0)=0，所以有 f“(0)=0，又 6.设函数 f(x)在区间1，+)内二阶可导，且满足条件 f(1)=f“(1)=0，x1 时，f“(x)0，则（分数：4.00）A.
11、曲线是向下凸的B.曲线是向上凸的C.单调减少 D.单调增加解析：解析 由条件知 7.若 f(x)在区间a，+)内二阶可导，且 f(a)=A0，f“(a)0，f“(x)0(xa)，则方程 f(x)=0 在(a，+)内_（分数：4.00）A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根 解析：解析 将 f(x)在点 a 处展开 将题设条件代入上式得 故 ，使 f(x 0 )0 又 f(a)=A0，f(x)在a，x 0 上连续，由零点定理知，必 8.设 （分数：4.00）A.I2I3I1B.I1I2I3 C.I3I1I2D.I3I2I1解析：解析 同一积分域上二重积分大小的比较，只要
12、比较被积函数的大小，可画草图，易知直线 (即 x+y=4)与圆(x-1) 2 +(y-1) 2 =2 在点(2，2)处相切，在区域 D：(x-1) 2 +(y-1) 2 2 内有 ；又被积函数为同一函数 的不同幂次，由 9.函数 （分数：4.00）A.为正数 B.为负数C.恒为零D.不是常数解析：解析 因为被积函数连续且以 2 为周期，所以它在区间长为 2 上的积分为常数，因此 ，由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，有下列两种方法： 解法一： 分部积分，转化为被积函数定号的情形，即 故应选 A 解法二： 通过变量替换比较正、负部分积分值的绝对值，即 10.已知 （分数：4.00）A.2B
13、.3 C.5D.不确定解析：解析 用分部积分法，得 所以 二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11. （分数：6.00）_正确答案：()解析： 所以 x0 时， 由洛必达法则知 12. （分数：6.00）_正确答案：()解析：本题属于-型，首先进行通分，则 若直接用洛必达法则计算，比较复杂，可考虑 项的等价无穷小替换 因为 故 ，则有 又 ln(1+x)x(x0)，故 13.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0， （分数：6.00）_正确答案：()解析： 故 14.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：当|x|1 时， 当|x|1 时， 则 由于 则 f(x)在 x=-
14、1 处连续 由于 设函数 f n (x)=x n+1 +x n +x 2 +x（分数：6.00）(1).求证：对每个正整数 n，方程 f n (x)=1 存在唯一的正根 x n ，（分数：3.00）_正确答案：()解析：由于当|x|1 时，函数 从而 由连续函数中值定理可知，对于每个正整数 n，方程 f n (x)=1 至少存在一个根 此外，当 x0时还有 f“ n (x)=(n+1)x n +nx n-1 +3x 2 +2x+11， 即函数 f n (x)当 x0 时单调增加 故 f n (x)=1 最多只有一个正根，综合即知：对于每个正整数 n，方程 f n (x)=1 存在唯一的正根 (
15、2).求极限 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解法一： 把 f n (x n )=1 代入 可得 再把拉格朗日中值定理用于差 ，并利用 f“ n (x)1 即知：存在 ，使得 把以上所得的不等式联合起来可得，对于 n=1，2，3，有 由极限的夹逼定理即得 解法二： 从数列x n 的单调性入手，对于每个正整数 n，当 x0 时有 f n+1 (x)=x n+2 +f n (x)f n (x)， 由此可得 f n+1 (x n+1 )=1=f n (x n )f n+1 (x n ) 注意函数 f n+1 (x)当 x0 时单调增加，由上式可得 x n+1 x n 对每个正整数 n 成立，
16、于是数列x n 满足 按单调有界数列极限存在定理即知极限 存在，记 ，则 a 满足 在等式 两端令 n取极限，并利用 ，即得 15.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+(x)， 其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由 ，得 又 则 16.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y=x-1，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：根琚导数的几何意义，曲线
17、y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为 y-f(1)=f“(1)(x-1)， 因(1，f(1)处切线方程为 y=x-1，故可推知 f(1)=0，f“(1)=1 分子式为一变上限积分的被积式中含抽象函数 f(1+e x2 -e t )，遇到这种情况，一般记 u=1+e x2 -e t 则当 t=0 时，u=e x2 ；当 t=x 2 时，u=1 故 因当 x0 时， 由洛必达法则得 由导数定义 17.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设 因为 由已知条件得 即 于是 ，故 由 得 e C =1，C=0，故 18.设函数 f(
18、x)在 xx 0 时有定义，且二阶导数存在问如何选择 a，b，c，可使下面函数有二阶导数存在： （分数：6.00）_正确答案：()解析：要使 F(x)有二阶导数存在，需确定 a，b，c，使 F(x)在点 x 0 连续且使 F“(x 0 )及 F“(x 0 )存在 因 ，所以要使 F(x)在点 x 0 连续，只需 即 c=f(x 0 ) 因 故若要 F“(x 0 )存在，应有 b=f“(x 0 ) 此时 又 所以要 F“(x 0 )存在，应有 2a=f“(x 0 )，即 故当 设函数 f(x)和 g(x)都可导，且 F(x)=g(x)|f(x)|，求证：（分数：6.00）(1).当 f(x 0
19、)0 时，F(x)在点 x=x 0 处必可导；（分数：3.00）_正确答案：()解析：当 f(x 0 )0 时，由 f(x)的连续性知：存在 0，使得当|x-x 0 | 时 f(x)与 f(x 0 )同号若 f(x 0 )0，则当|x-x 0 | 时有 F(x)=g(x)|f(x)|=g(x)f(x)， 从而 F(x)在点 x=x 0 处可导(且 F“(x 0 )=g(x 0 )f“(x 0 )+g“(x 0 )f(x 0 )，类似可证当 f(x 0 )0 时，F(x)也在 x=x 0 处可导)(2).当 f(x 0 )=0 时，F(x)在点 x=x 0 处可导的充分必要条件是 f“(x 0 )g(x 0 )=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：当 f(x 0 )=0 时，F(x 0 )=g(x 0 )|f(x 0 )|=0，从而 F(x)在点 x=x 0 处的左导数与右导数分别是 故当 f(x 0 )=0 时，|F(x)|在点 x=x 0 处可导的充分必要条件为 F“ - (x 0 )=F“ + (x 0 )，即-g(x 0 )|f“(x 0 )|=g(x 0 )|f“(x 0 )|， 得
