1、考研数学一-高等数学(四)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 是由曲面 与 围成的空间区域，三重积分 在球坐标系下化为累次积分是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.对无穷级数 和 ，下列命题成立的是_ A 中至少一个收敛 B 中至少一个发散 C若 ，则 收敛时 收敛 D若 ，则 发散时 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设曲线 L:f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M 和第象限内的点 N， 为L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是_ A B C D
2、 （分数：4.00）A.B.C.D.4.在力场 的作用下，一质点沿圆周 x 2 +y 2 =1 逆时针运动一周所作的功为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ，则下列命题正确的是_ A若 条件收敛，则 与 都收敛 B若 绝对收敛，则 与 都收敛 C若 条件收敛，则 与 的敛散性都不定 D若 绝对收敛，则 与 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 u n 0，n=1，2，若 发散， 收敛，则下列结论正确的是_ A 收敛， 发散 B 发散， 收敛 C 收敛 D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 a n 0(n=1，2，3，)，且 收敛，常数 ，则级数 （分数：4
3、.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关8.已知级数 ，级数 ，则级数 （分数：4.00）A.3B.7C.8D.99.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为_（分数：4.00）A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C31(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=110.设二阶常系数齐次线性微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，
4、+)上有界，则实数 b 的取值范围是_（分数：4.00）A.0，+)B.(-，0)C.(-，4D.(-，+)二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“ + (a)f“ - (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：6.00）_设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2（分数：6.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 （分数：3.00）_(2).求 （分数：3.00）_12.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b
5、)内可导，且 f(a)=f(b)=1，试证存在两点 ，(a，b)，使得(e 2a +e a+b +e 2b )f()+f“()=3e 3- （分数：6.00）_13.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可微，若 a0，证明在(a，b)内存在三个数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使 （分数：6.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0，若 （分数：6.00）(1).在(a，b)内，f(x)0；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).存在 (a，b)，使 （分数：2.00）_14.设 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且 ， ，试证明
6、（分数：6.00）_15.设函数 f(x)在区间a，b上具有三阶连续导数，求证：存在 (a，b)，使得 （分数：6.00）_16.已知 axb 时，f“(x)0，f“(x)0，证明： （分数：6.00）_17.已知 f(x)在a，b上有连续的二阶导数，且 f“(x)0，f(a)=f(b)=0试证：在(a，b)内 f(x)0，且 （分数：6.00）_18.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|a，|f“(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c是(0，1)内任意一点，证明： （分数：6.00）_考研数学一-高等数学(四)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、
7、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 是由曲面 与 围成的空间区域，三重积分 在球坐标系下化为累次积分是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 在球坐标系下， 可写为 所以 2.对无穷级数 和 ，下列命题成立的是_ A 中至少一个收敛 B 中至少一个发散 C若 ，则 收敛时 收敛 D若 ，则 发散时 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 对选项 A：取 ，b n =1，则 ，但 均发散，故排除 A 对选项 C：取 ，则 ，且 收敛，但 发散，故排除 C 对选项 D：取 ，则 ，且 发散，但 收敛 故排除 D 对选项 B：用反证法若级数 均收敛，则
