1、考研数学一-高等数学(三)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.今有下列关于反常积分 的四个命题： 设 f(x)在(-，+)内是连续的奇函数，则 必收敛，且 设 f(x)在(-，+)内连续，且 存在，则 必收敛，且 若 与 都发散，则 未必发散 若 与 都发散，则 （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.设 f(x)一阶可导，f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.旋轮线的一
2、支 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的质心是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.在空间曲线 （分数：4.00）A.只有一条B.只有两条C.至少有三条D.不存在6.设矩阵 是满秩的，则直线 与直线 （分数：4.00）A.相交于一点B.重合C.平行但不重合D.异面7.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 _ Af x (x 0 ，y 0 ) B0 C2f x (x 0 ，y 0 ) D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2-x 垂直，则当 x0 时，
3、该函数在点 x=x 0 处的增量 y 是_（分数：4.00）A.与 x 同阶但不等价的无穷小B.与 x 等价的无穷小C.比 x 高阶的无穷小D.比 x 低阶的无穷小9.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是_ A B C D 且 （分数：4.00）A.B.C.D.10.下列命题正确的是_（分数：4.00）A.若(x0，y0)为 f(x，y)的极值点，则(x0，y0)必为 f(x，y)的驻点B.若(x0，y0)为 f(x，y)的驻点，则(x0，y0)必为 f(x，y)的极值点C.若(x0，y0)为有界闭区域 D 上连续的函数 f(x，y)在 D 内部唯一的极值点，且 f(x，
4、y)在该点取极大值，则 f(x，y)在点(x0，y0)取得它在 D 上的最大值D.若 f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则 f(x，y0)在 x=x0 处取极小值，f(x0，y)在 y=y0 处取极小值二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.求摆线 （分数：6.00）_设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：6.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：3.00）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：3.00）_设 f(x)满足 （分数：6.00）(1).证明：f(x)
5、=-f(-x)；（分数：3.00）_(2).求 f (n) (x)（分数：3.00）_12.设 f“(-x)=xf“(x)-1，且 f(0)=0，求 f(x)的极值 （分数：6.00）_13.已知方程 sin 3 xcosx=a(a0)，试讨论其在区间 0x 上实根的个数 （分数：6.00）_14.设曲线 L 是 y=-x 2 +1 在第一象限内的部分在 L 上求一点 M，使过 M 点 L 的切线 AB 与两坐标轴和 L所围成的图形的面积为最小 （分数：6.00）_15.已知，当|x|1 时，函数 f(x)满足 f“(x)+af“(x) 2 =g(x)，且 f“(0)=0，其中常数 a0，函数
6、 g(x)在|x|1 可导且 g(0)=0，g“(0)0，试确定 f(0)是不是函数的极值，点(0，f(0)是否是曲线 y=f(x)的拐点? （分数：6.00）_16.设 f(x)在(-，+)内二阶可导，f“(x)0，f(0)0，极限 与 （分数：6.00）_17.函数 f(x)在1，2上有任意阶导数，且 f(2)=0，设 F(x)=(x-1) 3 f(x)试证明：在(1，2)内存在一个 ，使得 F“()=0 （分数：6.00）_18.试确定方程 （分数：6.00）_考研数学一-高等数学(三)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.下
7、列广义积分发散的是_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A： 中，x=0 为该广义积分的瑕点，且当 x0 时，sinxx，由 发散，得广义积分发散 B： 对 x=-1 为该广义积分的瑕点，且当 x-1 时， ，由 ，得 收敛同理 也收敛，故 收敛 C：对于积分 ，因为 ，由极限审敛法知， 收敛 D：直接计算， 2.今有下列关于反常积分 的四个命题： 设 f(x)在(-，+)内是连续的奇函数，则 必收敛，且 设 f(x)在(-，+)内连续，且 存在，则 必收敛，且 若 与 都发散，则 未必发散 若 与 都发散，则 （分数：4.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D
8、.4 个解析：解析 反常积分 收敛的定义是存在常数 a，使两个反常积分 和 都收敛，这时有 这是判断以上四个命题是否为真的依据 设 f(x)=x，则 f(x)是(-，+)内连续的奇函数，且 ，但是 故 发散，这表明命题、都不是真命题 设 f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知， 与 都发散，但是 3.设 f(x)一阶可导，f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 解法一： 由积分中值定理， 使得 因此选 A 解法二： 由定积分的几何意义来分析，曲线 y=f(x)在 x 轴上方且单调增加 如下图所示， 是曲边梯形 ABCD
9、的面积，f(x)x 是矩形 ABCE 的面积，因此 故选 A 4.旋轮线的一支 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的质心是_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 先求弧微分 于是得弧长 四个选项中，质心的横坐标均相同，所以只须求质心的纵坐标 为此， 因此代入公式得 5.在空间曲线 （分数：4.00）A.只有一条B.只有两条 C.至少有三条D.不存在解析：解析 当 t=t 0 时，曲线切线的方向向量为 ，平面的法向量为 n=1，2，1由题意知，n，即 n=0，从而 得 t 0 =1，或 6.设矩阵 是满秩的，则直线 与直线 （分数：4.00）A.
10、相交于一点 B.重合C.平行但不重合D.异面解析：解析 由初等变换不改变矩阵的秩知 的秩为 3 所以向量(a 1 -a 2 ，b 1 -b 2 ，c 1 -c 2 )与(a 2 -a 3 ，b 2 -b 3 ，c 2 -c 3 )线性无关，故两直线不平行 又行列式 7.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 _ Af x (x 0 ，y 0 ) B0 C2f x (x 0 ，y 0 ) D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 8.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2-x 垂直，则当 x0 时，该函数在点 x=x 0 处
11、的增量 y 是_（分数：4.00）A.与 x 同阶但不等价的无穷小B.与 x 等价的无穷小 C.比 x 高阶的无穷小D.比 x 低阶的无穷小解析：解析 由题设知 f“(x 0 )=1，则 y| x=x0 =f“(x 0 )(x)+o(x)=x+o(x)，所以增量 y 是与 x 等价的无穷小(x0)故选 B9.二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是_ A B C D 且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 得 (其中 是(x，y)(0，0)时的无穷小量)，且有 所以 ，即 f“ x (0，0)=0，同理，f“ y (0，0)=0，故 10.下列命题正确的是_（
12、分数：4.00）A.若(x0，y0)为 f(x，y)的极值点，则(x0，y0)必为 f(x，y)的驻点B.若(x0，y0)为 f(x，y)的驻点，则(x0，y0)必为 f(x，y)的极值点C.若(x0，y0)为有界闭区域 D 上连续的函数 f(x，y)在 D 内部唯一的极值点，且 f(x，y)在该点取极大值，则 f(x，y)在点(x0，y0)取得它在 D 上的最大值D.若 f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则 f(x，y0)在 x=x0 处取极小值，f(x0，y)在 y=y0 处取极小值 解析：解析 极值点不一定是驻点，因为在该点处偏导数不一定存在，例如 f(x，y)=|x|+|y|显
13、然在(0，0)点处取极小值，但 f x (0，0)和 f y (0，0)都不存在，则排除 A；驻点不一定是极值点，排除B；C 选项错误，因为最大值可能在 D 的边界上取得 对于选项 D：由 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )取得极小值可知，在(x 0 ，y 0 )某邻域内有 f(x，y)f(x 0 ，y 0 )，故 f(x，y 0 )在x=x 0 取极小值，f(x 0 ，y)在 y=y 0 处取极小值，且极小值仍为 f(x 0 ，y 0 )选 D二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.求摆线 （分数：6.00）_正确答案：()解析：因为 故摆线的曲率半径 设函数 y=y(x)在(
14、-，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：6.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：由反函数求导公式知 代入原方程，得 (2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：3.00）_正确答案：()解析：特征方程 r 2 -1=0 的两个根为 r 1,2 =1 因为非齐次项 f(x)=sinx=e x sinx，=0，=1，i=i 不是特征根，则设式的特解 y * =acosx+bsinx，代入式，得 a=0， ，所以 所以式的通解为 由初始条件，得 C 1 =1，C 2 =-1，所求初值问题
15、的解为 设 f(x)满足 （分数：6.00）(1).证明：f(x)=-f(-x)；（分数：3.00）_正确答案：()解析：设 ，则有 ，即 因|a|b|，由 式a-式b 得 则 (2).求 f (n) (x)（分数：3.00）_正确答案：()解析：由递推法得 12.设 f“(-x)=xf“(x)-1，且 f(0)=0，求 f(x)的极值 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由 f“(-x)=xf“(x)-1可得 f“(-x)=xf“(x)-x， f“(x)=-xf“(-x)+x 由式、可得 f“(x)=-x 2 f“(x)+x 2 +x，所以 ，故函数 f(x)在其定义域内的导数为零的点有