8、 ，从而 ，与假设条件矛盾因此，若 ，则 3.设曲线 L:f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M 和第象限内的点 N， 为L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 在 上 f(x，y)=1，M 在第象限，N 在第象限，因此 M 点的纵坐标 y M 大于 N 点的纵坐标 y N ，因此 4.在力场 的作用下，一质点沿圆周 x 2 +y 2 =1 逆时针运动一周所作的功为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 所求功为 5.设 ，则下列命题正确的是_ A若
9、条件收敛，则 与 都收敛 B若 绝对收敛，则 与 都收敛 C若 条件收敛，则 与 的敛散性都不定 D若 绝对收敛，则 与 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 绝对收敛，即 收敛，则级数 收敛，由收敛级数的运算性质，得级数6.设 u n 0，n=1，2，若 发散， 收敛，则下列结论正确的是_ A 收敛， 发散 B 发散， 收敛 C 收敛 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 收敛，又 由性质收敛级数加括号不改变其收敛性知，级数 收敛，故应选 D 如令 ，显然 发散， 收敛 但是级数 7.设 a n 0(n=1，2，3，)，且 收敛，常数 ，则级数 （分数：4.00
10、）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关解析：解析 由于 为正项级数且收敛，则级数 收敛，而 则 收敛，故 8.已知级数 ，级数 ，则级数 （分数：4.00）A.3B.7C.8 D.9解析：解析 因为级数 ，级数 ，则级数 9.设 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为二阶非齐次线性方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为_（分数：4.00）A.C11(x)+2(x)+C23(x)B.C11(x)-2(x)+C23(x)C.C11(x)+2(x)+C31(x)-3(x)D.C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+
11、C2+C3=1 解析：解析 因为 1 (x)， 2 (x)， 3 (x)为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1 (x)- 3 (x)， 2 (x)- 3 (x)，为方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y“+a 1 (x)y“+a 2 (x)y=f(x)的通解为 C 1 1 (x)- 3 (x)+C 2 2 (x)- 3 (x)+ 3 (x)， 即 C 1 1 (x)+C 2 2 (x)+C 3 3 (x)，其中 C 3 =1-C 1 -C 2 或 C 1 +C 2 +C 3 =1，选 D10.设二阶常
12、系数齐次线性微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是_（分数：4.00）A.0，+) B.(-，0)C.(-，4D.(-，+)解析：解析 因为特征方程为 2 +b+1=0，其判别式为 =b 2 -4 当 b2 时，微分方程的通解为 所以 当 b 2 -40 时，要使解 y(x)在(0，+)上有界，只需要 ，即 b2； 当 b 2 -40 时，要使解 y(x)在(0，+)上有界，只需要 二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“ + (a
13、)f“ - (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：6.00）_正确答案：()解析：不失一般性，设 f“ + (a)0，f“ - (b)0 由 f“ + (a)0 知，存在 x 1 (a，b)，使得 f(x 1 )f(a)=0； 由 f“ - (b)0 知，存在 x 2 (a，b)，使得 f(x 2 )f(b)=0； 因为 f(x 1 )f(x 2 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0 令 ，显然 h(x)在a，b上连续，有 h(a)=h(c)=h(b)=0 存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“(
14、 1 )=h“( 2 )=0 而 ，所以 令 (x)=f“(x)g(x)-f(x)g“(x)，则 ( 1 )=( 2 )=0 由罗尔定理，存在 ，使得 “()=0，而 “(x)=f“(x)g(x)-f(x)g“(x)， 所以 设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2（分数：6.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：令 ，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)-F(0)=F“(x)x，即 (2).求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：注意题设条件中有 f“(