16、x=0，x=-1 又因为 ，所以 因此 x=0 是函数的极小值点，X=-1 是函数的极大值点 由 ，积分得 ，又 f(0)=0，所以 因此函数的极小值为 f(0)=0，极大值为 13.已知方程 sin 3 xcosx=a(a0)，试讨论其在区间 0x 上实根的个数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：可设方程 f(x)=sin 3 xcosx-a(a0)，则 f“(x)=sin 2 x(3cos 2 x-sin 2 x) 由 f“(x)=0 得在0，内的驻点 则 所以 f(x)在0，上的最大值为 ，最小值为-a 讨论以下三种情况： 当 时，f(0)0， f()0，且 在 内 f“(x)0，
17、f(x)单调增加； 在 内 f“(x)0，f(x)单调减少 由零点定理知，f(x)=0 在 内各有一实根 又在 内，f“(x)0，f(x)单调增加且 ，故在此区间内 f(x)=0 无实根 当 时， 是 f(x)=0 的唯一实根 当 时，f(x)在0,上的最大值 14.设曲线 L 是 y=-x 2 +1 在第一象限内的部分在 L 上求一点 M，使过 M 点 L 的切线 AB 与两坐标轴和 L所围成的图形的面积为最小 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设点 M(x，y)，由 y“=-2x 得过点 M(x，y)的切线方程为 Y-y=-2x(X-x)， 令 X=0，得 Y=2x 2 +y， 令
18、Y=0 得 如下图，则所求面积为 令 得 又 所以 S 在 处取得极小值 由于问题本身存在最小值，且函数在唯一驻点处取得极小值，故此极小值即函数的最小值 过点 的最小面积为 15.已知，当|x|1 时，函数 f(x)满足 f“(x)+af“(x) 2 =g(x)，且 f“(0)=0，其中常数 a0，函数 g(x)在|x|1 可导且 g(0)=0，g“(0)0，试确定 f(0)是不是函数的极值，点(0，f(0)是否是曲线 y=f(x)的拐点? （分数：6.00）_正确答案：()解析：由题设知 f“(x)=g(x)-af“(x) 2 当|x|1 时成立 这表明当|x|1 时 f“(x)存在，从而
19、f“(x)在|x|1 时连续，由上式即知当|x|1 时 f“(x)也连续 故由题设条件可得 16.设 f(x)在(-，+)内二阶可导，f“(x)0，f(0)0，极限 与 （分数：6.00）_正确答案：()解析：不妨设 由于 ，故由极限的保号性知存在 a0，使得 f“(a)0 同理，由于 ，故存在 b0，使得 f“(b)0 任取 xb，由拉格朗日中值定理知存在 (b，x)，使 f(x)-f(b)=f“()(x-b)， 由于 f“(x)0，所以 f“(x)严格递增，从而 f“()f“(b)，所以 f(x)=f(b)+f“()(x-b)f(b)+f“(b)(x-b)， 它表明存在 cb0，使得 f(
20、c)0 同理，任取 xa，由拉格朗日中值定理知存在 (x，a)，使 f(x)-f(a)=f“()(x-a)，且 f“()f“(a)0， 从而 f(x)=f(a)+f“()(x-a)f(a)+f“(a)(x-a)， 17.函数 f(x)在1，2上有任意阶导数，且 f(2)=0，设 F(x)=(x-1) 3 f(x)试证明：在(1，2)内存在一个 ，使得 F“()=0 （分数：6.00）_正确答案：()解析：多次用罗尔定理，或用泰勒公式证明 解法一： 因为 F(x)=(x-1) 3 f(x)，f(2)=0， 所以 F(1)=F(2)=0， 则存在 1 (1，2)，使得 F“( 1 )=0 又因为
21、F“(x)=3(x-1) 2 f(x)+(x-1) 3 f“(x)， 显然，F“(1)=0，则存在点 2 (1， 1 )，使得 F“( 2 )=0， 又 F“(x)=6(x-1)f(x)+6(x-1) 2 f“(x)+(x-1) 3 f“(x) 显然，F“(1)=0，则存在 ，使得 F“()=0得证 解法二： 用泰勒公式展开 其中 F(1)=0，F(2)=(2-1) 2 f(2)=0， F“(1)=F“(x)| x=1 =3(x-1) 2 f(x)+(x-1) 3 f“(x)| x=1 =0 F“(1)=F“(x)| x=1 =6(x-1)f(x)+3(x-1) 2 f“(x)+3(x-1) 2 f“(x)+(x-1) 3 f“(x)| x=1 =0， 代入上面的泰勒展开式得 18.试确定方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：确定方程根的个数，也就是确定相应函数的零点个数，故先根据方程构造辅助函数 设 ，则 令 f“(x)=0，得唯一驻点，x=6 当 3x6 时，f“(x)0，故函数 f(x)在(3，6)内单调递增；当 x6 时，f“(x)0，故函数 f(x)在(6，+)内单调递减，从而 x=6 为函数 f(x)的极大值点，也是最大值点，其最大值 f(6)=ln3-2-k 又因为