15、0)=2，观察上式右边，要想出现 f“(0)项，则须出现 项，因此将上式两边同除以 x 2 并取极限，得 又 于是 12.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，试证存在两点 ，(a，b)，使得(e 2a +e a+b +e 2b )f()+f“()=3e 3- （分数：6.00）_正确答案：()解析：对于这类问题的证明，关键是找对辅助函数通常我们利用原函数法来求辅助函数，先对要证明的结果进行分析 先对 g(x)=e 3x 用拉格朗日中值定理，再对 F(x)=e x f(x)用拉格朗日中值定理，然后乘以常数(e 2a +e a+b +e 2b )可得待证的等
16、式 令 g(x)=e 3x ，则 g(x)=e 3x 在a，b上满足拉格朗日中值定理条件 由拉格朗日中值定理，存在点 (a，b)，使得 即 令 F(x)=e x f(x)，由拉格朗日中值定理，存在点 (a，b)，使得 由 f(b)=f(a)=1，可得 两边同时乘以(e 2a +e a+b +e 2b )，得 13.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可微，若 a0，证明在(a，b)内存在三个数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使 （分数：6.00）_正确答案：()解析：观察原等式可得 而由拉格朗日中值定理 f“(x 1 )(b-a)=f(b)-f(a)， 则有 设 g(x)=x 2 ，
17、当 a0 时，f(x)和 g(x)在a，b上满足柯西中值定理，故 使 即 分析同上，对于右边等式，可设 (x)=x 3 ，当 a0 时，f(x)和 (x)在a，b上满足柯西定理的条件，故 ，使 即 同样地，由拉格朗日中值定理知，必 ，使 综合式、可得 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0，若 （分数：6.00）(1).在(a，b)内，f(x)0；（分数：2.00）_正确答案：()解析：由 xa 时，x-a0，f“(x)在a,b上连续，及 存在，且连续函数在某点的极限值等于该函数在此点的函数值 故 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：解法一： 使用柯西中
18、值定理 令 g(x)=x 2 ， ，则 F“(x)=f(x)，故在a，b上，g(x)与 F(x)满足柯西定理的条件，存在(a，b)，使 即得所证 解法二： 使用罗尔定理 令 ，设 则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 故 (x)在a，b上满足罗尔定理条件，存在 (a，b)，使 由 F“(x)=f(x)及 (3).存在 (a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由第二小题中结论可知 而 f(a)=0，故在a，上由拉格朗日中值定理知 ，使 f()=f“()(-a)， 代入上式得 14.设 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且 ， ，试证明 （分数：6.00）_正确答案：
19、()解析：记 ，显然，函数 f(x)、g(x)连续，且 f(0)=g(0)=0， 对任意一点 x，函数 f(x)与 g(x)分别在0，x或x，0上应用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(0)=f“( 1 )x，g(x)-g(0)=g“( 2 )x， 其中 1 ， 2 在 0 与 x 之间，因此由题设条件得 对上式两边令 x0，有 1 0， 2 0，使得 15.设函数 f(x)在区间a，b上具有三阶连续导数，求证：存在 (a，b)，使得 （分数：6.00）_正确答案：()解析：在带拉格朗日余项的泰勒公式 中分别取 x=a 与 x=b，并取 ，可得 两式相减得 当 f“( 1 )=f“( 2 )时取
20、 = 1 (或 = 2 )，否则由 f“(x)的连续性知存在 ( 1 ， 2 )，使得 ，代入上式即得存在 ，使得 16.已知 axb 时，f“(x)0，f“(x)0，证明： （分数：6.00）_正确答案：()解析：先证明左半边不等式 由积分中值定理得 又因为 f“(x)0，所以 f()f(a) 所以 再证明右半边不等式 可尝试构造函数并用单调性证明之 设 则 由 f“(x)0，知 F“(x)0，故 F“(x)单调增加，F“(x)F“(a)=0 所以 F(x)单调递增，F(b)F(a)=0，即 所以 17.已知 f(x)在a，b上有连续的二阶导数，且 f“(x)0，f(a)=f(b)=0试证：
21、在(a，b)内 f(x)0，且 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由 f“(x)0 司知，f(x)在a，b上是凸函数，由凸函数性质知，f(x)在(a，b)内的图形位于(a，f(a)和(b，f(b)之间的线段之上，即 x 轴之上，所以在(a，b)内 f(x)0 由上可知，存在一点 c(a，b)，使得 ，由拉格朗日中值定理得 f(c)-f(a)=f“( 1 )(c-a)，即 f(b)-f(c)=f“( 2 )(b-c)，即 则 18.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|a，|f“(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c是(0，1)内任意一点，证明： （分数：6.00）_正确答案：()解析：由于问题中涉及 f(x)与其导致、二阶导数的关系，可考虑用勒公式证明之f(x)在 c 处的泰勒展开式为 其中 在 c 与 x 之间 取 x=0，1 得 两式相减得 由此
